Лекции по предмету статистика - Статистика - Скачать бесплатно
величины приходится на единицу другой.
Важное свойство – относительная величина абстрагирует различия
абсолютных величин и позволяет сравнивать такие явления, абсолютные размеры
которых непосредственно несопоставимы.
Форма выражения относительных величин
В результате сопоставления одноименных абсолютных величин получают
неименованные относительные величины. Они могут выражаться в виде долей,
кратных соотношений, процентных соотношений, в виде промилле и т.д.
Результатом сопоставления разноименных величин являются именованные
относительные величины. Их название образуется сочетанием сравниваемой и
базисной абсолютных величин.
Выбор формы зависит от характера аналитической задачи, которая состоит
в том, чтобы с наибольшей ясностью выразить соотношение.
Виды относительных величин
Все применяемые на практике относительные статистические величины
подразделяются на следующие виды.
Относительная величина динамики
Достигнутый показатель / базисный показатель.
Относительная величина планового задания
Плановый показатель / базисный показатель.
Относительная величина выполнения плана
Достигнутый показатель / плановый показатель.
Относительная величина структуры
Отношение частей и целого.
Относительная величина координации
Соотношение частей целого между собой.
Относительная величина интенсивности
Характеризует распределение явления в определенной среде (насыщенность
каким-либо явлением). Это всегда соотношение разноименных величин.
Относительная величина уровня социально-экономического явления
Характеризует размеры производства различных видов продукции на душу
населения.
Относительная величина сравнения
Представляет собой отношение одноименных величин, относящихся к
различным объектам.
Графический метод
Понятие графика
Графики – это средства обобщения статистической информации. Графический
метод – особая знаковая система, знаковый язык.
Графики в статистике имеют не только иллюстративное значение, они
позволяют получить дополнительные знания о предмете исследования, которые в
цифровом варианте остаются скрытыми, невыявленными. Любое статистическое
исследование на основе какого-либо метода в конечном итоге дополняется
использованием графического метода.
Схема статистических графиков по форме графического способа
Схема статистических графиков по способу и задачам построения
Основные правила построения графиков
Каждый график должен содержать следующие основные элементы:
- Графический образ – геометрические знаки, совокупность точек, линий,
фигур, с помощью которых изображаются статистические величины; язык
графики.
- Поле графика – пространство, в котором размещаются геометрические
знаки.
- Система координат – необходима для размещения геометрических знаков
на поле графика.
- Масштабные ориентиры – определяются масштабом и масштабной шкалой.
. Масштаб – мера перевода числовой величины в графическую.
. Масштабная шкала – линия, отдельные точки которой могут
быть прочитаны как определенные числа. Шкалы бывают
равномерными и неравномерными. Масштаб равномерной шкалы
– это длина отрезка, принятого за единицу измерения и
измеренного в каких-либо определенных мерах.
Средние величины
Сущность и задачи средних величин
Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика
совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.
Она отражает объективный уровень, достигнутый в процессе развития
явления к определенному моменту или периоду.
Средняя представляет значение определенного признака в совокупности
одним числом и элиминирует индивидуальные различия значений отдельных
величин совокупности.
Необходимость сочетается со случайностью, поэтому средние величины
связаны с Законом больших чисел. Суть этой связи в том, что при осреднении
случайные отклонения индивидуальных величин от средней погашаются, а в
средней отчетливо выявляется основная тенденция развития.
Важнейшая особенность средней величины – в том, что она относится к
единице изучаемой совокупности и через характеристику единицы характеризует
всю совокупность в целом.
Основные свойства средней величины:
1) Она обладает устойчивостью, что позволяет выявлять закономерности
развития явлений. Средняя облегчает сравнение двух совокупностей,
обладающих различной численностью.
2) Она помогает характеризовать развитие уровня явления во времени.
3) Она помогает выявить и охарактеризовать связь между явлениями.
Средние позволяют исключить влияние индивидуальных значений признака,
т.е. они являются абстрактными величинами. Поэтому средние должны
употребляться на основе сгруппированных данных.
Расчет средней
К расчету средней предъявляются два основных требования:
1) Среднюю нужно рассчитывать так, чтобы она погашала то, что мешает
выявлению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а
не затушевывала развитие.
2) Средняя может быть вычислена только для однородной совокупности.
Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, называется
огульной.
Одинаковые по форме и технике вычисления средние в одних случаях могут
быть огульными, а в других – общими в зависимости от того, с какой целью
они интерпретируются.
Говоря о методологии исчисления средних, не надо забывать, что средняя
всегда дает обобщенную характеристику лишь по одному признаку. Каждая же
единица совокупности имеет много признаков. Поэтому необходимо рассчитывать
систему средних, чтобы охарактеризовать явление со всех сторон.
Расчет средних величин производится по правилам, которые
разрабатываются математической статистикой. Задача ОТС – дать смысловую,
преимущественно экономическую интерпретацию результатам расчетов,
произведенных по формулам.
Признак, по которому производится осреднение, называется осредняемым
признаком – . Величина осредняемого признака у каждой единицы
совокупности называется ее индивидуальным значением.
Значение признака, которое встречается у групп единиц или у отдельных
единиц и не повторяется, называется вариантом признака –
Средняя величина этих вариантов, или просто средняя, обозначается
.
Средняя арифметическая
Простая средняя арифметическая для ряда данных рассчитывается по
формуле:
Но можно также рассчитать среднюю арифметическую взвешенную как:
Свойства средней арифметической:
1) Сумма отклонений различных значений признака от среднеарифметической
равна нулю:
2) Если от каждого варианта вычесть или к каждому варианту прибавить
какое-либо произвольное постоянное число, то средняя увеличится или
уменьшится на то же самое число.
3) Если каждый вариант умножить (разделить) на какое-либо произвольное
постоянное число, то средняя увеличится (уменьшится) во столько же
раз.
4) Если веса, или частоты, разделить или умножить на какое-либо
произвольное постоянное число, то величина средней не изменится. Это
свойство дает возможность заменять веса их удельными весами:
Способ моментов
Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным
способом. В этом случае используются свойства средней величины. Метод
упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от
условного нуля.
Способ моментов предполагает следующие действия:
1) Если возможно, то уменьшаются веса.
2) Выбирается начало отсчета – условный нуль. Обычно выбирается с таким
расчетом, чтобы выбранное значение признака было как можно ближе к
середине распределения. Если распределение по своей форме близко к
нормальному, но за начало отсчета выбирают признак, обладающий
наибольшим весом.
3) Находятся отклонения вариантов от условного нуля.
4) Если эти отклонения содержат общий множитель, то рассчитанные
отклонения делятся на этот множитель.
5) Находится среднее значение признака по следующей формуле
| | | | | | |
|до 70 |65 |15 |-30 |-3 |-45 |
|70-80 |75 |17 |-20 |-2 |-34 |
|80-90 |85 |13 |-10 |-1 |-13 |
|90-100 |95 |22 |0 |0 |0 |
|100-110 |105 |8 |10 |1 |8 |
|110-120 |115 |12 |20 |2 |24 |
|120-130 |125 |6 |30 |3 |18 |
|130-140 |135 |5 |40 |4 |20 |
|140 и |145 |2 |50 |5 |10 |
|более | | | | | |
|Сумма | |100 | | |-12 |
Средняя гармоническая
Расчет средней гармонической связан с двумя причинами:
1) Не всегда возможно рассчитать среднюю арифметическую на основе
имеющихся данных.
2) Расчет средней гармонической проводить более удобно.
Расчет простой средней гармонической:
Расчет средней гармонической взвешенной:
Такой расчет имеет определенные трудности, которые заключаются в том,
что не всегда ясно можно трактовать условие поставленной задачи. Поэтому
перед тем, как приступать к расчету средней, необходимо разобраться в
экономическом смысле данных, которыми вы располагаете.
|Базисный |Отчетный |
|Фонд з/п |Среднеспис|Среднеспис|Среднеспис|
| |. з/п |. з/п |. |
| | | |численност|
| | | |ь |
|xf |х |x |f |
|Средняя гармоническая|Средняя |
| |арифметическая |
Общая из индивидуальных средних
Рассчитывается по следующей формуле:
Степенные средние
Те средние величины, которые мы записали, относятся к степенным
средним. В наиболее общем виде степенная средняя записывается следующим
образом:
В зависимости от k и образуются разные виды средних.
|Степень k |Вид средней |Формула расчета |
|k = 1 |Арифметическая | |
|k = 2 |Квадратическая | |
|k = 0 |Геометрическая | |
|k = -1 |Гармоническая | |
Правило мажорантности:
Структурные средние
Величина средней определяется всеми значениями признака, встречающимися
в данном ряду распределения. Различают такие структурные средние, как:
1) мода
2) медиана
3) квартиль
4) дециль
5) перцентиль
Мода
Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще,
чем другие его значения.
В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально.
Если же ряд распределения задан как интервальный, то значение моды
рассчитывается по следующей формуле:
- нижняя граница модального интервала,
- величина модального интервала,
- частота (вес) интервала, предшествующего модальному,
- частота модального интервала,
- частота интервала, следующего за модальным.
Медиана
Это центральное значение признака, им обладает центральный член
ранжированного ряда.
Прежде всего определяется порядковый номер медианы по формуле
и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна
порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном
вариационном ряду соответствует значение медианы, а в интервальном –
медианный интервал.
Для интервального ряда медиана рассчитывается по следующей формуле:
- нижняя граница медианного интервала,
- величина медианного интервала,
- сумма частот (весов) ряда,
- сумма накопленных частот (весов) в интервале, предшествующем
медианному,
- частота медианного интервала.
Квартиль
Первый квартиль вычисляется по формуле:
- нижняя граница квартильного интервала,
- величина квартильного интервала,
- номер квартильного признака,
- сумма накопленных частот (весов) в интервалах, предшествующих
квартильному,
- частота квартильного интервала.
Аналогично рассчитывается третий квартиль. Второй же квартиль равен
медиане.
Дециль
Рассчитывается по аналогии с расчетом квартиля. Можно найти девять
децилей.
Средняя должна исчисляться не просто тогда, когда есть вариация
признака, а тогда, когда мы располагаем качественно однородным вариационным
рядом. Среднюю как обобщающую характеристику нельзя применять к таким
совокупностям, отдельные части которых подчиняются различным законам
распределения (или) развития в отношении величины распределяемого признака.
Показатели вариации
Необходимость расчета показателей вариации
Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в
которой получает количественное выражение типичный уровень признака,
которым обладают члены изучаемой совокупности. Но одной средней нельзя
отобразить все характерные черты статистического распределения. Возможны
случаи совпадения средних арифметических при разном характере
распределения.
Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения
статистических совокупностей.
Абсолютные показатели вариации
Для измерения размера вариации используются следующие абсолютные
показатели: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее
квадратическое отклонение.
Размах
Величина его целиком зависит от случайности распределения крайних
членов ряда, и значение подавляющего большинства членов ряда не
учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда.
Такие показатели, которые представляют собой средние, полученные из
отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины, лишены
этого недостатка.
Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью
конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее
колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.
Дисперсия
Среднее линейное отклонение
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсию можно подсчитать и по следующей формуле:
По этой формуле ленче считать дисперсию, когда имеешь дело с дискретным
рядом распределения.
|Годовой |Середин|Число| | | | | |
|удой от |а |коров| | | | | |
|одной |интерва| | | | | | |
|коровы |ла | | | | | | |
|до 2-х |1,5 |40 |6 |-1,3 |5,2 |1,69 |6,76 |
|2-3 |2,5 |20 |5 |-0,3 |0,6 |0,09 |0,18 |
|3-4 |3,5 |20 |7 |+0,7 |1,4 |0,49 |,98 |
|4-5 |4,5 |10 |4,5 |+1,7 |1,7 |2,89 |2,89 |
|5 и более |5,5 |10 |5,5 |+2,7 |2,7 |7,29 |7,29 |
|Сумма | | |28 | |11,6 | |18,1 |
Относительные показатели вариации
Коэффициент осцилляции –
Коэффициент относительного линейного отклонения –
Коэффициент вариации–
Дисперсия альтернативного признака
Альтернативный признак – это такой признак, которым одни члены
обладают, а другие – нет.
доля единиц, не обладающих признаком
доля единиц, обладающих признаком
Виды дисперсий и правила их сложения
Межгрупповая дисперсия
Между отдельными видами дисперсий существует взаимосвязь, которую можно
записать в виде правила сложения дисперсий:
Пример: Распределение сотрудников КБ по производительности труда
1. Расчет общей дисперсии
|x |f |xf |x2 |x2f |
|10 |50 |50 |100 |500 |
|11 |150 |165 |121 |1815 |
|13 |50 |65 |169 |845 |
|15 |50 |75 |225 |1125 |
|18 |70 |126 |324 |2268 |
|20 |30 |60 |400 |1200 |
| |40 |541 | |7753 |
2. Расчет дисперсии по первой группе
|x |f |xf |x2 |x2f |
|10 |50 |50 |100 |500 |
|11 |150 |165 |121 |1815 |
|13 |50 |65 |169 |845 |
| |25 |280 | |3160 |
3. Расчет дисперсии по второй группе
|x |f |xf |x2 |x2f |
|15 |50 |75 |225 |1125 |
|18 |70 |126 |324 |2268 |
|20 |30 |60 |400 |1200 |
| |15 |261 | |4593 |
4. Расчет межгрупповой дисперсии
| | | | | |
|11,2 |25 |-2,325 |5,405 |135,140 |
|17,4 |15 |3,875 |15,015 |225,234 |
| |40 | | |360,375 |
5. Расчет средней из индивидуальных дисперсий
Эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО)
На основании правила сложения дисперсий вычисляется эмпирическое
корреляционное отношение (ЭКО), которое равно квадратному корню из
отношения межгрупповой дисперсии к общей:
Такой порядок вычисления обусловлен разложением общей вариации
на вариацию, зависящую от фактора, положенного в основу группировки (в
нашем примере – повышение и неповышение квалификации), которая численно
равна межгрупповой дисперсии, и общую вариацию.
Межгрупповая дисперсия составляет часть общей дисперсии и складывается
под влиянием только одного группировочного фактора. Именно поэтому
подкоренное выражение показывает долю вариации за счет группировочного
признака.
ЭКО изменяется в переделах от нуля до единицы. Чем ближе его значение к
единице, тем большая доля вариации падает на группировочный признак.
В нашем случае
Некоторые математические свойства дисперсий
1) При вычитании из всех значений признака некоторой постоянной
величины дисперсия не изменится.
2) При сокращении всех значений на постоянный множитель
дисперсия уменьшится в раз.
3) Средний квадрат отклонений значений признака от постоянной
произвольной величины больше дисперсии признака на квадрат
разности между средней арифметической и постоянной величиной
.
На основании свойств дисперсии ее можно подсчитать способом отсчета от
условного нуля и способом моментов.
|Интерв| | | | | | | | |
|ал | | | | | | | | |
|90-100|95 |2 |190 |-30 |-3 |-6 |9 |18 |
|100-11|105 |6 |630 |-20 |-2 |-12 |4 |24 |
|0
|
