Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики - Педагогика - Скачать бесплатно
[pic]
Ответ:[pic].
8. Решить неравенство:
[pic]
Решение.
[pic]
Ответ:[pic].
Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов:
1. Выбор неизвестных.
2. Составление уравнений (неравенств).
3. Нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.
Рассмотрим несколько примеров.
9. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот.
Катер спустился вниз по течению на 96км, затем повернулся обратно и
вернулся в А через 14ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость
течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на
расстоянии 24км от А.
Решение.
I способ (алгебраический).
1) Пусть [pic] (км/ч) скорость катера в стоячей воде, у (км/ч) – скорость
течения.
2) Составим уравнения. Поскольку скорость катера при движении по течению
[pic], а против течения [pic], то на основании того, что сказано во второй
фразе условия, получим:[pic] или [pic]
Вторая часть последней фразы дает нам [pic] (плот прошел до встречи
24км, катер 96 – 24 =72км на обратном пути).
Таким образом, имеем систему уравнений
[pic]
Подставляем [pic] в I уравнение системы
[pic]
Ответ: скорость катера в стоячей воде 14км/ч, скорость течения
2км/ч.
II способ (арифметический).
Итак, если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его
скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняется
лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за
то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96км пройден за то же
время, что и путь 72км (против течения).
96 : 72 = 4 : 3- отношение скорости катера по течению к скорости катера
против течения.
Весь путь занял 14ч. Разделим число 14 на части пропорционально 3:4 :
[pic] катер шел по течению;
[pic] катер шел против течения.
96 : 6 =16 (км/ч) – скорость по течению;
96 : 8 =12 (км/ч) – скорость против течения;
[pic]- скорость течения;
[pic]- собственная скорость катера.
Ответ: 2км/ч; 14км/ч.
Как видно из решения задачи 9 «арифметический» способ решения
зачастую удобнее, так как для него характерна достаточность знаний и
умений, которыми располагает учащийся, окончивший начальную школу плюс,
конечно развитый логический аппарат.
10. Лошадь съедает копну сена за 2 дня, корова может съесть такую же копну
за 3 суток, овца за 6 суток. За какое время они съедят эту копну вместе?
Решение.
Задача может даваться с 6 класса. Итак, если лошадь съедает копну
сена за 2 дня, то за один день она съест [pic]часть копны, аналогично
корова [pic]часть копны, а овца [pic]часть копны.
За один день вместе они съедают [pic] копны сена, т.е. всю.
Ответ: 1 день.
Функции [pic]
Наибольшее значение [pic] при [pic]. Возвращаясь к [pic], получим,
что [pic] при [pic]
Ответ: наибольшее значение [pic].
Почти вся теория квадратного трехчлена основывается на приеме, называемом
«выделение полного квадрата»:
[pic]
[pic] - дискриминант квадратного уравнения.
Если [pic], то уравнение имеет два корня,
[pic],то уравнение имеет1 корень (2 совпадающих);
[pic], уравнение не имеет действительных корней.
11. Доказать, что при любом [pic]уравнение
[pic] имеет решения.
Процесс нахождения дискриминанта и доказательства, что он положителен
достаточно трудоемкий, поэтому попробуем другой метод решения.
Пусть [pic].
[pic] при любом [pic].
Т.о. уравнение всегда имеет решение, причем если [pic], то уравнение
имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий
неравенству [pic].
12. Пусть [pic] и [pic] корни уравнения [pic]. Выразить [pic] через [pic] и
[pic].
Решение.
Необходимо выразить [pic] через [pic] и [pic]:
[pic]
По теореме Виета [pic]
тогда [pic]
Ответ: [pic].
13. Определить все значения параметра [pic], при которых уравнение [pic]
имеет 1 корень.
Решение.
В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение,
поэтому рассмотрим случай [pic]
Остальные значения параметра получим из уравнения [pic].
[pic]
Ответ: [pic]
Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на
свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при
помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной,
после чего выделяется полный квадрат.
14.Найти наибольшее значение функции
[pic]
Решение.
Положим [pic], тогда [pic] Отсюда [pic] Итак, после замены получим,
что надо найти наибольшее значение
15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции [pic].
Решение.
Рассмотрим данное неравенство как уравнение с неизвестным [pic] и
параметром [pic].
После преобразований получим
[pic] Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно,
чтобы
[pic]
Отсюда наименьшее значение функции [pic], наибольшее [pic].
Ответ:[pic]
[pic]
Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и
наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию [pic] как
уравнение с неизвестным [pic], в котором необходимо установить при каких
[pic] это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором
работает эта идея с небольшими вариациями.
16. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения [pic], если
[pic].
Решение.
Положим [pic]. Подставим полученное выражение в (1):
[pic]
Ответ: наибольшее значение выражения [pic] равно [pic][pic];
наименьшее - [pic].
Рассмотрим один из самых универсальных методов доказательства –
методом математической индукции.
17. Доказать, что при любом натуральном [pic] число [pic][pic]делится на 7.
Решение.
Обозначим [pic].
1) При [pic] [pic]- делится на 7.
2) Пусть [pic] делится на 7.
Имеем [pic]
Последнее число делится на 7, т.к. представляет собой разность двух целых
чисел, которые делятся на 7, ч.т.д.
17. Доказать тождество:
[pic]
Решение.
1)При [pic] [pic] равенство выполняется.
2)Предположим, что равенство выполняется при [pic] [pic]
При [pic] имеем:
[pic]
ч.т.д.
18. Выполнить следующие действия:
а) [pic]; б) [pic]; в)[pic]
Решение.
а) [pic]
б)
[pic]
в)
[pic]
Ответ: а)[pic]; б)[pic] в)[pic]
19. Решить уравнения:
а) [pic];
б) [pic]
Решение.
а)
[pic]
б)
[pic]
Чтобы найти [pic] не будем переходить к тригонометрической форме (но
и этот путь верный). Итак, надо найти числа [pic] и [pic] такие что, [pic]
Достаточно найти одно решение [pic]
Т.о.
[pic]
Ответ: а)[pic] б)[pic].
2.3. Индивидуальная работа учащихся.
Поскольку внеклассная индивидуализация осуществляется в основном в
форме самостоятельной работы, следует, естественно, учитывать требования,
исходящие из методики самостоятельной работы.
Самостоятельная работа учащихся – это такой способ учебной работы, где
1) учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения;
2) работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его
руководством; 3) выполнение работы требует от учащегося умственного
напряжения.
С точки зрения организационных основ самостоятельную работу можно
разделить на: 1) самостоятельную работу в школе и 2) самостоятельную
работу, выполняемую за пределами школы, в т. ч. и дома. Самостоятельная
работа в школе может проводиться в рамках урока, зачета, семинара,
практического занятия и т. д. На основе другого логического членения можно
выделить еще два вида самостоятельной работы: 1) индивидуальную и 2)
групповую.
В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное
задание, которое предполагает и выполнение определенной письменной работы.
В этом случае можно проверить степень участия ученика в выполнении этого
задания. Самостоятельная работа позволяет работать и в индивидуальном темпе
и стиле.
Учебные задания для самостоятельной работы.
Учебные задания для самостоятельной работы весьма разнообразны. Их
можно в основном делить на следующих 4 логических основаниях: 1) по методу
самостоятельной работы учащихся (например, наблюдения, упражнения, работа с
текстом учебника); 2) по звеньям учебного процесса (задания на восприятие,
систематизацию, закрепление и повторение учебного материала); 3) по
характеру познавательной деятельности учащегося (репродуцирующие и
творческие задания); 4) по характеру руководства (подробное или менее
подробное инструктирование).
Выделяют 3 основных вида основной работы:
А. Учебные задания, опосредующие учебную информацию. В учебном
задании соответствующая информация дана непосредственно или же
задание указывает на источник, откуда можно получить
необходимую информацию. Этот вид задания заменяет устное
изложение учителя и предназначен в основном для первоначального
восприятия учебного материла.
Б. Учебные задания, направляющие работу ученика с учебным
материалом. Эти задания ориентируют ученика на осмысление и
систематизацию учебного материала, а также на самоконтроль;
наводят на сравнение, выводы, обобщения.
В. Учебные задания, требующие от ученика творческой
деятельности. Эти задания направляют ученика к решению проблем,
к самостоятельному сбору материала, к составлению заданий.
Рабочее руководство к индивидуализированной самостоятельной работе.
Рабочее руководство к индивидуализированной самостоятельной работе
представляет собой, в принципе, такое же рабочее руководство, которое
используется при обычной самостоятельной работе. Поэтому по отношению к
нему действуют точно такие же требования. Эти руководства различаются тем,
что в пределах класса не ограничиваются только одним-единственным рабочим
руководством, а составляют его варианты, где учитываются индивидуальные
особенности учащихся с помощью индивидуализированных заданий.
Варианты рабочего руководства могут отличать друг от друга или
частично, или полностью. Выбор варианта зависит от того, в какой мере
желают индивидуализировать учебную работу.
Среди вариантов, использованных в наших экспериментах, можно выделить
следующие типы рабочих руководств:
1 тип.1. Общие задания.
2. Дополнительные задания более быстрым и сильным ученикам.
2 тип.1. Общее задание.
2. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б)
средний вариант, в) более трудный вариант.
2. тип. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний
вариант, в) более трудный вариант.
3. тип. 1. Разветвленные задания: а) более легкий вариант, б) средний
вариант, в) более трудный вариант.
2. Общие задания.
АЛГЕБРА IX КЛАСС
I вариант
Часть А
1. Упростите выражение а3 (а-2)3.
1) а-5; 2) а-3; 3) а-9; 4) а9.
2. Найдите значение выражения b – 54b-2, если b = 3.
1) –6; 2) 9; 3) –3; 4) 327.
3. Решите систему уравнений:
[pic][pic]
1) (3; -1); 2) (-1; 3); 3) (-2; 6); 4) (6; -2).
4. Сократите дробь: 9с2 - 1
2с+ 6с2
1) [pic][pic]; 2) [pic]; 3) 3с – 1; 4) 3с + 1.
5. Упростите выражение: 25 – (5 – 2с)2.
1) 20с + 4с2; 2) 10с – 4с2;
3) –20с + 4с2; 4) 20с – 4с2.
6. Упростите выражение: [pic]+ [pic] + 5[pic].
1) 14[pic]; 2) 50[pic]; 3) 20[pic]; 4) 24[pic].
7. Решите систему неравенств:
[pic]
1) (?; -8); 2) [pic];
3) [pic]+? ); 4) (-?; [pic].
8. Через точку (0; -1) проходит график функции
1) у = 1 – х2; 2) у = [pic]; 3) у = х – 1; 4) у = [pic] - 1.
9. По графику квадратичной функции найдите все значения аргумента, при
которых значения функции неотрицательны.
у
1) (?; -1);
2) (?; [pic][pic][pic][pic]; +?);
3) [pic]; ?); 4) [pic] ; +?).
0
-3 -2 -1 1 2 3 4 х
10. Упростите выражение: m + m2 + 9
m+3 9-m2
1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic].
11. Выразите из формулы S=[pic] переменную b.
1) b = [pic]; 2) b = [pic];
3) b = [pic] - а; 4) b = [pic] - a.
12. На рисунке изображен график движения пешехода из города М в город
К. На каком расстоянии от города М пешеход устроил привал?
S (км)
14 К
12
10
8
6
4
2
М 1 2 3 4 5 6 t(ч)
1) 8 км; 2) 4 км; 3) 2 км; 4) 5 км.
13. Расположите в порядке возрастания числа [pic]; 3[pic]; 4.
1) [pic]; 4; 3[pic]; 2) 4; [pic]; 3[pic];
3) 3[pic]; [pic]; 4; 4) 4; 3[pic]; [pic].
3.
14. Катер прошел по течению реки 8 км и вернулся обратно,
потратив на весь путь 5ч. Скорость течения реки 3 км/ч. какова собственная
скорость катера?
Если собственную скорость катера обозначить буквой х, то можно
составить уравнение:
1) 2,5(х+3)+2,5(х-3) = 8 2) [pic] +[pic]= 5;
3) [pic]+[pic]= 8; 4) [pic]+[pic]= 8.
15. Соотношение соли и сахара в рассоле равно 5 : 2. Сколько сахара
содержится в 210 г рассола?
1) 60 г; 2) 70г; 3) 42 г; 4) 105г.
16. Вычислите значение выражения:
( 1,47 • 10-5) : (4,2 • 10-8)
и приведите результат к стандартному виду.
1) 3,5 • 10-2; 2) 3,5 • 102; 3) 3,5 • 104; 4) 0,35 • 103.
17. Решите неравенство х2 – 5х + 4 [pic] 0.
1) (?; 4); 2) (-?; [pic]; 3) [pic]; 4) (-4; -1).
Часть В
1. Найдите 35% от числа 420.
2. Найдите положительный корень уравнения 17х2 – 51х = 0
3. Решите уравнение [pic] - [pic] = 8
4. Найдите ординату точки пересечения графиков функций у=5х – 1 и
у = 4х + 5.
5. Найдите меньший корень уравнения [pic]= 5 + х
Часть С
1.Сократите дробь 4х2 + 5х + 1
2х + 8х2.
2. Задайте формулой квадратичную функцию, график которой – парабола с
вершиной в точке Т (0; 4), проходящая через точку М (-3; -8).
Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии
11,3; 9,6; … .
Ответы
I вариант
А: 1. 2; 2. 3; 3. 1; 4. 1; 5. 4; 6. 3; 7. 4; 8. 3; 9. 2; 10.
4; 11. 3; 12. 1;
13. 2; 14. 4; 15. 4; 16. 2; 17. 3.
В: 1. 147; 2. 3; 3. –22; 4. 29; 5. –6.
С: 1. [pic] ; 2. у = -[pic] х2 + 4; 3. 43,4.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА XI КЛАСС
I вариант
Часть А
1. Результат вычисления выражения
[pic](1,6 - 2[pic] - [pic][pic]) · (-3[pic]) – 0,4 : (-1,25) равен:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
2. Результат упрощения выражения
( [pic]+ [pic]) : [pic]+[pic] имеет вид:
1) –с – 1; 2) 1 – с; 3) 2 – с; 4) с – 1; 5) с –2.
3. Даны три точки: (1; -2), (-2; 1), (2; 3). Если две из них
принадлежат графику функции у = ах + b, пересекающему ось Оу в
точке с положительной ординатой, то значение параметра а равно:
1) –1; 2) 2; 3) 5; 4) 0,5; 5) 0,75.
4. Число целых значений аргумента на промежутке [pic], при которых
функция у = 2х2 – 8х + 2 принимает отрицательные значения, равно:
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
5. Если х0, у0 – решение системы уравнений
|
