Класифікація суджень (продовження)
2. Знаки логічних сполучників:
л — кон'юнкція (приблизно відповідає граматичному сполучнику «і»);
v — нестрога (слабка) диз'юнкція (відповідає граматичному сполучнику «або»);
у — строга (сильна) диз'юнкція (відповідає... — «або.., або...»);
—»— імплікація (відповідає... — «якщо..., то...»);
<-> — еквіваленція (відповідає... — «якщо і тільки якщо...»;
заперечення (цей знак пишеться над вислов
люванням, відповідає частці «не» і читається — «хиб
но, що...»).
3. Технічні знаки:
( — ліва дужка;
) — права дужка;
, — кома.
Перелічені знаки — знаки пропозиційних змінних, логічних сполучників і технічні знаки — становлять собою алфавіт логіки висловлювань, або пропозицій-ної логіки.
Що таке формула логіки висловлювань?
По-перше, будь-яка пропозиційна змінна є формулою логіки висловлювань. По-друге, якщо F і F є формулами логіки висловлювань, то формулами будуть і «FAFJ», «FVFJ», «FyFj», «F-tFj» «F-t-Fj». По-третє, якщо F є формулою логіки висловлювань, то F також буде формулою.
Послідовність знаків «Av», «wl», «vAv», «AB» не є формулами логіки висловлювань подібно до аналогічних виразів у математиці.
Щоб «перекласти» вираз природної мови на мову логіки висловлювань, необхідно:
1) виділити всі прості речення1 природної мови;
2) позначити їх знаками відповідних пропозиційних змінних;
3) встановити граматичні сполучники, які мають місце в міркуванні і пов'язують прості речення природної мови у складні;
:При цьому прості речення з однорідними членами нерідко розглядають як складні. Наприклад: «Він поет і майстер живопису» (АлВ), тобто «Він поет, і він майстер живопису».
4) позначити ці сполучники відповідними знаками (символами) логічних сполучників;
5) записати вираз, що аналізується, з допомогою відповідних логічних знаків.
Наприклад: «Почалася сесія, і роботи додалося» — (АлВ); «Якщо чотирикутник має попарно паралельні сторони і прямі кути, то він є прямокутником» — (АлВ)С.
Логіка висловлювань дає можливість на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновок про логічне значення складних висловлювань. Щоправда, існують випадки, коли істин-нісне значення складних висловлювань залежить від таблиць істинності логічних зв'язок і зовсім не залежить від істинності чи хибності простих висловлювань.
Щоб навчитися визначати логічне значення складних висловлювань, розглянемо таблиці істинності логічних зв'язок, які, до речі, є вичерпною характеристикою цих зв'язок, яка не йде ні в яке порівняння з посиланням на їх аналогію з граматичними сполучниками.
Таблиця істинності кон'юнкції
А В АлВ
і і і
і X X
X і X
X X X
З таблиці видно, що кон'юнкція істинна лише тоді, коли всі кон'юнкти істинні (всі, а не два, бо їх може бути й більше). В усіх інших випадках кон'юнкція хибна. Так, кон'юнктивне судження «Всі ромби мають рівні сторони і взаємно перпендикулярні діагоналі» істинне, а судження «Всі ромби мають рівні сторони і кути» хибне.
Нестрога диз'юнкція є хибною лише тоді, коли всі диз'юнкти хибні. В усіх інших випадках вона є істинною.
Наприклад:
1) «Новий Лондон знаходиться в Австралії або в Канаді»;
2) «О.С.Пушкін — поет або прозаїк»;
3) «Гегель був філософом або фізиком».
Таблиця істинності нестрогої (слабкої) диз'юнкції
А В AvB
і і і
і X і
X і і
X X X
Перше диз'юнктивне висловлювання є хибним, оскільки обидва диз'юнкти (члени диз'юнкції) є хибними. Новий Лондон знаходиться не в Австралії і не в Канаді, а в двадцять другому штаті США — штаті Коннектикут.
Друге і третє висловлювання істинні, бо в другому висловлюванні обидва диз'юнкти є істинними, а в третьому — один, перший.
Таблиця істинності строгої (сильної) диз'юнкції
А В AvB
і і X
і X і
X і і
X X X
Строга диз'юнкція є істинною тоді, коли один і лише один диз'юнкт є істинним. В іншому разі вона буде хибною.
Наприклад:
1) «Цей кут є або гострим, або прямим, або тупим »;
2) «Цього літа ми поїдемо відпочивати або в Ялту, або в Скадовськ».
Перше висловлювання є істинним, бо будь-який кут неодмінно належить до одного і тільки одного з названих різновидів. А друге висловлювання може виявитися як істинним (за умови, що його автор відпочиватиме в зазначений час в одному і тільки в одному з названих міст), так і хибним (коли його автор відпочиватиме «цього літа» в обох названих містах або не відпочиватиме в жодному з них).
Таблиця істинності імплікації
А В А->В
і і і
і X X
X і і
X X і
Імплікація є хибною лише тоді, коли антецедент (перша частина імплікації) є істинним, а консеквент (друга частина імплікації) — хибним. В усіх інших випадках імплікація є істинною.
Наприклад: «Якщо робітник старанно працює, то він своєчасно одержує платню». Це висловлювання буде хибним лише за умови, коли перше судження («Робітник старанно працює») є істинним, а друге («Він своєчасно одержує платню») — хибним.
Еквівалентне висловлювання є істинним за умови, коли обидві його складові є одночасно або істинними, або хибними.
Таблиця істинності еквіваленції
А В А<эн>В
і і і
і X X
X і X
X X і
Наприклад: «Якщо ця геометрична фігура — прямокутник, то вона є паралелограмом з прямими кутами». Це висловлювання буде істинним лише за умови, що обидві його частини матимуть однакове логічне значення, тобто будуть або одночасно істинними, або одночасно хибними.
Таблиця істинності заперечення
А А
і X
X і
Заперечення перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне — на істинне. Наприклад:
1) «Відень — столиця Австрії»;
2) «5x5 = 50».
Вдавшись до операції заперечення, ми перетворимо істинне висловлювання на хибне («Хибно, що Відень — столиця Австрії), а хибне — в істинне («Хибно, що 5 х 5 = 50»).
Типи складних висловлювань
Логіка висловлювань дає змогу на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновки про істинність чи хибність складних висловлювань. Наприклад, дано висловлювання «А—> —>BVCAD» І ВІДОМО, ЩО А — істинне, В — істинне, С — хибне і D — хибне. Завдання полягає в тому, щоб визначити логічне значення названого складного висловлювання.
Щоб виконати це завдання, треба взяти до уваги, по-гіерше, логічні значення простих висловлювань, а по-друге — дані таблиць істинності відповідних логічних зв'язок. До того ж треба пам'ятати черговість логічних операцій: спочатку виконується кон'юнкція, потім диз'юнкція, імплікація і т. д. (подібно до того, як у математиці спочатку виконують множення і ділення, а потім додавання і віднімання).
Визначаючи логічне значення висловлювання «А—> -+BVCAD», здійснимо послідовно відповідні операції:
1) С (хиба) л D (хиба) дає хибу;
2) В (істина) v хиба дає істину;
3) А (істина) —> істина дає істину.
|
