Отже, при наведених логічних значеннях простих висловлювань складне висловлювання «A-BVCAD» виявилося істинним. Проте можуть трапитися випадки, коли логічні значення деяких простих висловлювань у складному нам невідомі. Чи можна визначити логічне значення складних висловлювань у такому разі? Іноді можна. Наприклад, є складне висловлювання «BVCA AD», В якому В — істинне, а логічні значення простих висловлювань С і D — невідомі. Орієнтуючись на таблицю істинності нестрогої диз'юнкції й враховуючи черговість логічних операцій, неважко дійти висновку, що це висловлювання є істинним. Загалом висловлювання «BVCAD» можна розглядати як нестрогу диз'юнкцію: «BV(CAD)». Оскільки в цій диз'юнкції один диз'юнкт (В) істинний, то й диз'юнкція загалом буде істинною, незалежно від логічного значення другого диз'юнкта — (CAD).
І, нарешті, здавалося б, зовсім безглузде запитання: а чи трапляються складні висловлювання такої конструкції, логічне значення яких можна визначити за умови повної відсутності знань про істиннісне значення їх складників, тобто відповідних простих висловлювань?
Так! Як це не парадоксально.
Наприклад:
1. AvBvA._
2.A->(BvB).
З.АА(ВА'В).
4.AvA.
Перше і друге висловлювання істинні, а третє і четверте — хибні.
Перше висловлювання істинне тому, що це нестрога диз'юнкція, яка є істинною за умови, що хоча б один диз'юнкт є істинним. А в цьому висловлюванні завжди є істинним один із диз'юнктів: або А, або не-А.
Друге висловлювання теж істинне, бо загалом воно є імплікативним з істинним консеквентом («BvB»). A імплікація не може бути хибною за умови, що її консеквент є істинним (про це свідчить таблиця істинності імплікації).
Третє висловлювання хибне, бо кон'юнкція є хибною, якщо хоч один кон'юнкт хибний. А в цьому висловлюванні другий кон'юнкт («ВлВ») є хибним.
Четверте висловлювання («AvA») теж хибне, бо диз'юнкція «AvA» є істинною, а її заперечення (риска над цим висловлюванням) перетворює його на хибне.
Перше і друге висловлювання не просто істинні, а «завжди істинні», тобто такі, істинність яких не залежить від істинності чи хибності їх складників. «Завжди істинні» висловлювання (формули) називають законами логіки. їх називають ще «тотожно істинними», «логічно істинними», «тавтологіями», «універ-сально-загальнозначимими».
Третє і четверте висловлювання є теж не просто хибними, а «завжди хибними», тобто такими, хибність яких не залежить від логічного значення простих висловлювань, їх складників. «Завжди хибні» висловлювання (формули) ще називають логічними суперечностями .
Переважна ж більшість складних висловлювань є такими, істиннісне значення яких не можна визначити без врахування істинності чи хибності їх складників. Такі висловлювання називаються виконуваними (здійсненними, невизначеними).
У логіці розроблено спеціальні методи, з допомогою яких з'ясовують, до якого типу належить те чи інше складне висловлювання (формула), тобто встановлюють, чи є воно «завжди істинним» (законом логіки), «завжди хибним» (логічною суперечністю) чи виконуваним.
Розглянемо один із таких методів — метод таблиць істинності.
Таблиці істинності логічних зв'язок, з якими ми вже ознайомились, можна застосовувати і для визначення істиннісноґо значення складних висловлювань. Ці таблиці будують за схемою.
У перший рядок таблиці вписують спочатку прості висловлювання (пропозиційні змінні), потім ті складові висловлювання, що містять одну логічну зв'язку, за ними — ті, що містять дві зв'язки і т. д. Завершується рядок висловлюванням, яке аналізується. Кожному складнику висловлювання в першому рядку таблиці відводиться клітинка, кожна з яких розпочинає відпо єний стовпчик. _
Наприклад, висловлювання «(AVB)AB» так вписується в таблицю:

А В В AvB (AvB)vB

Y і
Оскільки до складу досліджуваного висловлювання входять лише дві пропозиційні змінні (А, В), то рядків у таблиці буде чотири (коли б пропозиційних змінних було три, то кількість рядків подвоїлася б).
Заповнюючи таблицю, впишемо в перший та другий стовпчики усі припустимі набори логічних значень пропорційних змінних «А» і «В». Значення «В » встановлюється відповідно до значень «В» згідно з таблицею істинності зв'язки «заперечення».
Значення «AvB» встановлюється відповідно до значень «А» і «В» згідно з таблицею істинності нестрого! диз'юнкції. Логічне значення досліджуваного висловлювання «(AVB)ABJ> встановлюється відповідно до значень «AvB» і «В» згідно з таблицею істинності кон'юнкції.

А В В AvB (AVB)AB
і і X і X
і X і і і
X і X і X
X X і X X
Оскільки в останньому стовпчику таблиці траплявся різні логічні значення (тобто як «істина», так і &ба»), то це висловлювання є виконуваним.

А В А АлА (АлА)ч>В
і і X X і
і X X X і
X і і X і
X X і X і
Логічна суперечність

А В А AvB АлА (AvB)л (АлА)
і і X і X X
і X X і X X
X і і і X X
X X і X X X
Метод таблиць істинності ефективний при з'ясуванні типу складних висловлювань, які містять дві-три пропозиційних змінні. Якщо ж пропозиційних змінних у висловлюванні більше, то вдаються до методу аналітичних таблиць [92] та інших методів.
Навіть коли висловлювання містить три пропози-ційні змінні, таблиці істинності вже є громіздкими:

А В с А АлВлА (АлВлА)ч>С
і і і X X
і І X X X
і X і X X
і X X X X
X і і і X
X і X і X
X X і і X
X X X і X і
З'ясувавши сутність і значення логіки висловлювань (пропозиційної логіки), неважко здогадатися про її неуніверсальний характер. Це виявляється в тому, що існують такі міркування, правильність яких не можна обґрунтувати з допомогою числення висловлювань, тобто абстрагуючись від внутрішньої структури простих висловлювань. Так, правильність міркування «Всі метали — електропровідники, отже, деякі електропровідники — метали» залежить не лише від логічних зв'язків між висловлюваннями, а й від їх внутрішньої будови. Цей та інші факти свідчать про необхідність такої логічної теорії, яка б брала до уваги суб'єктно-предикатну структуру простих висловлювань і ввела б нові логічні константи: «V»— квантор загальності і «З» — квантор існування. Вираз «Vx» читають: «для будь-якого х...», а вираз «Зх» — «існує такий х...».
Така теорія створена. Вона називається логікою предикатів, або теорією квантифікації. До того ж ця теорія — це розширення логіки висловлювань, тому всі закони останньої є одночасно і законами логіки предикатів (але не навпаки!). Предметом цієї логіки є також лише дескриптивні висловлювання, які мають два логічні значення: «істина» і «хиба».
Мова логіки предикатів — це штучна мова, пристосована до аналізу логічної структури простих висловлювань. До неї належать список відповідних знакових засобів (алфавіт) і визначення правильно побудованих виразів. Такими виразами є терми і формули.
Знакові засоби мови логіки предикатів поділяють на технічні і нетехнічні, а останні, у свою чергу, — на логічні і нелогічні. До нелогічних термінів належать насамперед імена і предикатори.
Ім'я — термін, що позначає будь-який предмет.
Предикатор — термін, що позначає ту чи іншу властивість предмета або відношення.
Предикатори, що виражають властивості предметів, називаються одномісними, а предикатори, які виражають відношення між предметами, — неодномісни-ми (двомісними, тримісними тощо). Предметним значенням предикаторів вважають множини, елементами яких є або окремі предмети, або їх послідовності (наприклад, пари предметів).
Логічними термінами, які входять до складу простих висловлювань, є квантор загальності та квантор існування.
Алфавіт логіки предикатів
І. Нетехнічні знаки. До нетехнічних належать нелогічні і логічні знаки: предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні, предикатні символи, знаки логічних сполучників і знаки кванторів.
1. Предметні (індивідні) константи: а, Ь, с, а;, br сг.. Ці знаки використовують для позначення власних імен природної мови («Чернігів», «Гегель», «Тетерів»).
2. Предметні (індивідні) змінні: х, у, z, x', yr zr Якщо предметні константи пов'язують з конкретними власними іменами, то предметні змінні замінюють будь-яке ім'я відповідної предметної сфери («місто», «людина», «річка»).
3. Предикаторні константи: Pn, Q", R", Sn, Pnr Qnr Rnv Snr.. Цими знаками позначають предикатори природної мови. Верхній індекс вказує на їх місткість, а нижній — на порядковий номер. Так, одномісний пре-дикатор можна записати як Р двомісний — як Р2 тощо (прикладом одномісного предикатора може стати вираз «бути електропровідним», двомісного — «бути дешевшим, ніж», а тримісного — «розташовуватися між»).
4. Знаки логічних сполучників (ці знаки відомі нам з логіки висловлювань): «—», «л», «v», «v», «—>», «<-»».
5. Знаки кванторів: V — знак квантора загальності і З — знак квантора існування.
II. Технічні знаки:
( — ліва дужка;
) — права дужка;
, — кома.
Перелічені технічні знаки в логіці предикатів служать своєрідними знаками пунктуації.
Алфавіт універсальніших штучних мов логіки предикатів поповнюється й деякими іншим знаками.
Визначення правильно побудованих виразів
У мові логіки предикатів є два види правильно побудованих виразів (п.п.в.) — це терми і формули. Визначення терма:
1. Будь-яка предметна константа є термом.
2. Будь-яка предметна змінна є термом.
Іншими словами, символи а, Ь, с... (як предметні константи) і символи х, у, z... (як предметні змінні) є термами, чого не можна сказати про символи Р, Q, R тощо.
Визначення формули:
1. Якщо t , г2,..., t — терми і П". є п-місним пре-дикатором то Пп. (rr t2, .... tj є формулою.1
2. Якщо А є формулою, то й А (не-А) є формулою.
3. Якщо А і В є формулами, то формулами є й такі висловлювання, як «ААВ», «AVB», «AVB», «А—>В», «А<->В».
4. Якщо А є формулою, ах — предметною змін
ною, то й «ЗхА» і «VxA» теж є формулами2.
Жоден інший вираз не є формулою.
Формули, наведені в першому пункті, називають простими, або атомарними, а всі інші — складними, або молекулярними. Так, вираз Р1 — це знак одномісного предикатора, ах — предметна змінна, яка є термом. Вираз же Р1 (х, R (а)) не можна вважати формулою, бо R(a) не є термом.
Щоб перекласти на мову логіки предикатів висловлювання природної мови, необхідно:
— всі кванторні слова замінити відповідно кванто
рами загальності чи існування (V, 3);
— всі слова, які є власними іменами, замінити предметними (індивідними) константами (а, Ь, с...);
— всі слова, які є загальними іменами, замінити предметними (індивідними) змінними (х, у, 2...);
— всі слова, які позначають властивості предметів, замінити одномісними предикаторами, а слова, що позначають відношення, — двомісними чи багатомісними предикаторами.

назад |  1 2  3 4 | вперед