Після цього можна записати формулу в цілому. Розглянемо кілька прикладів перекладу висловлювань природної мови на мову логіки предикатів.
1Верхній індекс «п» (п>1) вказує на те, яким є предика-тор: одномісним, двомісним, тримісним. А нижній «і» свідчить про довільність предикатора.
2Символи tr t2 tn; 27".; А, В належать не до знаків мо
ви логіки предикатів,"а до знаків метамови, з допомогою
якої говориться про вирази логіки предикатів.
1. «Всі квадрати — ромби».
Позначивши кванторне слово «всі» знаком «V», «квадрати» — «х», а «ромби» — «Р», одержимо формулу «УхР(х)». Це висловлювання можна зобразити засобами мови предикатів і по-іншому «Ул: (P(x)-Q(x))», де «Р» і «<3» позначають відповідно властивості «бути квадратом» і «бути ромбом». Цей вираз читається: «Для будь-якого х вірно, що коли х є квадратом, то він є ромбом».
2. «Деякі ромби — квадрати» — 3X(Q(X)AP(X)), що означає «Існують такі х, для яких вірно, що х є ромбом і квадратом».
3. «Деякі ромби не квадрати» — 3X(Q(X)AP(X)), що означає: «Існують такі х, для яких вірно, що х — ромб і х не є квадратом».
4. «Жоден квадрат не є трикутником» — Vx (P(x)—> —>R(x)), що означає: «Для будь-якого х вірно, що коли х є квадратом, то він не є трикутником».
Зв'язані та вільні змінні
Приписування до предиката квантора загальності чи квантора існування називається операцією зв'язування квантором.
Квантифікація може здійснюватися одночасно по відношенню до кількох пропозиційних функцій, а також при одночасному використанні кількох кванторів. Тому необхідно враховувати сферу дії кожного квантора, ту частину квантифікованої функції, на яку поширюється дія того чи іншого квантора. Так, у формулі /x(P(x)~>3y(Q(x)vR(y))) сферою дії квантора загальності є вся частина формули, розташована справа від цього квантора (тобто P(x)~>3y(Q(x)vR(y ) ), а сферою дії квантора існування — тільки Q(x)vR(y).
Змінна, яка розташована безпосередньо після квантора і входить у сферу його дії, називається зв'язаною змінною, а змінна, яка не входить до сфери дії квантора, — вільною.
Розглянемо відмінність між вільними і зв'язаними змінними на такому прикладі:
Ух (P(x)->R(u))A3y(Q(x,y)vR(x,z)).
Тут дужки вказують на сферу дії кожного квантора. Вільні змінні (змінні, що вільно входять до формули) підкреслено. Лише вони є справжніми змінними, а зв'язані змінні називають фіктивними. Справді, змінна — це те, замість чого можна підставити одне з її значень і одержати осмислений вираз, проте зв'язані змінні не задовольняють цієї умови.
Формули /хР(х) і УуР(у) різняться лише своїми фіктивними змінними, тому вони розглядаються як різні способи запису одного і того ж висловлювання і називаються конгруентними.
Формули, в яких усі індивідні змінні зв'язані, називаються замкненими. Ці формули є символічними записами певних висловлювань, істинних або хибних. А формули, до складу яких входять вільні індивідні змінні, є символічними записами пропозиційних форм, які неможливо однозначно оцінити як істинні чи хибні. Такі формули називають відкритими.
Змінну, яка вільно входить до формули, можна замінити на іншу індивідну змінну. Причому, якщо змінна, що вводиться у формулу, відрізняється від усіх інших індивідних змінних цієї формули, то всі вільні входження індивідних змінних є вільними. У цьому разі фактично відбувається лише переіменуван-ня індивідної змінної (наприклад, х на г). Якщо ж під час заміни індивідної змінної (скажімо, х на z) виявиться, що в цій формулі вже є входження 2 і до того ж зв'язане, то може виникнути ситуація, яку називають колізією змінних, коли в результаті заміни, скажімо, х на 2, вільні входження індивідної змінної перетворюються на зв'язані. У правильних міркуваннях така (некоректна) заміна неприпустима, оскільки вона може призвести до хибних тверджень. Так, заміна вільної індивідної змінної х у формулі Зу(х < у) на у є некоректною — Зг/(у < у), оскільки перетворює істинне висловлювання на хибне: «Існує таке число (у), яке є більшим за себе».
Ознайомившись із наведеними поняттями, можна починати розгляд системи виводу в логіці предикатів. Ця система містить правила виводу логіки висловлювань і правила введення й усунення кванторів.
Досі йшлося про логіку предикатів першого ступеня, в якій квантори зв'язують предметні змінні. Проте, щоб охопити всі вирази природної мови, не Достатньо ні логіки висловлювань, ні логіки предикатів першого ступеня. В розмовній мові трапляються предикати не лише від предметних змінних, а й від предикатів. Іншими словами, бувають ситуації, коли виникає потреба в мові ширшого порядку. Йдеться про можливість побудови мови логіки предикатів другого, третього, четвертого чи й будь-якого іншого ступеня порядку.
Для роздумів
Крім традиційного, можна було б запропонувати й інші визначення судження, скажімо, як форми мислення, з допомогою якої встановлюється відношення між обсягами понять: у стверджувальних — як сумісних, тобто або тотожних, або перехресних, або таких, що перебувають у відношенні підпорядкування, в заперечних — як несумісних. Щоправда, обсяг предиката частково заперечного судження є несумісним лише з тією частиною обсягу суб'єкта, яка дійсно в ньому мислиться. Так, у судженні «Тільки деякі ромби не належать до квадратів» квадрати повністю виключаються не з усієї множини ромбів, а лише з певної їх підмножини. При додатковій інформації можна встановити, що квадрати повністю виключаються із підмножини не прямокутних ромбів.
Порівнюючи судження з поняттями, як правило, стверджують, ніби поняття загалом є змістовнішими, оскільки в них відображаються лише істотні та загальні ознаки, а в судженнях можуть відображатися (і дуже часто відображаються) й неістотні, випадкові, зовнішні, одиничні ознаки. Та при цьому порушуються вимоги логіки, коли, оцінюючи змістовність судження, беруть до уваги лише явно виражені знання, а, оцінюючи зміст поняття, враховують неявно виражені знання. Проте судження складається з понять суб'єкта і предиката — і в них у неявній формі (точно так само, як і в поняттях!) мисляться істотні й загальні ознаки. Так, у судженні «Деякі люди короткозорі» в явній формі розкривається лише одна і до того ж неістотна ознака людей. Проте в суб'єкті в неявній формі мисляться всі ті істотні й загальні ознаки, що і в понятті «людина». Звідси випливає висновок, що судження не поступаються за змістом поняттям. Більше того, завдяки судженням відображаються й інші ознаки — неістотні, одиничні тощо, без знання яких людям не обійтися.
Предикат судження традиційно визначається як поняття про ознаку, яка належить чи не належить предметові (чи множині предметів), що мислиться в суб'єкті. На нашу думку, у формальній логіці предикат раціональніше розглядати як поняття про множину предметів. Так, у судженні «Ця троянда червона» троянда мислено включається до обсягу поняття «червона». Ця істина фактично визнається при встановленні розподіленості термінів у судженні.
Мають місце суперечності й при з'ясуванні структури судження. Так, розкриваючи структуру судження, цілком слушно стверджують, що суб'єкт судження може виражатися як групою граматичного підмета, так і групою граматичного присудка. Наприклад, у судженні «Риба дихає зябрами», яке є відповіддю на запитання «Хто дихає зябрами?», суб'єктом є поняття «ті, хто дихає зябрами», а предикатом — «риба». Та визнавши цю незаперечну істину, автори підручників тут же відмовляються від неї, стверджуючи, ніби суб'єкт займає перше місце в судженні і, як правило, супроводжується відповідними кванторними словами («всі», «жоден», «деякі» тощо).
Парадоксально, що студенти не помічають цієї метаморфози. Спантеличені словами викладача логіки про те, що предмет думки може виражатися не лише групою граматичного підмета, а й групою граматичного присудка, вони відразу заспокоюються, коли викладач відмовляється від своїх слів, завжди ставлячи на перше місце суб'єкт, а на друге -— предикат («Всі S є Р», «Деякі S є Р»).
Не виключена можливість, що такий підхід до аналізу суджень, коли на перше місце ставиться суб'єкт, має певний сенс. Та про це необхідно відверто заявити, скажімо, так: «Пам'ятаючи, що суб'єкт і предикат судження можуть виражатися як групою підмета, так і групою присудка, домовимося, що в подальшому вивченні суджень ми будемо ставити на перше місце суб'єкт і виражатимемо його, як правило, групою підмета. В іншому разі аналіз суджень буде ускладненим, оскільки вивченню будь-якого аспекту теми «Судження» знову і знову передуватиме визначення його конкретної структури. До того ж таке визначення поза контекстом і актом мовлення неможливе. А пізніше, вивчаючи операцію обернення, необхідно знову повернутися до цього питання, зазначивши, що з допомогою цієї операції можна домогтися того, щоб суб'єкт судження завжди був на першому місці.
Визначити розподіленість термінів судження формально-логічними засобами вдається не завжди, що в кінцевому підсумку негативно виявляється в процесі міркування.
Встановлюючи розподіленість термінів судження, треба враховувати лише його форму, а не зміст. При цьому слід брати до уваги і ту обставину, що основним завданням при аналізі суджень, які нам пропонуються (як аргументи доведення чи засновки умовиводів), є з'ясування їх будови. Так, суб'єкт судження «Всі люди мають високу мораль» може здатися нерозподіленим на тій підставі, що фактично не всі люди належать до високоморальних. Але ж при цьому ми свавільно змінили кількісну характеристику запропонованого нам судження. Кванторне слово «всі» свідчить про те, що суб'єкт цього судження розподілений, а предикат — невизначений (як предикат стверджувального судження), хоча при врахуванні змісту він виявився б розподіленим, оскільки всі високоморальні належать до людей.
Класифікуючи судження, треба віднести судження існування до атрибутивних. Ніхто не стане заперечувати, що наявність буття є атрибутом усіх речей у прямому розумінні цього слова.
Непереконливим є і поділ суджень на ймовірні та достовірні. Формально-логічні критерії не дають змоги відрізнити взяті поза контекстом справді достовірні судження від імовірних. Адже ніхто не стане заперечувати, що судження «Мабуть, усі метали електропровідні» за формально-логічними критеріями має ймовірнісний характер, а судження «Немає сумніву в тому, що Сонце є супутником Землі» є достовірним. Тому поділ суджень на ймовірні і достовірні потребує уточнення. Це стосується і визначення цих суджень у системі формальної логіки.
Недосконалим видається і «логічний квадрат». Справді, якщо часткові судження (7, О) вважати визначеними («Тільки деякі S є Р», «Тільки деякі S не є Р»), то два суперечних судження можуть бути одночасно хибними, а істинним виявиться третє судження, що суперечить закону виключеного третього, який твердить: із двох суперечних суджень одне неодмінно істинне, друге — хибне, а третього і бути не може. Так, судження «Жоден метал не є електропровідним» і «Тільки деякі метали електропровідні» є одночасно хибними, а істинним виявиться третє судження «Всі метали електропровідні».
Якщо ж часткові судження вважати невизначеними (тобто формулу «Деякі S є (не є) Р» інтерпретувати як «Принаймні деякі S є (не є) Р»), то виникає інша проблема: два суперечних судження можуть виявитися протилежними з усіма відомими наслідками, насамперед тим, що вони можуть бути одночасно хибними.
Як же ми, викладачі логіки, виходимо з цього глухого кута? Намагаємося довести студентам, ніби з двох суперечних суджень одне неодмінно істинне, оскільки невизначене часткове судження фактично містить у собі два судження «Деякі S (а можливо, і всі S) є Р». Якщо закон виключеного третього уже своєю назвою не припускає можливості третього, то в невизначеному частковому судженні третє мислиться з самого початку («А можливо, і всі S є Р»; «А можливо, і жодне S не є Р»).
У символічній логіці, зокрема в логіці висловлювань, аналогічні проблеми розв'язуються іншими засобами і коректніше. Так, з істинності судження а з необхідністю випливає хибність в, і навпаки. При цьому а означає будь-яке за кількістю і якістю судження, а в є судженням про вихідне судження — «Хибно, що а...».
Багато позитивного пишуть про символічну логіку, її значення. Проте, наскільки автору відомо, ніхто не висвітлює питання про втрати логічної науки від недооцінки традиційної логіки. Цікаво було б зіставити, зокрема, вчення традиційної логіки про складні судження і логіку висловлювань та логіку предикатів і з'ясувати питання, чи всі здобутки цього вчення збереглися в логіці висловлювань.
Загальна характеристика законів логіки
Ще філософи Давнього світу здогадувалися про те, що зв'язки між думками в структурі міркування не залежать від волі того, хто міркує, а в міркуваннях є щось таке, що виступає як примусова сила стосовно суб'єкта мислення — людини. Скажімо, стверджуючи, що всі люди — егоїсти, автор цього судження (бажає він цього чи ні) називає егоїстом і себе.
Здогад про наявність названих примусових сил (йдеться про об'єктивні, тобто незалежні від свідомості й волі людини закони, які діють у сфері мислення) був конкретизований у працях Арістотеля, котрий сформулював три із чотирьох основних законів логіки, — закони тотожності, суперечності й виключеного третього. Четвертий закон — закон достатньої підстави, — вважають деякі науковці, сформулював І-В. Лейбніц, хоча подібні думки висловлювали й інші мислителі, зокрема Е. Паскаль.
Перелічені закони логіки назвали основними на тій підставі, що вони виражають такі корінні риси логічно правильного мислення, як визначеність, ПОСЛІДОВНІСТЬ, несуперечливість1 і обґрунтованість думок.
Несуперечливість є виявом послідовності мислення.
Загальне визначення закону логіки тривалий час було нечітким, розпливчастим, надто широким. Закон мислення визначали як «внутрішній, необхідний, істотний зв'язок між думками» [49]. Іноді до перелічених ознак закону мислення додавали ще одну — загальність. Назване визначення відіграло певну гносеологічну роль, проте воно не давало можливості відрізнити справжні закони логіки від їх виявів — численних необхідних зв'язків між думками. Був час, коли висловлювалися твердження, ніби всі закони логіки вже відомі. А тим часом за допомогою засобів математичної (символічної) логіки було доведено, що законів мислення існує багато.
Закони логіки мають загальнолюдський характер. їх повинні дотримуватися всі люди, незалежно від того, до якої раси, нації, соціальної групи вони належать. Якби люди керувалися не одними й тими самими законами мислення, то діяльність таких інституцій, як Організація Об'єднаних Націй, була б неможливою. Проте одна справа, що люди «повинні дотримуватися», а інша — чи дотримуються вони цих законів. Так, представники радикальних, фанатично налаштованих політичних партій та релігійних організацій, як правило, «не в ладах» з логікою.
Всезагальність, універсальність законів логіки виявляється і в тому, що вони діють у всіх сферах людського мислення.
Сучасна логіка визначає закон мислення як «завжди істинне» висловлювання (формулу). Сформульовані таким чином закони використовуються при розв'язанні складних логічних задач у кібернетиці, теорії релейно-контактних схем, у роботі електронно-обчислювальних машин, автоматичних пристроїв, математичній лінгвістиці тощо.
Закон тотожності
(скільки кожна річ, хоча й змінюється, проте зберігає свою визначеність у межах міри, то й думки про речі мають бути чітко визначеними. На сторожі визначеності думок і стоїть цей закон.
Закон тотожності: кожна думка має бути чіткою за обсягом, ясною за змістом і залишатися незмінною в ході одного й того ж міркування.
Цей закон спрямований безпосередньо проти нечітких, неясних, розпливчастих думок, а опосередковано — проти їх двозначності та багатозначності.
Закони логіки переконливо ілюструються на прикладах міркувань, у яких ці закони порушено. Проаналізуємо таке міркування:
Вулкани — гори. Гейзери — вулкани.
Отже, гейзери — гори.
У цьому міркуванні порушено закон тотожності, оскільки поняття «вулкан» у першому судженні означає результат виверження у формі застиглої лави, а в другому — власне виверження і до того ж у вигляді води або пари. Причиною невиправданого ототожнення названих понять є невизначеність їх обсягу. В першому судженні ця невизначеність зумовлена відсутністю кванторного слова, а в другому — тим, що поняття «вулкан» тут відіграє роль предиката стверджувального судження.
Оскільки в сучасній логіці абстрагуються не лише від змісту, а часто й від обсягу думок, беручи до уваги лише їх логічне значення (істинність чи хибність), то закони логіки, зокрема й закон тотожності, набувають тут гранично абстрактного характеру: «Будь-яке висловлювання є тотожним стосовно самого себе». Це означає, що, незалежно від кількості вживань висловлювання в деякому міркуванні, це висловлювання не повинно змінювати свого значення.
Закон тотожності в математичній (сучасній) логіці формулюється ще й так: якщо висловлювання є істинним, то воно є істинним. Наприклад: «Якщо трава зелена, то вона зелена» [93].
Схема закону: «А є А». В сучасній логіці цей закон виражають такими схемами: А—>А («Якщо А, то А»); А++А («А тоді і тільки тоді, коли А»).
Щоб дотримуватися закону тотожності, треба знати відповідну сферу об'єктивної дійсності, про яку йдеться в міркуванні; вміло користуватися синонімами й омонімами; використовувати найновішу наукову термінологію; не вдаватися до полеміки, попередньо не визначивши тезу доведення і основних понять, якими доводиться оперувати в процесі полеміки. При цьому не слід забувати, що закони логіки іноді порушують навмисне (йдеться про софізми).
Закон несуперечності
Закон несуперечності: два судження, в одному з яких щось стверджується, а в другому те саме, в той же час і в тому ж відношенні заперечується, не можуть бути одночасно істинними.
Згідно з відомими висновками за «логічним квадратом» цей закон можна сформулювати й так: два протилежні (контрарні) судження, як і два суперечні, не можуть бути одночасно істинними. З того ж таки «квадрата» випливає, що принаймні одне з цих суджень є хибним («принаймні одне...», бо деякі з названих суджень, а саме протилежні, обидва бувають одночасно хибними).
Об'єктивною основою закону несуперечності є те, ще один і той самий предмет не може одночасно мати і не мати одну й ту ж властивість.
Іноді запитують: а чому цей закон не діє на «квадраті» між судженнями типу / та О? І це запитання виправдане, оскільки на перший погляд здається, ні би з визначення умов, за яких логічний квадрат має сенс, і формулювання закону суперечності випливаєвисновок про те, що і ці судження не можуть бути одночасно істинними. Адже «логічний квадрат» має сенс
тоді, коли йдеться про одне і те саме, в один і той же час, в одному й тому ж відношенні, але в судженнях, різних за своєю формою (А, Е, І, О). Оскільки ж судження типу І та О взяті з «квадрата», то в них ідеться про одне і те саме. При цьому в одному випадку щось стверджується про це «одне і те саме», а в другому — заперечується. Звідси нібито випливає висновок, що ці судження не можуть бути одночасно істинними. Щоб розв'язати названу суперечність, необхідно уточнити поняття «одне і те саме». Так, у судженнях «Деякі метали тонуть у воді» і «Деякі метали нетонуть у воді» йдеться про «одне й те саме» у тому розумінні, що суб'єктом обох цих суджень виступає поняття «метали», і не про «одне й те саме», бо мають ся на увазі різні метали. Фактичні суб'єкти названих суджень («метали, які тонуть у воді» і «метали, що не тонуть у воді») є несумісними, суперечними поняттями.
Схема закону несуперечності: АлА («Хибно, що А і не-А одночасно істинні»).
Суперечні судження руйнують міркування. Виявлення суперечностей в існуючих теоріях — необхідна умова їх удосконалення (чи заміни).
Закон виключеного третього
Закон виключеного третього: із двох суперечних суджень одне неодмінно є істинним, друге — хибним, а третього і бути не може.
Якщо закон несуперечності діє і між суперечними, і між протилежними судженнями, то закон виключеного третього діє лише між суперечними судженнями — загальностверджувальним і частковозаперечним, загалmнозаперечним і частковостверджувальним, одиничним стверджувальним і одиничним заперечним. Між протилежними судженнями цей закон не може діяти, бо вони можуть бути одночасно хибними.
Щоб діяти, необхідно прийняти одне і тільки одне рішення. Це вимагає визнання істинності одного і лише одного з двох суперечних суджень: «або.._ або...».
Схема закону виключеного третього : AvA («або А, або не-А»).
Закон достатньої підстави
Необхідною рисою логічно правильного мислення є його доведеність, обґрунтованість. Даний закон нерозривно пов'язаний з цією рисою мислення.
Закон достатньої підстави: достовірною треба вважати тільки ту думку, істинність якої достатньо обгрунтована.
Цей закон не тільки дозволяє, а й змушує нас сумніватися в істинності (чи хибності) будь-яких думок. Важко перебільшити гуманістичний потенціал цього закону. Адже він, забороняючи приймати на віру будь-які думки, тим самим захищає право кожної людини на сумніви, власні погляди, переконання, світогляд.
Далеко не всі логіки надають положенню про необхідність обґрунтованості думок статусу логічного закону. При цьому вдаються до вагомих аргументів, зокрема таких, що формулювання положення, яке претендує на статус закону достатньої підстави, не піддається формалізації, його не можна переконливо виразити засобами сучасної логіки у вигляді формули.
Проте не можна ігнорувати специфіку законів традиційної логіки, смисл яких не вичерпується засобами математичної логіки.
Закон подвійного заперечення
Закон подвійного заперечення — логічний закон, згідно з яким заперечення дає твердження, із твердження випливає його подвійне заперечення, а подвійне заперечення рівносильне твердженню.
Закон подвійного заперечення розглядають і як назву кількох законів, які, хоч і відрізняються один від одного, та разом з тим перебувають в органічному взаємозв'язку. Це стосується і назв багатьох інших законів.
Закон зняття подвійного заперечення: подвійне заперечення дає твердження.
Цей закон дозволяє відкидати подвійне заперечення. Наприклад: «Ці друзі не належать до ненадійних. Отже, вони належать до надійних» (або: «Якщо хибно, що ці друзі ненадійні, то вони надійні»).
Закон подвійного заперечення був відомий ще античним мислителям V—IV ст. до н. е., зокрема Зено-ну Елейському TaJTopriio.
Схема закону: А—>А («Коли хибно, що хибно, що-А, то А»).
Закон введення подвійного заперечення: із твердження випливає його подвійне заперечення.
Цей закон дозволяє вводити подвійне заперечення. Наприклад: «М. Шолохов — автор «Тихого Дону». Отже, М. Шолохов не є неавтором «Тихого Дону» (або: «М. Шолохов — автор «Тихого Дону». Отже, хибно, ніби М. Шолохов є неазтором «Тихого Дону»).
Схема закону: А—>А («Якщо А, то хибно, ніби не-А»).
Повний закон подвійного заперечення: подвійне заперечення рівносильне відповідному твердженню.
Наприклад: «Це число не є непростим тоді і тільки тоді, коли воно просте» (або «Хибно, що це число непросте тоді і тільки тоді, коли воно просте»).
Схема закону:A-tA («Хибно, що не-А тоді і тільки тоді, коли А»).
Як слушно зауважує І. Хоменко, «...логічний сполучник «заперечення» в природній мові не завжди виражається словами «невірно, що...», або часткою «не». Можливі також інші варіанти» [89]. Це необхідно брати до уваги. При цьому автор наводить приклад вислову, в якому нараховується аж п'ять заперечень {«Не є правим той, хто не погоджується із спростуванням твердження, що на цей раз необачно було б наполягати на тому, що цей злочин вчинив не Н.» [89]. У наведеному вислові заперечення застосовується п'ять разів. Відкинувши, згідно із законом зняття подвійного заперечення, два подвійних заперечення, одержуємо «Н. не вчинив цього злочину».
Закон ідемпотентності
Закон ідемпотентності (лат. «що зберігає той самий ступінь») — логічний закон, який стверджує, що повторення будь-якого висловлювання через «і» (кон'юнкцію) чи «або» (диз'юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.
Цей закон дозволяє виключати з міркування повторення одного й того ж висловлювання.
Закон ідемпотентності для кон'юнкції: повторення висловлювання через «і» (кон'юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.
Змістовні приклади вияву цього закону мають досить банальний вигляд: висловлювання «Квадрати мають прямі кути, і квадрати мають прямі кути» рівнозначне висловлюванню «Квадрати мають прямі кути ».
Схема закону: (АлА)<-*А («А і А тоді і тільки тоді, коли А»).
Закон ідемпотентості для диз'юнкції: повторення висловлювання через «або» (диз'юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.
