|
Тест.
1. Могут ли абсолютные статистические величины иметь сложные единицы
измерения?
А) могут;
Б) не могут;
2. К какому типу единиц относятся "часы"?
А) к натуральным;
Б) к трудовым;
3. Относительный показатель выполнения плана производства продукции на
предприятии составил 103%, при этом объем производства продукции по
сравнению с предшествующим периодом вырос на 2%. Что
предусматривалось планом?
А) рост объема производства;
Б) снижение объема производства;
4. Может ли относительный показатель интенсивности быть выражен
коэффициентом?
А) да;
Б) нет;
5. Может ли относительный показатель сравнения быть именованной
величиной?
А) может, если исходные абсолютные показатели выражены в условно-
натуральных единицах измерения;
Б) не может;
6. Может ли сумма относительных показателей структуры, рассчитанных по
одной совокупности быть равной единице?
А) может, если она характеризуется долей;
Б) не может;
7. К какому виду относительных величин относится коэффициент
рождаемости (число родившихся на 1000 человек населения)?
А) к относительным величинам структуры;
Б) к относительным величинам координации;
В) к относительным величинам интенсивности;
4. Средние величины.
Сущность средних величин.
Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические
явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное
выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той
же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д.
Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно
изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.
Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика
совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. Важнейшее
свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение
определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на
количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то
общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом,
через характеристику единицы совокупности она характеризует всю
совокупность в целом.
Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи
заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных
величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней
выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность
однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы
фактов.
Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к
совокупностям с различной численностью единиц.
Важнейшим условием научного использования средних величин в
статистическом анализе общественных явлений является однородность
совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и
технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной
совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности)
соответствует действительности. Качественная однородность совокупности
определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности
явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы
исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность
пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя
вычислять среднюю для разнородных культур.
Математические приемы, используемые в различных разделах статистики,
непосредственно связаны с вычислением средних величин.
Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством,
т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные
явления характеризуются примерно одинаковыми средними.
Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для
характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего
явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по
изучаемому признаку).
Виды средних величин.
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней
величины, зависит по какой формуле она будет определятся. Рассмотрим
наиболее часто применяемые в статистике виды средних величин:
- среднюю арифметическую;
- среднюю гармоническую;
- среднюю геометрическую;
- среднюю квадратическую.
Для этого введем следующие понятия и обозначения:
Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым
признаком, обозначим буквой "х"
Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных
единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и
обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений
обозначается через " " .
Средняя арифметическая величина может быть простой и взвешенной.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е.
как сумма вариантов признака, деленная на их число. Средняя арифметическая
простая применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака
встречается в совокупности один или равное число раз.
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле [pic], где fi
- частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким
образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов
признака, деленная на сумму весов. [pic] Она применяется в тех случаях,
когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.
При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо
сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество
единиц совокупности в каждой группе fi (таблица 4.1).
Таблица 4.1.
|Возраст рабочего, лет |Число рабочих, чел (fi) |Середина возрастного |
| | |интервала, лет (xi) |
|20-30 |7 |25 |
|30-40 |13 |35 |
|40-50 |48 |45 |
|50-60 |32 |55 |
|60 и более |6 |65 |
|Итого |106 |Х |
Средний возраст рабочих цеха будет равен [pic]лет.
Средняя гармоническая величина является преобразованной средней
арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса
(fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в
одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной.
Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е. это
обратная величина средней арифметической простой из обратных значений
признака.
Формула средней гармонической взвешенной:
[pic], где Mi=xi*fi (по содержанию).
Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических
культур на основании следующих данных (таблица 4.2):
Таблица 4.2
Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во
всех категориях хозяйств.
|Культуры |Валовой сбор, ц (Mi) |Урожайность, ц/га (xi) |
|Хлопчатник |97,2 |30,4 |
|Сахарная свекла |601,2 |467,0 |
|Подсолнечник |46,3 |11,0 |
|Льноволокно |2,6 |2,9 |
|Итого |743,3 |Х |
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы,
но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на
площадь Mi=xi*fi , поэтому [pic], а средняя урожайность будет равна [pic].
Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной.
Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов роста.
Средняя геометрическая простая находится по формуле
[pic], а средняя геометрическая взвешенная - по формуле [pic]. Сфера
применения этой средней будет рассмотрена в теме "Ряды динамики".
Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится
осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических
функций. Простая средняя квадратическая [pic], взвешенная [pic]. Наиболее
широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
Структурные средние.
Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так
называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической
практике мода и медиана.
Мода - это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной
совокупности.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей
частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет
модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по
формуле
[pic], где
x0 - нижняя граница модального интервала;
d - величина модального интервала;
f2 - частота модального интервала;
f1 - частота интервала, предшествующая модальному;
f3 - частота интервала, следующая за модальным.
Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте
(таблица 4.3)
Таблица 4.3.
Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в
I-ом полугодии 1995 года
|Среднедушевой месячный |Удельный вес населения, |Накопленная частота, % |
|доход, руб. |% (f i) |(Si) |
|менее 100 |2,4 |2,4 |
|100-300 |35,5 |37,9 |
|300-500 |30,0 |67,9 |
|500-700 |15,7 |83,6 |
|700-900 |7,7 |91,3 |
|900 и выше |8,7 |100,0 |
|Всего |100,0 |Х |
Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет
наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет
равна:
[pic] руб.
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так,
например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для
изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и
одежды и др.
Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности,
которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке
возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда
называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные
части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности
- это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов
из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту.
Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя
арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в
группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.
В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:
[pic] , где
x0 - нижняя гранича медианного интервала;
d - величина медианного интервала;
Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;
fMe - частота медианного интервала.
По данным таблицы 4.3. определим медианное значение среднедушевого
дохода. Для этого необходимо определить какой интервал будет медианным.
Используя формулу номера медианной единицы ряда, т.е. середины [pic] (%) .
Затем определяем накопленную частоту.
Дробное значение N (всегда при четном числе членов) равное 50,5%
говорит о том, что середина ряда находится между 50% и 51%, т.е. в третьем
интервале. Отсюда медиана по формуле будет определена
[pic] руб.
соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на
характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его
асимметрию. Если M0
|
