Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс) - Математика - Скачать бесплатно
|ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ |СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО | |
|МНОЖЕСТВ |- множество | |
|(с) |равномощное множеству| |
|http://karatel.nm.ru |натуральных чисел. | |
|Под множеством S |A={0, ±1, ±2,…}. | |
|будем понимать любое |f: A(N (должно быть | |
|собрвние определенных|взаимно однозначное | |
|и различных между |соответствие), | |
|собой объектов |a={i/2, i четное; | |
|мыслимое как единое |(1-i)/2. |A|=|N|. | |
|целое. Эти объекты |ТЕОРЕМА О СЧЕТНЫХ | |
|называются элементами|МНОЖЕСТВАХ: | |
|множества S. Для |1) любое бесконечное | |
|любого объекта можно |множество содержит | |
|установить |счетное подмножество.| |
|принадлежит он |Док-во: А?Ш, т.к. оно| |
|множеству или нет. |бесконечно. Можно | |
|A={1,2,3..}, |выбрать произвольный | |
|A={x|p(x)} – |элемент a1, берем | |
|обозначения. |остаток Aa1?Ш, | |
|Множества A и В |выбираем a2, | |
|считаются равными, |повторяем операцию | |
|если они состоят из |сколько-то раз | |
|одинаковых элементов |Aa1a2?0 ( a3… | |
|А=В. |Получаем | |
|{1,2,3}={2,1,3}={2,1,|бесконечность и т.д.,| |
|1,1,3}. 1) множество |счетное множество. | |
|всех множеств |2) любое бесконечное | |
|содержащих сами себя |подмножество B | |
|- множество всех |множества А счетно. | |
|множеств, 2) |Док-во: BcA, мощность| |
|множества, которые не||B|?|A|. По теореме 1| |
|содержат себя как |=> CcBcA, | |
|элемент. Рассмотрим ||N|?|B|?|A|, |C|=|N|.| |
|множество второго |По условию | |
|типа: A={x|xўx}. Если||N|?|B|?|A|=|N|, | |
|А себя не содержит, ||B|=|N|. | |
|то это одно из таких |3) объединением | |
|множеств, значит оно |конечного или | |
|должно содержаться в |счетного семейства | |
|А – парадокс рассела.|счетных множеств – | |
| |есть счетное | |
| |множество. A(инд.i) | |
|СООТНОШЕНИЕ МНОЖСТВ |U[сверху ?, снизу | |
|AcB, если все |i=1] A. A1 счетно, | |
|элементы А являются |A1={a11, a12, a13, | |
|элементами множества |a14…}. 1 индекс – | |
|В (А содержит В), А |номер множества, 2 | |
|является |индекс – номер | |
|подмножеством В. Если|элемента.Берем значит| |
|1.АсВ, 2. А?В, то |матрицу бесконечную | |
|АсВ, то А является |двумерную и соединяем| |
|подмножеством В |линиями элементы в | |
|{1,2}c{1,2,3}, |следующем порядке | |
|{1}c{1,2}. Множество,|B={a11, a21, a12, | |
|не содержащее |a13….} т.к. удалось | |
|элементов называется |перегруппировать, то | |
|пустым и обозначается|теорема доказана. | |
|Ш. Считается, что |4) мощность булеана | |
|пустое множество |множества больше | |
|является |мощности самого | |
|подмножеством любого |множества. | |
|множества AшcA. ||M|<|B(M)|. Док-во: | |
|Множество всех |надо доказать, что 1.| |
|подмножеств А ||M|?|B(M)| <=> | |
|называется множеством|McB(M). | |
|– степенью или |2. |M|?|B(M)|. | |
|булеаном. А{1,2,3}, |допустим |M|=|B(M)| | |
|B(A)={{Ш},{1},{2},{3}|=> существует | |
|,{1,2},{1,3},{2,3},{1|некоторая функция f: | |
|,2,3}} – булеан. |M(B(M). Рассматриваем| |
|УТВЕРЖДЕНИЕ: если |2 ситуации: а) | |
|множество А состоит |xЄf(X), б) xўf(x), | |
|из n элементов, то |xЄM, f(x)ЄB(M). | |
|булеан от А состоит |Остановимся на б) – | |
|из 2(c.n) элементов. |рассмотрим множество | |
|Док-во: 1-входит, 0 –|P={x|xЄf(x)}, ШЄB(M) | |
|не входит, 0..2(c.n) |булеану. Существует | |
|и Ш, всего 2(c.n). |х: Ш=f(x), xўШ. P – | |
| |подмножество | |
|ДЕЙСТВИЯ НАД |множества M => | |
|МНОЖЕСТВАМИ |PЄB(M), существует y:| |
|Объединием AUB |P=f(y). Разберемся | |
|называется |yЄP или yўP => | |
|множество, все |yЄf(y)=P | |
|элементы |противоречие, а | |
|которого являются |оттуда => yўf(y)=P | |
|элементами А или В |противоречие => | |
|(рис.2). |допущение неверно. | |
|AUB={x|xЄA или xЄB}. |5) мощность булеана | |
|AcAUB, BcAUB. |счетного множества | |
|Пересечением множеств|равна мощности | |
|A?B называют |континиума. | |
|множество, все ||B(N)|=|[0,1]|. | |
|элементы которого |A=[0,1] – все | |
|являются элементами |действительные числа | |
|обоих множеств А и В.|0-1, B=[0,2], | |
|A?B={x|xЄA и xЄB}, ||A|=|B|, y=2x. | |
|A?BcA, A?BcB (рис.3).| | |
|Дополнением множества|ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ | |
|А называют множество |КОМБИНАТОРИКИ | |
|эементов, не |Упорядоченные выборки| |
|принадлежащих |n из n элементов, где| |
|множеству А. |все элементы различны| |
|А={x|xўA} (рис.4). |называются | |
|Симметричная разность|перестановками из n | |
|– A+B=(AB)U(BA) |элементов Pn=n!. | |
|(рис.5). Вычитание – |Упорядоченные выборки| |
|множество принадлежит|объемом m из n | |
|В и не принадлежит А.|элементов (m
|
