Основные представления о специальной и общей теории относительности - Естествознание - Скачать бесплатно
|
|p |
| |
| '2 = |
|? |
|? |
|? |
| |
|E |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
|- |
|> |
|p |
| |
| 2 = m2 c2, |
| |
из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета
и, следовательно, является релятивистским инвариантом.
[pic]
Рис. 10
Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее
энергию и импульс в релятивистской физике:
[pic]
.
Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых
значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах
E = p c.
Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую
массу" частицы, зависящую от скорости:
|m(v) = |
|m |
|[pic] |
| |
| |
| ________ |
|?1 - (v/c)2 |
| |
| |
| |
| |
|. |
| |
Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и
массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к
путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим
спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса -
инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора
системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в
системе покоя частицы.
Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([?(1 -
(v/c)2)])] лишено физического смысла!
3.3 Частицы с нулевой массой покоя
Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то
энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что
частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью
света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют
частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света.
Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны
соотношением:
|| |
|> |
|p |
| |
|| = |
|E |
|[pic] |
|c |
|, |
| |
откуда следует, что здесь
|(E/c)2 - |
|> |
|p |
| |
| 2 |
| |
|= 0 |
| |
в соответствии с тем, что m = 0.
К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты
электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в
разделе "Квантовая теория" - задание N 5.
3.3 Релятивистский эффект Доплера
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну
|E( |(23) |
|> | |
|r | |
| | |
| ,t) = E0 cos | |
|? | |
|? | |
| | |
|> | |
|k | |
| | |
|· | |
|> | |
|r | |
| | |
|- ? t | |
|? | |
|? | |
|. | |
| | |
Здесь ?- частота волны, а [pic]= k [pic] - волновой вектор (k =
[(?)/( c)] - волновое число, [pic]- единичный вектор в направлении
распространения волны (см. Рис. 11).)
[pic]
Рис. 11
Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе
в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать,
что волна распространяется под углом ? к оси 0x, вдоль которой со скоростью
V движется "штрихованная" система отсчета S'. Из Рис. 11 видно, что
существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля
обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен
нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно
выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза
электромагнитной волны должна быть инвариантна!
| |
|> |
|k |
| |
|· |
|> |
|r |
| |
|- ?t = |
|> |
|k |
| |
|' |
| |
|· |
|> |
|r |
| |
|' |
| |
|-?' t'. |
| |
В декартовых координатах это условие принимает вид:
|kx x +ky y + kz z -? t = kx' x' |(24) |
|+ky' y' + kz' z' - ?' t'. | |
| | |
Поскольку x, y, z, t связаны с x', y', z', t' преобразованием Лоренца , то
для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись
преобразования
|?' = |(25) |
|?- V kx | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, kx' = | |
|kx - V/c2 ? | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, ky' = ky, kz' = kz. | |
| | |
Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить
его выполнение.
Найдем теперь связю между частотой ?0 в системе источника волны и
частотой ? той же волны в системе наблюдателя.
Полагая в первой формуле из (25) ?' = ?0, kx = [(?)/( c)] cos?, где
?- угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя
(приемника), найдем
|? = ?0 |(26) |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
|1 - (V/c)cos? | |
|. | |
| | |
Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны,
вызанное относительным движением источника и приемника.
При V/c << 1 из (26) имеем
|?? = ?- ?0 = |
|?0 (V/c) cos?. |
| |
Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя ( в этом
случае проекция скорости на направление луча V|| = V cos? > 0) и убывает
при их удалении (V|| < 0) продольный эфект Доплера. Если относительная
скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos? = 0), то уменьшение
частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:
|?? = - |
|?0 |
|[pic] |
|2 |
| |
|? |
|? |
|? |
| |
|V |
|[pic]
|
