Основные представления о специальной и общей теории относительности - Естествознание - Скачать бесплатно
| |
| | |
| | |
|, y = y', z = z', t = | |
|t' + x' V/c2 | |
|[pic] | |
| | |
| | |
|________ | |
|?1 - (V/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |
[pic]
Рис. 6
2.4 Преобразование скорости
Если частица движется относительно движущейся системы координат S' со
скоростью [pic], то ее скорость [pic]в системе отсчета S может быть найдена
с помощью преобразований Лоренца (12).
Если закон движения частицы в движущейся системе координат имеет вид
|x' = v' t', y' = z' |
|= 0, |
| |
то в покоящейся (лабораторной) системе координат этот закон,
очевидно, имеет вид
|x = v t, y = z|
|= 0. |
| |
Выполнив подстановку (13), найдем, что
|v = |(13) |
|v' + V | |
|[pic] | |
|1 + v' V/c2 | |
|. | |
| | |
Эта формула определяет релятивистский закон сложения скоростей.
При ? = V/c > 0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с
точностью до линейных по ? членов переходит в формулу преобразования
скоростей в классической механике:
|v = v' + V.|
| |
| |
Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в
вакууме (v' < c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в
вакууме (v < c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к
первой с досветовой скоростью V < c. Если же [pic]' = (c,0,0), то [pic]=
(c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета.
Более общее преобразование скорости можно получить из формулы (14),
если в ней перейти к дифференциалам координат и времени и использовать, что
vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt и аналогичные выражения для
vx', vy', vz'. После преобразования получившегося соотношения, получим
|vx' = |
|vx + V |
|[pic] |
|1 - V vx/c2 |
|, vy' = |
|vy |
| |
|________ |
|?1 - V2/c2 |
| |
| |
| |
|[pic] |
|1 - V vx/c2 |
|, vz' = |
|vz |
| |
|________ |
|?1 - V2/c2 |
| |
| |
| |
|[pic] |
|1 - V vx/c2 |
|. |
| |
2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц
В качестве часов наблюдатели в системах S, S' могут использовать
любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на
определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам,
движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого
объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку.
Собственной длиной линейки называется ее длина l0 в той системе, в которой
она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат концов линейки в
один и тот же момент времени.
Совокупность декартовых координат [pic]= (x,y,z) и момента времени t
в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием
является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке
пространства, указанной вектором [pic].
Множество всех событий образуют "четырехмерный Мир Минковского".
Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время
некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого
тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией
(Рис. 7).
[pic]
Рис. 7
Если частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить
"Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время
удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую
размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная
мировая константа.
[pic]
Рис. 8
Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики)
обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной
системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале
координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в
пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени.
Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0,
находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча,
испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса
координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной
скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))
2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца
Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз
запишем его только для x и t в виде
|x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -|
|? x). |
| |
Это линейное однородное преобразование, очень похожее на
преобразование поворота на угол ? в плоскости XY:
|x' = x cos?+ y sin?, y' = - |
|x sin?+y cos?. |
| |
Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на
Рис. 8 б).
Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение
расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12.
Здесь:
[pic]
Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)vec],t1
} и { [(r2)vec],t2 } и определенную равенством
|s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) |
|y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | |
| | |
Она называется пространственно - временным интервалом.
Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина
пространственно - временного интервала между двумя событиями является
инвариантом преобразований Лоренца:
|s12' = s12. |(16) |
| | |
В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между
точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со
знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено
формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством,
между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные
различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ?
0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом
пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно
для двух совершенно различных точек пространства - времени.
Найдем положение новых осей (x', ct') на псевдоевклидовой плоскости.
Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x' = 0,
сопадающая с началом координат системы S', движется в системе S со
скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct'
системы S'. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол ? = arctg (V/c). Ось
x' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но тогда в старой
системе координат это будет прямая ct = ?x, проходящая через начало
координат и составляющая с осью x тот же угол ? = arctg (V/c).
Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если
попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя
отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится
неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси,
но и искажают масштабы координат по осям!
Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца
можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в
пространстве Минковского.
[pic]
|
