Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції - Математика - Скачать бесплатно

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різни­ця) ввів у математику Лейбніц.

1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)

при х 0,

звідки

(1)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f' (х) 0 є нескінченно малою одного порядку з х , тому що (гл. 4, п. 4.3):

Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж х , тому що

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно х, частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f' (х) х. (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = х, тобто диферен­ціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом х. Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f'(x)dx. (3)

Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диферен­ціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f' (х0) = 0, то перши й доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною части­ною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо

PN =y, QN = MNtg=хf'(x) = f'(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і х до­рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозумі­ло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень х.

З'ясуємо механічний зміст диферен­ціала. Нехай матеріальна точка руха­ється за відомим законом

S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому про­міжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f'(t) при фіксованих значеннях t і — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рів­номірно із сталою швидкістю . Зрозуміло, що фактичний шлях S у випадку нерівномірного руху на від­міну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикла­дах, які розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває конкретного фізичного змісту.

2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

d (u ± ) = du ± d;

Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диферен­ціала маємо

d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx — = vu'dx + uv'dx = vdu + udv.

Особливо важливий висновок випливає з правила диференцію­вання складеної функції. Нехай у = f (х) = f ( (t)) — складена функція з проміжним аргументом х =(t) і кінцевим аргументом t, причому функції f (х), (t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y't = y'xx't, а отже, і диференціал

dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5)

Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції

у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою неза­лежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функ­цією іншої змінної.

Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмін­ністю) форми диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х — незалежна змінна, і (5), де х — залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)

dx = x'(t)dtx.

3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Як уже зазначалось, приріст y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: ydy. Під­ставивши сюди значення y і dy, дістанемо

(6)

Абсолютна похибка величини y — dy є при х 0 нескінченно малою вищого порядку, ніж x , тому що при f' (х) 0 величини y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):

Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.

Іноді користуються наближеною рівністю

f(х + х)f(х). (7)

Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна по­хибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині ди­ференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Приклади

1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i x; б) при х = ; в) при х = і x = 0,1.

О а) Користуючись формулою (4), знаходимо

dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;

б) в)

2. Порівняти приріст y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.

О Знаходимо приріст і диференціал функції:

y= f (х+x)-f (x)= (х +x)3 + 2 (х + x)2 - (х3 + 2x2) =

=(Зx2 + 4x)x + (3х + 2 +x)x2;

dy = f' (x)x = (3x2 + 4x) dx.

Величини y і x еквівалентні при x0 і х 0, оскільки dx = x і

Абсолютна похибка |y - dy| = |3х + 2 + x| x2 при x0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з x, тому що

якщо х- і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли x0 і х.

3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула

О Розглянемо функцію f (х) = x (0; +). Маємо I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х) заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трак­тувань цієї задачі — визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природ­ною є обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відо­мою швидкістю руху як функцією часу. Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою її похідною f (х). Розв'язується ця задача за допомогою невизначеного інтеграла.

1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Функція F (х) називається первісною функції f (х) на проміжку , якщо F (х) диференційовна на і F' (х) = f (х), х .

Наприклад: 1) первісною функції f(x) = x2, xR є функція F(x)= (справді, F'(x) = xR); очевидно, що первісними будуть також функції F (х) = , F(x) = і взагалі F (x) =+С, де С — довільна стала, оскільки F' (х) = x;

2) функція f(х) = cos х, х R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо

F' (х) = (sin х + С)' = cos х, х R.

Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первіс­ної розв'язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає така теорема.

Теорема. Якщо F (х) — первісна функції f (х) на проміжку , то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має вигляд F (х) + С.

О Нехай Ф(х) — деяка інша, крім F (х), первісна функції f(х), тобто Ф'(х) = f(х), х . Маємо

а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже, Ф(х)=Р(х)+С. •

З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) — одна з первісних функції f(х), а С — довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.

Якщо F(х) — первісна функції f(х) на проміжку і С — довільна стала, то вираз F(х) + С називається невизначеним інтег­ралом функції f(х) на цьому проміжку і позначається символом . Таким чином, символ означає множину всіх первісних функції f (х).

Знак , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx — підінтегральним виразом, f(х) — підінтегральною функцією, х — змінною інтегрування. Отже, за означенням,

f(x)dx= F(x) + C, якщо F'(x) = f(x), x. (1)

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсу­вом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу (рис. 1). Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(х0) в якій-небудь точці х0 .

З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтег­рала.

1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

((х) dx)' = (F (x) + С)' = F' (x) = f (х).

Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаєм­но знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та ін­тегрування — взаємно обернені. Внаслідок цього правильність ви­конання операції інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,

2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

(х) = '(х) dx = (х) dx = F(х) + С.

3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

d((х) dx) - ((х) dx)' dx = f(х) dx.

4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(x)dx=C(x)dx.

5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості 1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінчен­ного числа доданків.

6°. Якщо

і u = (х) — довільна функція, що має неперервну похідну, то

(u)du=F(u)+C. (2)

О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і властивості 2° маємо

dF (u)=F'(u) du=f(u) du;

Ця властивість (її називають інваріантністю формули інтегру­вання) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від то­го, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Таким чином, кількість інтегралів, які обчислюються (або, як кажуть, «беруться»), необмежено збільшується. Наприклад, оскільки .

Користуючись інваріантністю цієї формули, одержимо формулу де — довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:

тобто

тобто

тобто

Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай

Покажемо, що функція f(x) на проміжку (- 1; 1) не має первісної. Припустимо протилежне. Нехай існує така функція F(х), що х ( - 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що

(F'+ (0) — права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція пер­вісної не має.

Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла.

В п. 2.4 буде доведено, що всяка неперервна на проміжку функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.