Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів - Математика - Скачать бесплатно
План
Умовний екстремум
Необхідні умови
Метод множників Лагранжа
Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів
1. Умовний екстремум
У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції
за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку
 .
У даній задачі екстремуми функції  знаходять не на всій площині, а лише на прямій .
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції
 (6.89)
при
 (6.90)
За наявності умови (6.90) із двох змінних  і  незалежною буде лише одна, наприклад , оскільки визначається із рівності (6.90) як функція . Якщо із (6.90) знайти явну залежність від і підставити її в (6.89), то одержимо функцію однієї змінної , яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум – методі невизначених множників Лагранжа.
У точках екстремуму похідна  має дорівнювати нулю. Враховуючи, що є функція від , знаходимо  .
Отже, в точках екстремуму
 . (6.91)
Із рівності (6.90) маємо
 (6.92)
Домножимо рівність (6.92) на невизначений множник  і додамо її з рівністю (6.91), одержимо
 .
або
 (6.93)
(6.93) перетворювалася на нуль: Рівність (6.93) виконується в усіх точках екстремуму. Доберемо множник так, щоб в точках екстремуму функції друга дужка у рівності
 .
Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:
 (6.94)
з трьома невідомими  . Із системи (6.94) визначаємо  і , що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.
Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції
 ,
яка називається функцією Лагранжа. Система (6.94) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції  .
Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.
Зауваження. Описаний метод поширюється на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції  змінних
за умови, що змінні  зв’язані  рівняннями:
 (6.95)
Складемо функцію Лагранжа
 і прирівняємо до нуля її частинні похідні по  :
 (6.96)
Із  рівнянь (6.95) і (6.96) знаходимо координати критичних точок і допоміжних невідомих  . Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного екстремуму.
Приклад. За яких розмірів прямокутний паралелепіпед має найбільший об’єм, якщо його повна поверхня має площу  ?
Р о з в ’ я з о к. Нехай довжина сторін паралелепіпеда дорівнюють і . Його об’єм  , а площа поверхні  . Потрібно знайти найбільше значення функції за умови  .
Складаємо функцію Лагранжа
і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:
 ,  ,
 , .
Звідси знаходимо  . Точка  є критичною точкою функції  . Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.
Шуканий паралелепіпед – куб із стороною  .
2. Знаходження функції на основі експериментальних даних
за методом найменших квадратів
У різних областях людської діяльності широке розповсюдження мають формули, одержані на основі обробки спостережень або експериментів. Такі формули називаються емпіричними.
Нехай на основі експерименту потрібно встановити функціональну залежність величини від величини :  .
В результаті одержано значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати записані так:
Вид функції  встановлюється або із теоретичних міркувань, або на основі аналізу графіка функції . Для цього слід побудувати в прямокутній декартовій системі координат точки, відповідні експериментальним значенням. Ці точки в дальшому будемо називати експериментальними. Якщо експериментальні точки розміщені на координатній площині так, як зображено на рис. 6.15, то доречно будувати залежність від у вигляді лінійної функції  . Якщо експериментальні точки розміщені так, як показано на рис. 6.16, то функцію будемо шукати у вигляді  .
При вибраному вигляді функції  залишається добрати параметри  так, щоб вони якнайкраще і описували
Рис.6.13 Рис.6.14
розглядуваний процес. Найпоширенішим методом розв’язання даної задачі є метод розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів.
Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої (див. рис. 6.13). Тоді
(6.97)
де  і  - параметри, які потрібно знайти.
Розглянемо експериментальну точку  і точку  з такою самою абсцисою, але яка лежить на прямій. Її координати  . Різницю ординат цих точок
 , (6.98)
що являє собою відхилення точки  від прямої  , назвемо похибкою.
Доберемо параметри і так, щоб сума квадратів похибок
 (6.99)
була найменшою.
Підставимо в (6.99) вирази помилок (6.98), одержимо
 (6.100)
Тут  і  відомі величини, а і - невідомі, які потрібно знайти. Для того щоб функція  мала найменше значення, необхідно
виконати умови:
або
Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді
або
 (6.101)
Ця система рівнянь називається нормальною системою методу найменших квадратів. Розв’язавши її, знаходимо і і підставляємо в емпіричну формулу .
Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої параболи (див. рис. 6.14). Тоді
 (6.102)
Для знаходження  і  використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою експериментальних точок від відповідних точок параболи
 , (6.103)
Доберемо параметри і так, щоб сума квадратів похибок  (6.104)
була найменшою. Для цього необхідно виконання умов
Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь
Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної залежності:
 (6.105)
Із цієї системи знаходимо і і підставляємо їх в емпіричну формулу .
|
