площини.
Точка рухається в одному напрямі, образом її руху є... (учні відповідають — пряма).
Горизонтальна пряма рухається, скажімо, верти¬кально. Образом її руху стане...
(площина, — відпові¬дають учні).
Площина рухається і заповнює простір.
Зауважимо, що пряма, площина, простір не¬скінченні. Розуміння нескінченності у
математиці, фізиці, історії різне.
Математики мислять масштабно: нескінченність це дуже багато і далеко. Фізики можуть
вважати не¬скінченно великим навіть відрізок завдовжки в один сантиметр, залежно від
того, чим вимірювати. Якщо, наприклад, атомами, електронами, протонами.
А якщо вимірювати час: сьогодні, завтра, учора, зараз, цієї хвилини, цієї секунди? Навіть
найваж¬ливіші події з часом стають історією. А коли? Ми спостерігаємо за подіями «із
зовні», «з нескінчен¬ності кроків». Велике бачиться на відстані, віч-на-віч обличчя не
побачити. Але щоб оцінити важливість події, потрібно віддалитися від неї на нескінченно
багато миттєвостей, пережити й набути досвіду. У кожного ці миттєвості свої, але світ
єдиний, відрізня¬ються лише точки зору на нього. Наочно уявити не¬скінченність
допоможе гравюра Ешера.
Ми живемо в просторі, в тривимірному світі. Площина допомагає людині сприймати світ,
роз¬глядати його. Планіметрія це завдання виконувала протягом багатьох століть.
Площина потрібна для того, щоб зосередити думки, зупинити мить. Цим прийомом
користуються і художники. Перед вами репродукція картини В.І.Сурикова „Бояриня
Моро¬зова”.
Картина розтягнута в ширину, ніби підкреслює масштабність події. На триптиху П.Д.Коріна
«Олек¬сандр Невський» постать у цен¬тральній частині витягнута, зібрана, натягнута як
струна. Відразу сприймаєш велич духу людини. Прикладів застосування математичних
понять у різних галузях знань багато. Наприк¬лад, уявлювані площини в хімії допомогли
створити теорію ізомерів. А в природі кожен листок, перебуваючи у своїй площині,
повертається до Сонця, і планета дихає.
Можна навести ще багато прикладів, але ви вже зрозумі¬ли, що з площинами ми
зустрі¬чаємося щодня. Моделлю пло¬щини може бути, скажімо, по¬верхня учнівського
стола.
Пригадаємо, як можуть розміщатися прямі на площині. (Учні відповідають.)
Правильно, прямі можуть перетинатися і не пе¬ретинатися. Як же можна задати
площину? (Учні відповідають.)
Підбиваємо підсумок. Площину можна задати: трьома точками, що не лежать на одній
прямій, па¬ралельними прямими, прямими, що перетинаються, прямою і точкою, що не
лежить на цій прямій.
А зараз перевіримо ваше уміння бачити і спосте¬рігати.
• Перед вами фотографія пам'ятника Петру І в Санкт-Петербурзі. Чому кінь не падає?
Адже він стоїть на двох но¬гах!?
• Коли три мухи, які летять, будуть в одній пло¬щині?
• Чому табурет на трьох ніжках більш стійкий, ніж табурет на чотирьох ніжках?
Розміщення площин і прямих у просторі.
Площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Запис: .
Площини перетинаються, якщо вони мають хоча б одну спільну точку. Площини
перетинаються по прямій. Запис: .
Паралельні площини і площини, що перетина¬ються, утворюють видимий об'єм наших
приміщень. Ви не помічали, що площина стелі, пофарбована білим, робить кімнату вище?
А якщо стіни зробити червоними, то в людини підвищується рівень адре¬наліну в крові. А
жовтий і зелений кольори заспо¬коюють.
У просторі, так само, як і на площині, пряма за¬дається двома точками. Прямі можуть
бути паралель¬ними або перетинатися, тоді вони лежать в одній площині.
Прямі в просторі, які лежать у різних площинах, та не паралельні і не перетинаються,
називаються мимобіжними.
Розміщення прямої і площини.
Пряма і площина можуть перетинатися. Запис: .
Пряма може бути паралельною площині. Запис: . У цьому випадку пряма і площина
спільних точок не мають.
Пряма, яка перетинає площину, перпендикуляр¬на до цієї площини, якщо вона
перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, і прохо¬дить через точку
перетину. Запис: .
Відстанню від точки до площини називається дов¬жина перпендикуляра, проведеного з
цієї точки до площини.
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина,
перпен¬дикулярна до прямої перетину даних площин, пере¬тинає їх по перпендикулярних
прямих.
II. Закріплення матеріалу.
Задачі на розглядання
Задача 1. Назвіть (рис. 1):
а) точку перетину прямої АD і площини DD1C;
б) лінію перетину площин АDD1 і DD1С;
в) в яких площинах лежить точка В;
г) три прямі, що проходять через точку D, пере¬тинають четверту в точках А, В,
С.
Рис. 1 Рис. 2
Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.
Задача 2 (рис. 2). Назвіть:
а) точку перетину прямої BD і площини АВС;
б) лінію перетину площини АВD і СВD;
в) в якій площині не лежить точка С.
Прямі АВ і АС перетинаються з деякою прямою в точках К і М відповідно. Доведіть, що М,
К, С, і В лежать в одній площині.
Задача 3. Назвіть (рис. 3):
а) точку перетину прямої МС і площини ВВ1С;
б) лінію перетину площин МС1С і ВСВ1;
в) в яких площинах лежить пряма МD.
Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.
Задача 4. Побудуйте лінію перетину (рис. 4):
а) площини АВС і прямої МК;
б) площини МКВ і АВ.
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Задача 5. Чи лежить точка К в площині паралелограма АВСD, якщо N належить прямій
AD, а М належить прямій ВС (рис. 5)?
Задачі на уяву
1. Чи можуть дві різні площини мати три спільні точки, що не лежать на одній прямій?
2. Чи можуть дві різні площини перетинатися по двом прямим?
3. Прямі а, b, c не належать одній площині, але проходять через одну точку. Скільки
різних площин можна провести через ці прямі, взяті по дві?
4. Площини перетинаються по прямій а. Пряма b, що лежить у площині, перетинає
площину в точці А. Де лежить точка А?
5. Точка А і В та пряма СD не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих CD
i AB?
Завдання на розуміння мови математичних символів
1. Дано вирази
1) Серед цих виразів знайдіть помилкові.
2) Який із записів відповідає висловленню:
а) площини перетинаються по прямій а;
б) точка А є точкою перетину площини і прямої а?
2. Як можуть розміщатися прямі а та АВ у площинах і ? Запишіть мовою символів.
ІІІ. Домашнє завдання.
Вивчити опорний конспект, розв’язати задачі.
Запишіть висловлення мовою символів:
а) точка А перетинає площину в точці В;
б) прямі КА і КВ перетинаються в точці К;
в) пряма КН перпендикулярна до прямої МС. На перетині прямих лежить точка К.
Тестові завдання
1. а) Дано куб АВСДА1В1С1Д1. яка з точок не лежить у площині квадрата АВСД?
1) М; 2) К; 3) N; 4) Р.
б) Дано тетраедр АВСS. Яка з точок не лежить у площині трикутника АВС?
1) А; 2) Z; 3) Y; 4) X.
2. а) Якій із вказаних площин куба не належить точка А?
1) ВСД; 2) А1С1С; 3) ВВ1А1; 4) ВСС1.
б) Якій із вказаних площин тетраедра належить точка У?
1) ASB; 2) ASC; 3) BSC; 4) ZBC.
3. У просторі дано прямі а та в, які перетинають¬ся в точці С. Скільки різних площин
можна провес¬ти через ці прямі?
1) дві; 2) безліч; 3) одну; 4) жодної.
4. а) Площини тетраедра АSС і АSВ перетинаються по прямій:
1) AS; 2) AB; 3) AC; 4) SC.
б) Площини куба АВС і В1ВД перетинаються по прямій:
1) ВС; 2) ВД; 3) АВ; 4) ВВ1.
5. а) Площину ABS тетраедра можна задати прямими:
1) АВ і АS; 2) АВ і АС; 3) АС і ВС.
б) Площину грані АА1Д1Д куба АВСДА1В1С1Д1 можна задати прямими:
1) Д1Д і ДС; 2) АД і АВ; 3) АА1 і АД; 4) А1Д1 і Д1С1.
Для класів природничого профілю
Тема. Прямі та площини у просторі
МЕТА
Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл,
дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов’язані з ними;
продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за
допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних
відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про
аксіоматичний метод.
ОСНОВНІ ВИМОГИ
В результаті вивчення теми учні повинні вміти:
- встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема
паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;
- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови
(елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба,
тетраедра тощо);
- обчислювати відстані і кути у просторі;
- застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також
вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об’єктів фізичного простору.
ЗМІСТ ТЕМИ
Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них.
Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Паралельність прямої та площини.
Паралельність площин. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур
у стереометрії.
Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикулярність площин. Ортогональне
проектування. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути розумне
поєднання наочно-геометричного та логічного у викладі. При вивченні основних понять і
фактів, пов’язаних зі взаємним розміщенням прямих і площин, слід віддати перевагу
синтетичному, наочно-геометричному викладенню, а потім використовувати вектори та
координати для поглиблення та розширення знань учнів при вивченні прямих і площин у
просторі. Такий підхід зберігає логічні зв’язки між зазначеними питаннями. Адже для
вивчення поняття вектора у просторі і його властивостей використовується паралельність
прямих і площин, для введення координат у просторі – перпендикулярність прямої і
площини, перпендикулярність площин тощо.
Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе
місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині і застосуванню
цих зображень до розв’язування задач. І зробити це доцільно якомога раніше.
Для ілюстрації розглядуваних понять і теорем доцільно використовувати найпростіші тіла,
зокрема куб і тетраедр.
У більшості навчальних посібників з геометрії відношення паралельності прямих і площин
розглядається раніше перпендикулярності. Цей підхід дозволяє більш чітко і повно подати
ідеї аксіоматичної побудови геометрії, сконцентрувати увагу учнів на задачах на
доведення і побудову, зокрема на проекційному кресленні.
Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання
теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей
геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними і предметами
навколишнього середовища.
При вивченні стереометрії постійно доводиться спиратися на зв’язок між
планіметричними та стереометричними поняттями та фактами. З одного боку, необхідно
максимально використовувати аналогію між ними у ряді випадків. А з іншого боку,
необхідно попередити необґрунтоване перенесення „плоских” результатів у простір.
Конспект уроку
Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.
Мета уроку: ознайомити учнів з основними поняттями стереометрії, сприяти формуванню
в учнів уявлень про найпростіші просторові тіла, про аксіоматичний метод, розвитку
навичок логічного виведення, а також застосування аксіом стереометрії та наслідків з них
до розв’язування задач.
Освоївши матеріал уроку учні повинні:
знати:
- що вивчає стереометрія;
- що є найпростішими фігурами простору;
- аксіоми стереометрії;
- теореми про існування та єдність площини, що проходить:
а) через пряму та точку, яка їй не належить;
б) через три точки, що не лежать на прямій.
вміти:
- зображати та знаходити на малюнках прямі і площини;
- застосовувати аксіоми стереометрії та наслідки з них до розв’язування задач;
- зображати та знаходити на малюнках паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що
перетинаються.
Хід уроку
І. Вступ
У 10 класі ви починаєте вивчати новий розділ геометрії – стереометрію. У молодших
класах ви вивчали такий розділ, як планіметрія, тобто всі фігури (точка, пряма, трикутник,
трапеція тощо) ви вивчали на площині. Саму ж площину як фігуру не розглядали.
ІІ. Пояснення нового матеріалу
Основні поняття стереометрії
Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами
простору є:
- точка: А, В, С,...
- пряма: а, в, с,...
- площина: ,..., (АВС).
Площину ми уявляємо собі як рівну поверхню кришки столу і тому будемо зображати її у
вигляді паралелограму.
площина (АВС)
Взагалі площини позначаються грецькими літерами: . Площина, як і пряма, нескінченна.
На малюнку ми позначаємо тільки частину площини, але уявляємо її необмежено
продовженою у всі сторони.
площина
Введемо основні позначення:
АВ – пряма;
[АВ] – відрізок;
[АВ) – промінь з початком в точці А;
|АВ| – довжина відрізку;
А є а належить
– точка А прямій а;
А а не належить
(АВС) – площина;
А є належить
– точка площині ;
А не належить
АВ належить
– пряма АВ площині ;
АВ не належить
{А; а} – точка А та пряма а належать площині ; точка А та пряма а визначають
площину ;
а ∩ в = К – прямі а і в перетинаються в точці К;
а ∩ = N – пряма а і площина перетинаються в точці N;
= АВ – площини і перетинаються по прямій АВ.
Аксіоми стереометрії
Властивості геометричних фігур в стереометрії ми будемо встановлювати шляхом
доведення теорем. Але щоб доводити теореми, нам необхідно спиратися на деякі вихідні
твердження. Такі твердження називають аксіомами. Оскільки на цих твердженнях
ґрунтується доведення теорем стереометрії, то вони отримали назву – група аксіом С.
С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не
належать цій площині.
С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що
проходить через цю точку.
}
С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і
притому тільки одну.
а ∩ в| {а, в},
– єдина.
Таким чином, група аксіом С, а також ті аксіоми, що ви вивчали у молодших класах у
розділі планіметрія, і складають систему аксіом стереометрії.
Зауважимо, що не всі аксіоми планіметрії механічно переносяться до системи аксіом
стереометрії. Прикладом тому є аксіома ІV: пряма розбиває площину на дві півплощини.
Проілюструємо її на рисунку.
Як бачимо, аксіому ІV слід формулювати тепер таким чином: пряма, що
належить площині, розбиває її на дві півплощини.
Також нагадаємо аксіому І планіметрії, оскільки вона знадобиться нам для доведення
теорем.
І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій
прямій. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.
Наслідки з аксіом
Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і
притому тільки одну.
Дано: пряма АВ, точка С АВ.
Довести: 1) існує {АВ, С};
2) єдина.
Доведення
1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС
визначають площину .
2) Доведемо єдність (методом від супротивного).
Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А,
В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С АВ. Припущення не
вірне.
– Маємо дві точки А і С, яку аксіому планіметрії можна використати?
– Погляньте на малюнок: маємо дві прямі, що перетинаються. Яка аксіома тут
працює?
– Яким методом в геометрії доводиться єдність чого-небудь?
– З якою умовою задачі ми отримали протиріччя?
Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
А |
.
В |
Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по
прямій, що містить ці точки.
Наслідок. Пряма і площина
не перетинаються
(немає спільних точок)
перетинаються
(мають одну спільну точку)
(принаймні дві
спільні точки)
Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і
притому тільки одну.
Дано: а.
Довести: 1) існує ;
2) – єдина.
Доведення.
1) Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І), вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через
прямі АВ і АС можна провести площину .
2) Доведемо єдність.
За теоремою 2: . За аксіомою С3 така площина єдина.
Теорему доведено.
Побудова перерізів просторових фігур
Перерізом многогранника називається многокутник, що утворюється при перетині
многогранника з площиною.
Щоб будувати прості перерізи, слід вміти будувати:
1) лінію перетину двох площин Для цього знаходять дві точки шуканої прямої і через
них проводять пряму
2) точку перетину прямої і площини Для цього знаходять у даній площині пряму,
що перетинає дану пряму; точка перетину цих прямих є шуканою. Ці прямі повинні лежати
в одній площині
ІІІ. Практичне закріплення нового матеріалу
Задача 1. Дано зображення піраміди SABC. Побудувати переріз піраміди площиною , що
проходить через ребро АВ і точку К.
Розв’язання
При розв’язуванні використаємо опорну задачу.
1) К є (SCB),
K є ,
В є (SCB),
B ,
2) К є (SCA),
K ,
А є (SCA),
A ,
3) ΔКАВ – шуканий переріз.
Задача 2. Точка М – середина ребра АА1 куба АВСДА1В1С1Д1. побудувати точку
перетину прямої Д1М з площиною (АВС).
Розв’язання
1) МД1 (АА1Д1),
АД (АА1Д1),
АД (АА1Д1),
2) АД ∩ МД1 = К,
3) точка К – шукана.
ІV. Домашнє завдання. Підсумки уроку
Коментарій домашнього завдання: вивчити конспект, № 1, № 7 (за підручником
Погорєлова А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989), розв’язати задачу.
Задача. Побудувати переріз куба АВСДА1В1С1Д1 площиною, що проходить через точку М
– середину ребра АА1 та діагональ В1Д1. Обчислити периметр перерізу, якщо ребро
дорівнює 10 см.
Тестові завдання
1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які — тільки просторовими?
1) круг; 2) куля; 3) квадрат; 4) куб; 5) прямокут¬ний паралелепіпед; 6) ромб; 7) піраміда;
8) циліндр.
б) Наведіть приклади плоских та просторових фігур з навколишнього оточення.
2. Назвіть вершини, ребра та грані многогранників, зображених на малюнках.
а) б)
3. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Вкажіть:
а) точки, що не належать грані АА1ДД1;
б) точки, що належать грані ВВ1С1С.
4. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Вкажіть:
а) пряму перетину грані АА1Д1Д і нижньої основи;
б) пряму перетину грані ВВ1С1С і нижньої основи.
5. а) Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи буде стійким на рівній підлозі
виготовлений стілець, що має чотири ніжки. Як для цього треба натягнути нитки? На яке
теоретичне положення спи¬рається така перевірка?
6) Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки була плоскою, тесля робить так: позначає
на ребрі балки точку А та проводить від неї у потрібному на¬прямі дві прямі АВ і АС у
суміжних площинах по¬верхні балки; потім скеровує пилку по намічених прямих. Поясніть,
чому у такий спосіб одержимо плоску поверхню розпилу.
6. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Доведіть, що можна провести площину:
а) через прямі АС і СС1;
б) через прямі ВД і ДД1.
7. Зобразіть:
а) площину , яка проходить через точки А і В та не проходить через точку С;
б) площини і , які перетинаються по прямій а.
8. а) Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку?
б) Чи можуть три площини мати тільки одну спільну точку?
9. Користуючись малюнком, назвіть:
а) точки, що лежать у площинах АДВ і ДВС; АВС і ДСВ;
б) прямі перетину площин АВС і СДА; АВС і ДСВ.
Для класів економічного профілю
Тема. Елементи стереометрії
МЕТА
Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл,
дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов’язані з ними;
продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за
допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних
відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про
аксіоматичний метод.
ОСНОВНІ ВИМОГИ
В результаті вивчення теми учні повинні вміти:
- встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема
паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;
- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови
(елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба,
тетраедра тощо);
- обчислювати відстані і кути у просторі;
- застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також
вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об’єктів фізичного простору.
ЗМІСТ ТЕМИ
Основні поняття і аксіоми стереометрії. Паралельність прямих і площин. Паралельне
проектування та його властивості. Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і
похила до площини. Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Двогранні та
многогранні кути.
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке
застосування геометричних образів, їх моделей і зображень. Учні повинні навчитися перш
за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти
обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та
інші твердження.
Після введення аксіом та наслідків з них обов’язково ознайомити учнів з технікою
виконання найпростіших стереометричних креслень та побудовою перерізів. При розгляді
взаємного розташування прямих у просторі доцільно довести теореми про транзитивність
паралельності прямих у просторі, про рівність двох кутів із спів напрямленими сторонами,
дати учням уявлення про напрям у просторі, про кути між мимобіжними прямими.
Корисним буде розв’язування задач на побудову у просторі: проведення через точку
прямої, паралельної до даної, прямої, що перетинає дану під заданим кутом, прямої,
мимобіжної до даної, проведення через точку прямої, паралельної до даної площини і
площини, паралельної даній прямій. Доцільно обговорити з учнями число розв’язків задач
на побудову.
Після теореми про відрізки паралельних прямих, що містяться між двома паралельними
площинами слід розглянути просторову теорему Фалеса. Що стосується відстаней у
просторі, то, окрім відстаней між різними геометричними об’єктами (точки, прямі,
площини, фігури, мимобіжні прямі), слід розглянути геометричні місця точок простору,
пов’язані з відстанями, способи знаходження відстаней між фігурами у просторі.
Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе
місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині, а також
виконувати побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних
елементів фігур (медіан, середніх ліній та ін.), точок перетину прямої і площини, двох
площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба,
паралелепіпеда, тетраедра. Безумовно ці тіла повинні з’явитися якомога раніше, тому що
на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.
Конспект уроку
Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.
Мета уроку: розширити і систематизувати відомості про методи побудови курсу геометрії,
про властивості основних геометричних фігур на площині та в просторі; розвивати
кмітливість, творчу уяву, інтерес до геометрії.
Освоївши матеріал уроку учні повинні:
знати:
- аксіоми стереометрії та наслідки з них;
вміти:
- застосовувати аксіоми та теореми-наслідки з них до розв’язування задач.
Хід уроку
І. Вступне слово вчителя
Геометрія – одна з найдавніших наук, яка вимагає вміння логічно мислити, застосовувати
теоретичні знання на практиці. До сьогоднішнього дня ви вивчили планіметрію. У цьому
році ви починаєте новий розділ геометрії – стереометрію. Сьогодні ми з вами трохи
пограємось на уроці. Усі знають, що найкращий спосіб вивчити що-небудь – це відкрити
самому. Тому бажаю вам сьогодні якнайбільше відкриттів у знаннях та здобуття найвищих
досягнень.
ІІ. Пояснення нового матеріалу
Запишіть у зошиті тему уроку. Розділ геометрії, в якому вивчають фігури у просторі,
називається стереометрією. Поняття точки, прямої і площини в стереометрії пер¬вісні, не
означувані. У геометрії площину уявляють необмеженою, ідеально рівною і гладенькою, що
не має ніякої товщини. В планіметрії розглядають тільки одну площину. В стереометрії
доводиться розрізняти багато площин.
Зображають площини у вигляді паралелограмів або кусків площини, обмежених довільними
замкненими лініями. Позначають їх звичайно грецькими буквами тощо.
У стереометрії вивчаються властивості як плоских геометричних фігур, так і неплоских.
Фігура називається неплоскою (просторовою), якщо не всі її точки лежать в одній
площині. Приклади неплоских фігур: куб, конус, куля.
Сформулюємо аксіоми, що виражають основні властивості точок, прямих і площин у
просторі.
1. Через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, можна
провести площину, і до того ж тільки одну.
2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій,
яка проходить через цю точку.
3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести
площину, і притому тільки одну.
С1 С2 С3
}
(Учні в зошитах креслять схему).
Введемо основні позначення.
Прямі Пряма і площина Площини
ІІІ. Закріплення нового матеріалу.
Гра „Лото”
Учням роздаються картки лото, на яких є відповіді на запитання. Учні називають у
довільному порядку числа від 1 до 15. Біля правильної відповіді проставляється номер
запитання. За кодами першого рядка створюються команди.
Запитання для карток лото
1. Розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі, називається...
2. Якими буквами позначаються площини?
3. Основними фігурами у просторі є...
4. Знайдіть знак належності точки до прямої чи площини.
5. Знайдіть знак належності прямої до площини.
6. Задано площину. Чи існують точки, що не належать їй?
7. Скільки площин можна провести через дві різні прямі, що мають спільну точку?
8. Знайдіть знак перетину площин і по прямій а.
9. Яка фігура є перетином двох різних площин, що мають спільну точку?
10. Знайдіть позначення мимобіжних прямих.
11. Система аксіом стереометрії складається з просторових аксіом С1-С3 та ...
12. Площину зображають у вигляді...
13. Чи можна провести площину через дві різні прямі, що мають спільну точку?
14. Вставте слово: яка б не була площина існують ..., що належать цій площині, і
..., що їй не належать.
15. Як називається фігура, яку задано так: (АВС)?
Картки лото
одна
паралелограм стереометрія
точка, пряма, площина можна площина існують аксіоми стереометрії
І-ІХ пряма, що проходить через цю точку
грецькі точки
одна
стереометрія паралелограм
аксіоми планіметрії
І-ІХ пряма, що проходить через цю точку
точки грецькі
площина точка, пряма, площина існують можна
можна існують точка, пряма, площина площина
аксіоми планіметрії
І-ІХ точки грецькі
пряма, що проходить через цю точку
одна паралелограм
стереометрія
можна існують
точка, пряма, площина площина
одна
паралелограм стереометрія аксіоми планіметрії
І-ІХ точки пряма, що проходить через цю точку
грецькі
точки
грецькі пряма, що проходить через цю точку аксіоми планіметрії
І-ІХ
можна точка, пряма, площина
площина існують
паралелограм
одна
стереометрія
грецькі точки
аксіоми планіметрії
І-ІХ пряма, що проходить через цю точку
одна паралелограм стереометрія точка, пряма, площина
можна існують
площина
Клас поділяється на команди – дилери великого виробничого підприємства, фундатором
якого є вчитель. У кожній команді призначається директор (капітан команди),
розподіляються обов’язки головного бухгалтера, менеджера з реклами тощо.
– Зараз ми викликаємо директорів представництв та головних бухгалтерів на семінар-
тренінг. Тут вони мають виконати завдання, які перевірять їх кваліфікацію. Найкращі
повезуть до своїх філіалів великі премії (додаткові бали чи оцінки).
Одночасно для трьох капітанів пропонуються малюнки до аксіом. Завдання полягає в
тому, щоб встановити, до якої аксіоми є ілюстрацією запропонований малюнок, помітити,
який елемент там відсутній. Цей елемент необхідно домалювати, а потім сформулювати
відповідну аксіому.
Завдання для першої команди
1) 2) 3)
Завдання для другої команди
1) 2) 3)
Завдання для третьої команди
1) 2) 3)
IV. Теоретичні завдання
Кожна команда отримує картки, на яких пропонується доведення одного з наслідків чи
теоретичний матеріал про многогранники. Учні вивчають завдання, після чого один з
учнів доповідає за допомогою вчителя та інших членів команди біля дошки.
– А зараз наше виробниче підприємство надасть своїм дилерам завдання провести
презентацію нового продукту. Ви маєте його розглянути, а менеджери з питань реклами
його представлять. Ті, хто найкраще це зробить, переможуть у грі.
Картка № 1
Теорема. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і
притому тільки одну.
Дано: пряма АВ, точка С АВ.
Довести: 1) існує {АВ, С};
2) єдина.
Доведення
1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС
визначають площину .
2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).
Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А,
В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С АВ. Припущення не
вірне.
Теорему доведено.
Картка № 2
Теорема. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і
притому тільки одну.
Дано: а.
Довести: 1) існує ;
2) – єдина.
Доведення.
1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС
можна провести площину .
2) Доведемо єдиність.
За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій
площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.
Теорему доведено.
Картка № 3
Теорема. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
А |
.
В |
Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по
прямій, що містить ці точки.
Наслідок. Пряма і площина
не перетинаються
(немає спільних точок)
перетинаються
(мають одну спільну точку)
(принаймні дві
спільні точки)
Розглянуті способи задання площини часто використовують під час побудови перерізів
многогранників. Найпростішими з многогранників є куб, паралелепіпед (усі грані –
паралелограми), тетраедр або трикутна піраміда (усі грані – трикутники). Якщо всі грані
паралелепіпеда – прямо¬кутники, його називають прямокутним паралелепіпедом. Якщо
всі ребра тетраедра рівні, його називають правильним тетраедром.
Якщо жодна з двох точок не належить площині, а відрізок, що їх сполучає, має з цією
площиною спільну точку, то говорять, що дані точки лежать по різні боки від площини. А
якщо принаймні дві точки многогранника лежать по різні боки від площини, говорять, що
площина пере¬тинає многогранник. У цьому разі її називають січною площиною. Фігура,
яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної пло¬щини, називається
перерізом многогранника даною площиною (учні демонструють моделі).
V. Висновки до уроку
Домашнє завдання.
Тестові завдання
1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які і просторовими?
1) трикутник; 2) чотирикутник;
3) п'ятикутник; 4) шестикутник.
б) Наведіть приклади фігур, які можуть бути як плоскими, так і просторовими.
2. а) Доведіть, що вершини паралелограма АВСД лежать в одній площині.
б) Дано замкнену ламану АВСДА. Відомо, що відрізки АС і ВД перетинаються. Доведіть,
що вер¬шини ламаної лежать в одній площині.
3. а) Дано дві прямі а і в, через які не можна прове¬сти площину. Доведіть, що ці
прямі не перетинаються.
б) Доведіть, що дві прямі у просторі не можуть перетинатися більше, ніж в одній точці.
4. а) Через точку проведено три прямі, які не ле¬жать в одній площині. Скільки
різних площин можна провести через ці прямі, якщо брати їх попарно?
5. б) Через точку проведено чотири прямі, кожні три з яких не лежать в одній
площині. Скільки різних пло¬щин можна провести через ці прямі, якщо брати їх попарно?
6. Точки А, В, С, Д не лежать в одній площині. Доведіть, що:
а) прямі АВ і СД не перетинаються;
б) прямі АС і ВД не перетинаються.
7. а) Три площини перетинаються попарно. Скільки утвориться ліній перетину?
б) Три прямі, що не лежать в одній площині, про¬ходять через одну точку. Через кожні дві
з них про¬ведено площину. Скільки всього проведено площин?
Для класів з поглибленим вивченням математики
Тема. Аксіоми стереометрії, найпростіші геометричні тіла.
Взаємне розташування прямих у просторі.
Взаємне розташування прямих і площин у просторі
МЕТА
Мета теми – розширити і систематизувати відомості про властивості основних
геометричних фігур на площині і в просторі. Дати систематизовані знання про
паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, сформувати вміння
застосовувати відповідні властивості й ознаки до розв’язування задач.
ОСНОВНІ ВИМОГИ
У результаті вивчення теми учні повинні вміти:
- застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв’язування геометричних і
практичних задач;
- доводити властивості й ознаки паралельності прямих і площин та
застосовувати їх до розв’язування задач;
- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови
(елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба,
тетраедра тощо);
- обчислювати відстані і кути у просторі.
ЗМІСТ ТЕМИ
Основні поняття і аксіоми стереометрії. Техніка виконання найпростіших стереометричних
креслень. Паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються. Напрям у просторі.
Визначення кута між мимобіжними прямими.
Паралельність прямих і площин. Паралельне проектування та його властивості.
Паралельність площин. Просторова теорема Фалеса.
Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і похила до площини.
Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Відстані у просторі. Кут між
прямою і площиною. Двогранні та многогранні кути.
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
Однією з основних цілей вивчення стереометрії є усвідомлення учнями структури логічної
побудови стереометрії. Обов’язковим завданням є розвиток логічного мислення,
просторової уяви, абстрактного мислення, а також ілюстрація зв’язку з реальним життям.
Курс стереометрії по відношенню до курсу планіметрії є систематизуючим і
узагальнюючим. Багато тем зі стереометрії розглядається за аналогією з відповідними
темами з планіметрії (вектори, координати).
У 10 класі відбувається складний процес переорієнтації в свідомості учнів: раніше всі
фігури розглядалися на одній площині, тепер і сама площина стає об’єктом, самостійною
фігурою і водночас носієм всіх плоских фігур з їх численними властивостями.
Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке
застосування геометричних образів, їх моделей і зображень, залучення учнів до їх
виготовлення. Учні повинні навчитися
