Kinemaatika põhimõisted
Nagu öeldud, füüsika on teadus mis käsitleb kehade liikumist. Selleks aga
tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk parameetrid, mis on:
asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.
Asukoht (koodinaadid).
Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks
kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis määravad keha
kauguse mingitest kindlaksmääratud kohtaest, koordinaat-telgedest.
Kolmemõõtmelises ruumis on asendi mäaramiseks vajalik kolm arvu
(koordinaati), kahemõõtmelises (tasapinnal) kaks ja ühemõõtmelises (joonel)
uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama kui
kolemõõtmelisi ruume, näiteks võttes neljanda mõõtmena kasutusele aja, aga
kui tarvis, veel teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tähtis, et
juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest,
vaid oleksid täiesti sõltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid kõik
teljed üksteisega risti, kuigi neid võib olle palju rohkem kui kolm).
Kõige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete
ristiolevate telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles
teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes
piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-
telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha
riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse näiteks USA-s linnade
planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on üksteisega risti ja
nummerdatud kasvavas järjekorras alates linna keskpunktist. Positiivsete ja
negatiivsete väärtuste asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’ ja ‘West’
lisandeid.
Cartesiuse koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha määramiseks,
vaid seda saab teha ka mõne testsuguse kolme arvu kombinatsiooni abil,
peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud kirjeldavad, oleksid ikka
omavahel ristsuundades. Näiteks tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste ja
kerakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn.
polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult üks neist
(raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nurgad,
mis määravad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määratud punkti
jõutakse. Esimene on nurk v (teeta), mis määrab erinevuse vertikaalsihist
ja teine on nurk ?, mis mäarab erinevuse kokkuleppelisest
horisontaalsihist. Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus
‘põhjalaius’ on sisuliselt 90°-v ja idapikkus on ?. Kuna määratavad punktid
asuvad kõik Maa pinnal, siis raadius oleks kõigi jaoks umbes 6000 km ja see
jäetakse kirjutamata. Maapinna kohal õhus või maa sees olevate punktide
koordinaatidele tuleks aga raadiuse väärtus juurde lisada.
Polaarkoordinaate allpool näiteks elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks
kirjeldamiseks vesiniku aatomis.
Liikumine, kiirus
Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on
ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutväärtus ja
suund.
Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud
teepikkusega. Teepikkus ?s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemõõtmelises
ruumis avaldub teepikkus alg ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu järgmiselt
[pic] (1.1)
Pikkuse (teepikkuse) ühikuks on meeter, m. Meeter on ligilähedaselt
1/40000000 Maa ümbermõõtu, kuid täpne ühik on kokkuleppeline ja oli pikemat
aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist
siinil, mida hoiti Pariisi lähedal, nüüd aga on meeter seotud teatud aine
aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on üks kolmest
põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu.
Kiirus
[pic], kust [pic] ja [pic] (1.2)
Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ühikuks on
sekund, s. Sekund on ligilähedaselt 1/(365.25x24x60x60) keskmise
astronoomilise ööpäeva pikkusest, kuid tema täpne väärtus on praegu seotud
teatud aine poolt kiiratava valguse võnkeperioodiga. Sekund on üks kolmest
põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Näiteks kiiruse
ühik on m/s ehk m s-1 ja see on tuletatud põhiühikutest. Suurem osa
tuletatud ühikuid on seotud põhiühikutega andes viimastele väärtuse 1.
Nii teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised
komponendid. Kahemõõtmelisel (tasapinnalisel juhul) vektori s kaks
komponenti on sx=scos?; sy=ssin?; [pic]
Ebaühtlase liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse
kiiruse muutusega ajaühikus. Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse
muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest:
[pic] (1.3)
Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib sx, sy ja sz suhtes
eraldi. Kiirenduse ühik on m s-1 s-1 = m s-2 (loe: meeter sekundis
sekundis).
Kiirendusega liikumise kiirus
[pic] (1.4)
kui alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v0.
Kiirendusega liikumisel läbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist
(integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult ülemine rada):
[pic] (1.5)
ja teepikkuse s läbimiseks kuluv aeg [pic] (1.4)
Juhul, kui algkiirus on null, siis
[pic], (1.5)
kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s läbimiseks:
[pic] (1.6)
ja kiiruse v, mis saavutatakse teepikkuse s läbimisel
[pic] (1.7)
Maa raskuskiirendus on g=9.81 m s-2 ja see määrab vabalt langevate kehade
liikumise kiirenduse.
Ülesanded: Kuidas määrata torni kõrgust ampermeetri ja stopperi abil?
Kui suure algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30 m
kõrgusele?
Kui kõrgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 kraadi all
kaldu?
Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek?
Vähemalt kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushüppaja äratõuge ja
missuguse nurga all tuleb see suunata, et püstitada uus maailmarekord
(oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)?
Ringikujulisel (elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi
leidmiseks tutvume kõverjoonelise liikumise kiirendusega, millest lihtsaim
on ringjooneline liikumine.
Kõverjoonelise (ringjoonelise) liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline)
kiirus
[pic] (1.8)
kus r on raadius, ? on tiirlemisperiood ja ? on tiirlemissagedus.
Ristikiirendus
[pic] (1.9)
kus ? on nurk-kiirus. Nurkkiirust mõõdetakse pöördenurga suurenemise
kiiruse kaudu, ühik on radiaan sekundis. Täisring on 2? radiaani, seega üks
tiir sekundis tähendab nurkkiirust 2? radiaani sekundis.
Dünaamika põhimõisted ja seadused: jõud, impulss, töö, energia
Newtoni esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha liigub
ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade mõju (jõud) ei
põhjusta selle seisundi (kiiruse) muutumist.
Ühtlane ja sirgjooneline liikumine on võimalik ainult avakosmoses väga
kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kõik kehad gravitatsioonivälja
mõjusfääris ja neile mõjub Maa külgetõmbejõud. Demonstratsioonkatseks on
mõjudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine horisontaalsel
peegelpinnal, kus raskusjõud on liikumisega risti ja hõõrdumisjõud on
minimaalne. Ka piljardikuulid liiguvad küllatki ühtlaselt ja
sirgjooneliselt kuni põrkumiseni.
Newtoni teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus) on võrdeline
rakendatud jõuga ja toimub jõu suunas.
[pic] ehk [pic] (2.1)
kus f on jõud, m on keha mass ja a on kiirendus. Võrdetegur, mis seob
kiirenduse jõuga on pöördvõrdeline keha massiga, s.t. üks ja seesama jõud
põhjustab seda suurema kiirenduse mida väiksem on keha mass. Jõud f ja
kiirendus a on vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata suurus).
Massi ühik on kilogramm (kg). Üks kilogramm on ligilähedaselt ühe dm3 puhta
vee mass, kuid täpne massi etaloon on plaatina-iriidiumi sulamist
metallkeha, mis on hoiul Pariisi lähedal. Kilogramm on seega üks kolmest
põhiühikust, mille suurus on kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste
ühikute kaudu. Tuletatud ühiku näiteks on jõu ühik: üks njuuton (N) on
jõud, mis annab massile üks kilogramm kiirenduse üks m s-2
Mass: kaal ja inerts
Massil on kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on need
kaks omadust alati võrdelised ja massi suurust saab määrata nii ühe kui
teise kaudu. Kaalumine on massi mõõtmise viis gravitatsioonijõu kaudu. Mitu
N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on raskusjõud, millega Maa tõmbab keha.
Raskusjõud annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s-2, sel ajal kui 1 N annab
kiirenduse vaid 1 m s-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8 N. Sama mass 1 kg
kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vähem, seega umbes 1.6 N. Keha kaal
sõltub ka asukohast Maal (ekvaatoril on Maa pöörlemisest tulenev
tsentrifugaaljõud suurem ja see vähendab kaalu). Kaalu vähendab ka õhu
üleslüke. Seega, üks kilogramm udusulgi kaalub vähem kui 1 kg rauda, kui ei
arvestata õhu üleslükke parandit. See parand on seda suurem, mida
lähdasemad on kaalutava keha ja õhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga
täidetud õhupall omab negatiivset kaalu. Õige kaalu määramine oleks õhu
üleslüket arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete või
vedelikega, on selle tähtsus suhteliselt väike. Kui küsite poest ühe kg
leiba, siis soovite te tõepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega
küsimine kilogrammides ja mitte njuutonites on füüsikaliselt õige. Kui
müüja kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see
sõltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis võrreldakse
omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei sõltu
laiuskraadist.
Newtoni kolmas seadus: Mõju (jõud) on võrdne vastumõjuga (vastujõuga)
[pic]. Kui esimene keha mõjutab teist jõuga f siis teine keha mõjutab
esimest jõuga –f. Klassikaline näide: paadist kaldale hüpates tõukate paati
kaldast eemale. Kumb aga liigub kiiremini, teie või paat?
Kahe keha vastasmõjul saavad mõlemad kiirenduse pöördvõrdeliselt nende
kehade massiga:
[pic] ehk [pic] (2.2)
Newtoni kolmandal seadusel põhineb rakettmootori töö. Igal ajamomendil
paiskab reaktiivmootor suhteliselt väikest kütuse massi suure kiirendusega
tahapoole, selle tulemusena liigub rakett kui suurem mass väiksema
kiirendusega vastassuunas. Protsess on pidev seni kuni mootor töötab ja
kuna kiirendus mõjub mõlemale, nii raketile kui kütusele võrdse aja
jooksul, siis lõppkokkuvõttes suhtuvad ka raketi ja ruumi väljapaisatud
kütusemassi kiirused nii nagu valem (2.2) näitab kiirenduste kohta. Kui
näiteks raketi ja kütuse massid on võrdsed, siis on lõpuks võrdsed ja
vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus raketi ja ruumipaisatud kütuse
vahel on aga selles, et rakett kui tahke keha omab ühte kindlat kiirust,
kütuse põlemisprodukt aga on gaasiline ja valem (2.2) kehtib selle
ruumilise massikeskme kohta.
Ka lindude lendamine (ja isegi loomade või inimese ujumine) on
sisuliselt reaktiivliikumine, sest teist võimalust kui Newtoni kolmanda
seaduse abil õhust raskemal kehal õhus (veest raskemal kehal vee peal)
püsimiseks ei ole. Lind lükkab tiibadega õhku allapoole, mõjutades õhumassi
jõuga ja andes õhule allapoole liikumise kiirenduse, samal ajal vastujõud
tõukab lindu ülespoole. Linnu ülespoole liikumise kiirendus on niisama suur
kui raskuskiirendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mõlemad
kompenseeruvad ja lind lendab konstantsel kõrgusel. Matemaatiliselt,
[pic], kus m1 on linnu ja m2 tiibade all liikuma pandud õhu mass ning a on
viimasele antud kiirendus.
Ülesanne: Selgitada, mis ühist on lennuki reaktiivmootoril,
propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeerimisel.
Üks tähtsamaid kiirendusest tulenevaid jõude on kesktõmbejõud ja
kesktõukejõud ringlikumisel, mis on võrdsed javastassuunalised. Keha liigub
ringikujulist trajektoori mööda tänu jõule, mis tõmbab teda keskpunkti
suunas. Kesktõmbejõud võib olla gravitatsioon (Maa tiirlemine ükber
Päikese), elektromagnetiline (elektroni tiirlemine ümber tuuma) või
mehaaniline (nöör mis ühendab lingukivi käega, tsentrifugaalpumba korpus,
mis suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga ega nedes kehadeski esine
lõppkokkuvõttes muud kui elektromagnetilised jõud). Kesktõukejõud tekib
keha inersti tõttu, tema püüdest likuda sirgjooneliselt puutujat mööda.
Kesktõukejõud ringliikumisel avaldub järgmiselt
[pic].
kus ? on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega järgmiselt:
[pic] ehk [pic], seega
[pic]
Kui suur on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera
raadius on 6000 km. Nurkkiirus on 2?/(24x3600) = 7.27x10-5 radiaani
sekundis. Asendades need värtused valemisse (??) saame f=100x(7.27x10-
5)2x6x106 = 100x52.8x10-10x6x106= 3.168 N. Poolusel kaalub 100 kg 981 N.
Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032 ehk 0.32%. Meie laiuskraadil
ja ekvaatoril on see suhe veel umbes poole väiksem.
Tsentrifugaaljõu praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja
ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba arendatav
rõhk mootori pööretest?
Liikumise hulk ehk impulss.
Kui püüate väga massiivset keha, näiteks autot, liikuma lükata, siis tuleb
jõudu rakendada küllalt kaua, enne kui saavutate vajaliku kiiruse, näiteks
küllaldase mootori käivitamiseks ilma starteri abita. See tähendab, et keha
poolt saavutatud kiirus sõltub jõu mõjumise ajast. Kasutame kiiruse
arvutamiseks kahte seost: [pic], kust [pic]
Suurust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on
võrdeline jõuga ja selle mõjumise ajaga ning toimub jõu suunas.
Impulsi jäävus liikuvate kehade vastasmõjudes on energia jäävuse kõrval üks
looduse põhiseadusi. Näiteks kahe piljardikuuli põrkel või kahe
gaasimolekuli põrkel
[pic]
Impulsi muutus kehade vastasmõjul on võrdne ja vastassuunaline, süsteemi
summaarne impulss on konstantne. Impulsi mõistet kasutame allpool gaaside
rõhu arvutamisel.
Töö ja energia.
Töö on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja jõu suunas läbitud
teepikkuse korrutisega
[pic]
Töö ühik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on töö, mida teeb jõud
üks njuuton ühe meetri pikkusel teel. Tööd tehakse siis, kui liigutatakse
mingit keha avaldades sellele jõudu. Näiteks, tõstes 50 kg viljakotti maast
1m kõrgusele vankrile tehakse töö mis võrdub koti kaal (njuutonites !)
korda vankri kõrgus, 50x9.8x1=490 J. Kui vesi langeb 20 m kõrguses joas
käivitades turbiini, siis iga kg vett teeb tööd 20x9.8=295 J.
Kui jõud on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv sõltuvalt
asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida võib
liikumise ja jõu kui vektori komponente kolme koordinaadi suunas eraldi
[pic]
Tüüpiline muutuva jõu poolt tehtud töö arvutus on seotud keha asukoha
muutusega teise keha gravitatsiooni- või elektriväljas. Näiteks, Newtoni
gravitatsiooniseadus väidab, et kahe keha vahel mõjub gravitatsioonijõud,
mis on võrdeline nende kehade masside korrutisega ja pöördvõrdeline
nedevahelise kauguse ruuduga:
[pic]
Elementaartöö, mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist kaugust
dx võrra oleks
[pic]
ja liikumisel üle mingi pikema vahemiku tehtud töö oleks
[pic] [pic]
Kui teepikkus on määratud, tuleb integraal võtta radades liikumise
algpunktist lõpp-punkti. Valem ??? näitab, et kui kahe keha vaheline jõud
kahaneb kauguse suurenedes pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga, siis tehtud
töö kasvab kauguse kasvades pöördvõrdeliselt kaugusega. Tõmbuvate kehade
vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha välist tööd, kui kehad
lähenevad, siis nad teevad ise tööd. Tõukuvate kehade, näiteks
samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine: tõukuvate kehade
lähendamiseks tuleb teha välist tööd, kui need kehad eemalduvad
teineteisest, siis nad teevad ise tööd. Viimase juhu näiteks oleks aatomite
lähenemine, kus välise elektronkihi elektronid tõukuvad üksteise
elektriväljas. Tahkete kehade kokkupuude ja hõõrdumine ongi väliste
elektronkihtide tõukumine, tegelikku füüsilist kokkupuudet ei esine kunagi.
Võimsus on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus tehtud töö
hulgaga.
[pic]
Võimsust kasutatakse näit. mootorite ja küttekehade hindamisel, teadmaks
kui palju tööd need suudavad ajaühikus teha. Võimsuse ühik on Watt [W] =
[J] [s]-1 üks Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav võimsus on näiteks
40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50 – 100 kW.
Elektrienergia hulga mõõtmiseks kasutatakse ühikut kilovatt-tund (kWh), see
on töö, mida teeb võimsus 1 kW ühe tunni = 3600 s jooksul. Üks kWh = 1000 J
s-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.
Energia on keha võime teha tööd.
Energiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jõuväljas
asuva keha potentsiaalne energia. Energia jäävuse seadus on looduse
põhiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub ühest vormist teise.
Seega, looduses toimub kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja
potentsiaalse energia muundumine kineetiliseks.
Liikuva keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju tööd tuleb teha, et
keha (massiga m) kiirust suurendada paigalseisust kuni väärtuseni v. See
töö moodustabki likuva keha kineetilise energia.
Töö=energia: [pic]
Kui suur aga on teepikkus s mille lõpuks saavutatakse kiirus v? Kasutame
seost (1.7)
[pic], kust [pic]
Teades, et [pic], asendame selle ja saame
[pic]
Nüüd on selge, et
[pic]
Kineetiline energia on võime teha tööd. Liikuva keha peatumisel võib ta
enese ees lükata teist keha mõjudes sellele jõuga ja tehes tööd. Kui auto
sõidab vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab plekke paigast ja
murrab sõitjate luid. Tähelepanu, et auto kiiruse suurenemisel kaks korda
suureneb kineetiline energia neli korda! Niisugustel deformeerivatel
põrgetel muutub kineetiline energia peamiselt molekulide soojusenergiaks.
Kineetiline energia muutub potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha
peatab jõuväli, näiteks kui viskame kivi ülespoole. Gravitatsioonivälja
jõud peatab lõpuks kivi liikumise, kuid kivi kineetiline energia on
muundunud tema potentsiaalseks energiaks. Sama juhtub elektronidega, kui
nad saavad lisaks kineetilist energiat (näiteks aatomite põrgetel või
valguse neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale.
Jõuväljas asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu
gravitatsioonivälja maapinna lähedal. Arvutame, kui palju tööd tuleb teha
keha (massiga m) tõstmiseks kõrgusele h.
[pic]
Gravitatsiooniväli ja elektriväli on nn. potentsiaalsed väljad, kus keha
potentsiaalse energia muutus sõltub ainult alg-ja lõppasukohast, mitte aga
vahepealse liikumise trajektoorist. Tehtud töö on sama, ükskõik millist
rada mööda liigutakse samade alg- ja lõpp-punktide vahel. Vabal inertsel
liikumisel jõuväljas (ilma välismõjudeta) potentsiaalne ja kineetiline
energia pidevalt muunduvad teineteiseks, nii et summaarne energia on kogu
aeg sama:
[pic]
Näiteks kõrguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et kukkumise lõpuks
[pic], kust [pic]
Ülesvisatava kivi maksimaalkõrguse võime samuti leida tema algenergia
(algkiiruse) kaudu.
Kineetilise ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka
lihastetöös. Näiteks võib teoreetiliselt arvutada, kui kõrgele saab hüpata
kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on 0.1 mM, eeldades, et ATP
keemiline energia kõik muutub hüppel kineetiliseks energiaks.
Eelmised ülesanded on lihtsad, sest ülesvisatud keha kõrgus muutub
suhteliselt Maa raadiusega sedavõrd vähe, et rakusjõudu saab lugeda
konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, näiteks nagu
kosmoselendudel, või nagu elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa
ei gravitatsiooni- ega elektrivälja jõudu enam konstantseks lugeda vaid töö
(energia) arvutamisel tuleb arvestada, et jõud muutub koos kaugusega.
Jõudude tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel.
Looduses asuvad kõik kehad üksteise jõuväljades, suuremad kehad
gravitatsiooniväljas, väikeste kehade puhul on oluline elektriväli. Ometi
ei kuku tõmbuvad kehad üksteise peale, sest sellisel juhul oleks kogu
Universum ammu kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud aatomituumadesse
ja planeedid nende Päikestesse. Loodust stabiliseerib see, et kehad
tiirlevad üksteise ümber, nii et kesktõmbejõud ja kesktõukejõud on võrdsed
ja radiaalsuunalist kiirendust (jõudu) ei esine. Kasutades füüsikast
teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise (elektrilise) kesktõmbejõu ja
inertsiaalse kesktõukejõu kohta saab nende tasakaalutingimustest tuletada
näiteks kui suur on tiirleva keha potentsiaalne, kineetiline ja summaarne
energia.
Mõlemad, nii elektrivälja kui ka gravitatsioonivälja tugevus (mõjuv jõud)
kirjelduvad ühe ja sellesama seadusega:
gravitatsiooniväli: [pic] ja elektriväli: [pic]
kus m on keha mass, e on keha laeng (indeksid näitavad esimese ja teise
keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k määrab seose
kasutatava ühikute süsteemiga. Kui masse mõõdetakse kilogrammides, siis
gravitatsioonijõu saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant kg
väärtust ????. Kui laenguid mõõdetakse Coulombides (Kulonites, C) siis
elektrostaatilise tõmbejõu saamiseks Njuutonites elektriväljakonstant ke
omab väärtust ????.
Muide, selles, et need konstandid ei oma väärtust 1, väljendub
füüsikalise mõõtühikute süsteemi ajalooliselt kujunenud ebajärjekindlus.
Süsteemselt õige oleks olnud massiühikuks võtta niisugune mass, mis teist
samasugust tõmbab ühe pikkusühiku kauguselt ühikulise jõuga. Seesama
ühikuline jõud aga peab andma ühikulisele massile ka ühikulise kiirenduse.
Et see aga nii tuleks, peaks nii massi, pikkuse kui ajaühikut vastavalt
muutma. Praegused põhiühikud ei ole üldse seotud gravitatsiooniseadusega.
Samasugune on lugu elektrilaenguühikutega. Formaalselt peaks laenguühik
Coulomb (Kulon) olema defineeritud kui laeng mis tõmbab teist samasuurt
vastasmärgilist laengut pikkusühiku kauguselt ühikulise jõuga. Tegelikult
on aga Coulomb defineeritud hoopis magnetvälja kaudu: Coulomb on laeng, mis
liikudes ühe sekundi jooksul läbi 1 m pikkuse traadi mõjutab teist
samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt jõuga 1
N. See definitsioon baseerub magnetväljal, mis on liikuvate laengute ümber
ruumis. Elektrivälja jõud avaldub nüüd aga ülaltoodud kaliibrimiskonstandi
kaudu.
Leiame keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsümmeetrilises
gravitatsiooni- (elektri-) väljas. Kuna jõud on tugevasti kaugusest sõltuv,
siis tuleb kindlasti rakendada integreerimist. Laengu liikumisel
elektriväljas väga lühikesel teepikkusel tehtud töö on
[pic]
[pic]
kus liikumise teepikkust tähistame seekod raadiuse (kugus tsentrist)
muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r1 raadiusele r2, peame
integreerima vastavates radades:
[pic][pic]
Valem näitab, et tsentraalsümmeetrilises elektriväljas liikudes muutub
laengu potentsiaalne energia pöördvõrdeliselt kaugusega tsentrist.
Analoogiline valem kehtib ka gravitatsioonivälja kohta, ainult et seal
esinevad kahe laengu asemel kaks massi ja elektrivälja konstandi asemel
gravitatsioonikonstant. Kui laeng liigub tsentrist eemale, siis r2>r1 ja
negatiivne liige on väiksem kui positiivne, seega siis potentsiaalne
energia kasvab. Vastupidi, potentsiaalne energia kahaneb, kui laeng liigub
tsentrile lähemale. Potentsiaalse energia nullnivoo on aga kokkuleppeline.
See võiks olla üks äärmuslikest seisunditest, kas [pic]või [pic]
(lõpmatus). Siiski, raadius ei saa olla null, sest siis läheneb energia
lõpmatusele, seega jääb kokkuleppeliseks nulliks nivoo, kus laengud
asetsevad teineteisest lõpmatu kaugel. Lähenedes aga nende potentsiaalne
energia kahaneb, seega muutub negatiivseks, ja läheneb miinus lõpmatusele
kui laengud kohtuvad. Niisugune potentsiaalse energia nullnivoo
definitsioon, mis on hea elektronide ja tuumade vahelise mõju
kirjeldamiseks aatomites, on erinev igapäevakogemusest gravitatsioonilise
energiaga, kus nulliks loeme tavaliselt energia maapinnal ja energia loeme
positiivselt kasvavaks kui keha maapinnast kaugeneb. Kui valemis ??? [pic],
st. elektron läheneb tuumale lõpmatu kaugelt, siis tema potentsiaalne
energia on alguses null ja kahaneb lõpuks väärtusele
[pic]
Kuna see energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni liikumise
kineetiliseks energiaks, st., lähenedes tuumale elektron liigub
kiirenevalt, nii nagu näiteks asteroid liigub kiirenevalt lähenedes Maa
pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei lange kunagi tuumale, vaid
jääb tiirlema mingil kaugusel ümber tuuma. Tiirlemise kaugus (raadius, on
määratud sellega, millal elektriline tõmbejõud võrdub inertsiaalse
kesktõukejõuga. Matemaatiliselt avaldub see tingimus järgmiselt:
[pic]
Selle valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktõukejõu valem keha
massiga m ringliikumisel joonkiirusega v ümber tsentri kaugusel r. Valemi
parem pool on elektrostaatilise tõmbejõu valem, kuid siin on juba
arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on võrdsed, mõlemad
väärtusega e.
Eelmisest valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni
kiiruse kui tema kineetilise energiaga:
[pic]
või
[pic]
Ümber tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui elektron
läheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et potentsiaalne energia
samal ajal kahanes:
[pic],
ja summaarne energia
[pic]
Elektroni summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile
mis on tuumale lähemal. Kuhu see energiavahe siis läheb, millisesse vormi
muutub (kaduda ju ei saa)?
See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas
valguskvandi kujul, või kandub üle mõnele naaberaatomile, tõstes selle
elektroni vastavalt kõrgemale energianivoole, või eraldub soojusena, s.o.
muutub aatomi translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune
elektronide ja tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine
erineva raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia,
keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid tiirlevad
tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja võivad seda vabastada kui
keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad muutused, mille tulemusena
elektronid saavad tuumadele lähemale asuda. Bioloogiliste protsesside
energeetika on samadel alustel: fotosünteesis tõstetakse elektron
valguskvandi abil kõrgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile, ja
metabolismi käigus ta järkjärgult läheneb tuumale, vabastades niimoodi
kvandi poolt talle antud energia.
Kas aga elektronid saavad tiirelda ümber tuuma igasugustel kaugustel?
Kui see nii oleks, võiks ju vabastada väga suuri keemilise siseenegia
koguseid lubades elektronil asuda tuumale väga-väga lähedale (lastes
raadiuse nulli lähedale). Tõepoolest, klassikaline füüsika seda lubaks,
kuid tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse kvantmehaanilised
piirangud, mis klassikalise füüsika abil ei seletu. Järgnevas tutvumegi
atomaarse kvantteooria põhialustega.
-----------------------
[pic]
[pic]
|
