Исследование на устойчивость линейной системы автоматического управления - Схемотехника
Министерство Транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство морского и речного флота
Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта
Тобольский филиал
Кафедра «Электротехники и Электрооборудования»
Курсовая работа
Дисциплина «Теория Автоматического Управления»
«Исследование на устойчивость линейной системы автоматического управления»
Выполнил: ст. гр. ЭМ–32
Макаров. Н
Проверил: ст. преп.
Каф. «ЭиЭО»
Трегуб А.А.
Тобольск 2006
Содержание
Введение ………………………………………………………………………3
Глава 1. Исследование на устойчивость линейной системы
автоматического управления ………………………………………4
Глава 2. Решение системы типовых звеньев
Инерционное звено ………………………………...…………………………5
Интегрирующее звено ………………………..………………………………6
Инерционное звено…………………………………………………………….7
Пропорциальное звено……………………………..………………………….8
Колебательное звено…..………………………………....……………………9
Находим результирующие АЧХ и ФЧХ всей системы………………........10
Исследуем АФХ всей системы на устойчивость………………………...…10
Примеры типовых звеньев входящие в данную систему…………………..10
Заключение…………………………………………………………………….15
Приложения……………………………………………………………….…..16
Список используемой литературы ………………………………..…………19
Введение
Элементы (звенья) системы автоматического регулирования могут иметь различную
физическую природу, конструкцию и принцип действия. Однако, с точки зрения их
динамических свойств, имеют значение лишь уравнения, связывающие выходную и
входную величины. Причем независимо от сложности системы любую из них можно
представить в виде совокупности нескольких элементарных звеньев.
В данной курсовой работе нужно:
• Определить типы звеньев входящие в данную линейную систему автоматического
управления;
• Найти АЧХ и ФЧХ для каждого звена;
• Построить годографы в полярных координатах по АЧХ и ФЧХ для каждого звена;
• Вывести результирующую АФХ и построить годограф в полярных координатах;
• Исследовать на устойчивость, данную линейную систему автоматического управления
и построить годограф в декартовых и полярных координатах;
• Привести примеры для каждого звена.
Глава 1. Исследование на устойчивость линейной системы автоматического
управления.
Общая характеристика типовых линейных звеньев.
Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными
схемами, которые точно описываются математически и приближенно характеризуют
реальные звенья систем в заданном диапазоне частот сигналов. При этом так же, как
и при рассмотрении электрических цепей, вводятся понятия r, C и L. Хотя реальные
резистор, конденсатор и катушка индуктивности только в определённых пределах
частот соответствуют этим реальным понятиям, в теории автоматического управления
вводится понятие типовых звеньев, передаточная функция которых только в
определённом частотном диапазоне соответствует реальным звеньям системы
управления.
Рассматривая характеристики звеньев независимо от их назначения, физического
принципа действия, мощности и скорости передаваемых сигналов, можно выделить ряд
типовых звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями
первого и второго порядков:
а) простейшие: пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие звенья;
б) звенья первого порядка: инерционные, инерционно – дифференцирующие,
форсирующие и инерционно – форсирующие;
в) колебательные звенья второго порядка.
Передаточная функция всех типовых звеньев представляет собой рациональную дробь:
W(p) = K(p) / D(p),
(1)
причем нули и полюсы функции W(p), соответствующие уравнениям K(p)=0 и D(p)=0,
лежат в левой полуплоскости p или на её границе, совпадающей с мнимой осью.
При отнесении реального звена, к какому – либо типовому следует оговаривать
диапазон частот, при котором рассматриваются характеристики. Выход за приделы
этого диапазона может привести к необходимости учета дополнительных параметров и
усложнению математического описания звена.
Глава 2. Решение системы типовых звеньев.
Инерционное звено
Первое звено, входящее в данную систему W1(p)=k1/(T1p+1) является инерционным
звеном (см. Приложение).
Дано:
W1(p)=k1/(T1∙p+1); k1=1; T1=0,05; w=0..10000.
Решение:
Переходим от оператора Лапласа по частоте (p = i∙w, где i – мнимая единица,
w – угловая частота):
W1(i∙w)=k1/(T1i∙w+1).
(2)
Из выражения (2) находим Реальную часть (Re(w)) и Мнимую часть (Im(w)):
Reчаст.1(w)= k1,
Imчаст.1(w)= 0.
Reзнам.2(w)= 1,
Imзнам.2(w)= T1∙w.
Находим A(w)–АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) и φ(w)–ФЧХ
(фазочастотная характеристика) для первого звена:
A1(w)= Aчаст.(w) / Aзнам.(w).
(3)
Aчаст.(w)=√ Reчаст.1(w)2+ Imчаст.1(w)2 = √k12+02=√k12= k1,
Aзнам.(w)=√ Reзнам.2(w)2+ Imзнам.2(w)2 =√12+T12∙w2.
A1(w)= k1 / (√12+T12∙w2).
(4)
A1(0)= 1 / (√12+0,052∙02)=1.
A1(10000)= 1 / (√12+0,052∙100002)=2 ∙ 10-3.
φ1(w)= φчаст.(w) – φзнам.(w).
(5)
φчаст.(w)=arctg[Imчаст.1(w) / Reчаст.1(w)]=arctg(0 / k1)=arctg(0)=0,
φзнам.(w)=arctg[Imзнам.2(w) / Reзнам.2(w)]=arctg(T1∙w /
1)=arctg(T1∙w).
φ1(w)= 0 – arctg(T1∙w).
(6)
φ1(0)= 0 – arctg(0,05∙0)= 0 – arctg(0)= 0.
φ1(10000)= 0 – arctg(0,05∙10000)= 0 – arctg(500)= - 1,569.
По полученным АЧХ и ФЧХ строим АФХ (амплитудно-фазовая характеристика).
Интегрирующее звено
Второе звено, входящее в данную систему W2(p)=k2/(T2p+1) является интегрирующим
звеном (см. Приложение №1).
Дано:
W2(p)=k2/(T2∙p); k2=1; T2=1; w=0..10000.
Решение:
Переходим от оператора Лапласа по частоте:
W2(i∙w)=1/(T2i∙w).
(7)
Из выражения (7) находим Реальную часть (Re(w)) и Мнимую часть (Im(w)):
Reчаст.1(w)= k2,
Imчаст.1(w)= 0.
Reзнам.2(w)= 1,
Imзнам.2(w)= T2∙w.
Находим A(w)–АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) и φ(w)–ФЧХ
(фазочастотная характеристика) для второго звена:
A2(w)= Aчаст.(w) / Aзнам.(w).
Aчаст.(w)=√ Reчаст.1(w)2+ Imчаст.1(w)2 = √k22+02=√k22= k2,
Aзнам.(w)=√ Reзнам.2(w)2+ Imзнам.2(w)2 =√12+T22∙w2,
A2(w)= k2 / (√12+T22∙w2).
A2(0)= 1 / (√12+12∙02)= √2.
A2(10000)= 1 / (√12∙100002)= 1*10-4.
φ2(w)= φчаст.(w) – φзнам.(w).
φчаст.(w)=arctg[Imчаст.1(w) / Reчаст.1(w)]=arctg(0 / k2)=arctg(0)=0,
φзнам.(w)=arctg[Imзнам.2(w) / Reзнам.2(w)]=arctg(T2∙w /
1)=arctg(T2∙w),
φ2(w)= 0 – arctg(T2∙w).
φ2(0)= 0 – arctg(0,04∙0)= 0 – arctg(0)=0.
φ2(10000)= 0 – arctg(1∙10000)= 0 – arctg(10000)= -1,57.
По полученным АЧХ и ФЧХ строим АФХ (амплитудно-фазовая характеристика).
Инерционное звено
Третье звено, входящее в данную систему W3(p)=k3/(T3p+1) является
инерционным звеном (см. Приложение №1).
Дано:
W3(p)=k3/(T3∙p+1); k3=2; T3=0,02; w=0..10000.
Решение:
Переходим от оператора Лапласа по частоте:
W3(i∙w)=k3/(T3i∙w+1).
(8)
Из выражения (8) находим Реальную часть (Re(w)) и Мнимую часть (Im(w)):
Reчаст.1(w)= k3,
Imчаст.1(w)= 0.
Reзнам.2(w)= 1,
Imзнам.2(w)= T3∙w.
Находим A(w)–АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) и φ(w)–ФЧХ
(фазочастотная характеристика) для третьего звена:
A3(w)= Aчаст.(w) / Aзнам.(w).
Aчаст.(w)=√ Reчаст.1(w)2+ Imчаст.1(w)2 = √k32+02=√k32= k3,
Aзнам.(w)=√ Reзнам.2(w)2+ Imзнам.2(w)2 =√12+T32∙w2.
A3(w)= k3 / (√12+T32∙w2).
A3(0)= 2 / (√12+0,022∙02)=2.
A3(10000)= 2 / (√12+0,022∙100002)=10 ∙ 10-3.
φ3(w)= φчаст.(w) – φзнам.(w).
φчаст.(w)=arctg[Imчаст.1(w) / Reчаст.1(w)]=arctg(0 / k3)=arctg(0)=0,
φзнам.(w)=arctg[Imзнам.2(w) / Reзнам.2(w)]=arctg(T3∙w /
1)=arctg(T3∙w).
φ3(w)= 0 – arctg(T3∙w).
φ3(0)= 0 – arctg(0,02∙0)= 0 – arctg(0)= 0.
φ3(10000)= 0 – arctg(0,02∙10000)= 0 – arctg(200)= - 1,566.
По полученным АЧХ и ФЧХ строим АФХ (амплитудно-фазовая характеристика).
Пропорциональное звено
Четвёртое звено, входящее в данную систему W4(p)=k4 является пропорциональным
звеном (см. Приложение).
Дано:
W4(p)=k4; k3=3; w=0..10000.
Решение:
Переходим от оператора Лапласа по частоте:
W4(i∙w)=k4.
(9)
Из выражения (9) находим Реальную часть (Re(w)) и Мнимую часть (Im(w)):
Re(w)= k4,
Im(w)= 0.
Находим A(w)–АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) и φ(w)–ФЧХ
(фазочастотная характеристика) для четвёртого звена:
A4(w)=√ Re(w)2+ Im(w)2 = √k42+02=√k42= k4.
A4(0)=3.
A4(10000)=3.
φ4(w)=arctg[Im(w) / Re(w)]=arctg(0 / k4)=arctg(0)=0.
φ4(0)=0.
φ4(10000)=0.
По полученным АЧХ и ФЧХ строим АФХ (амплитудно-фазовая характеристика).
Колебательное звено
Третье звено, входящее в данную систему W5(p)=k5/(T5p+1) является колебательным
звеном (см. Приложение №1).
Дано:
W5(p)=k5/(T5∙p+1); k5=2; T5=0,1; w=0..10000.
Решение:
Переходим от оператора Лапласа по частоте:
W5(i∙w)=k5/(T5i∙w+1).
(8)
Из выражения (8) находим Реальную часть (Re(w)) и Мнимую часть (Im(w)):
Reчаст.1(w)= k5,
Imчаст.1(w)= 0.
Reзнам.2(w)= 1,
Imзнам.2(w)= T5∙w.
Находим A(w)–АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) и φ(w)–ФЧХ
(фазочастотная характеристика) для третьего звена:
A3(w)= Aчаст.(w) / Aзнам.(w).
Aчаст.(w)=√ Reчаст.1(w)2+ Imчаст.1(w)2 = √k52+02=√k52= k5,
Aзнам.(w)=√ Reзнам.2(w)2+ Imзнам.2(w)2 =√12+T52∙w2.
A3(w)= k5 / (√12+T52∙w2).
A3(0)= 2 / (√12+0,012∙02)=2.
A3(10000)= 2 / (√12+0,012∙100002)= 1,9 ∙ 10-2.
φ3(w)= φчаст.(w) – φзнам.(w).
φчаст.(w)=arctg[Imчаст.1(w) / Reчаст.1(w)]=arctg(0 / k5)=arctg(0)=0,
φзнам.(w)=arctg[Imзнам.2(w) / Reзнам.2(w)]=arctg(T5∙w /
1)=arctg(T5∙w).
φ3(w)= 0 – arctg(T5∙w).
φ3(0)= 0 – arctg(0,01∙0)= 0 – arctg(0)= 0.
По полученным АЧХ и ФЧХ строим АФХ (амплитудно-фазовая характеристика).
Находим результирующие АЧХ и ФЧХ всей системы.
Арезул.(w)= A1(w)∙A2(w)∙A3(w)∙A4(w),
(10)
Арезул.(w)=[k1/(√12+T12∙w2)]∙[k2/(√T22∙w2)]∙[k3/(√12+T32∙w2)]∙[k4]
∙[k5/(T5i∙w+1)].
Арезул.(0) = [1] ∙ [1] ∙ [2] ∙ [3] [2]= 6.
Арезул.(10000) = [2∙10-3] ∙ [1∙10-4] ∙ [10∙10-3]
∙ [3] [1,9 ∙ 10-2]= 1,14∙10-12 .
φрезул.(w)= φ1(w)+φ2(w)+φ3(w)+φ4(w),
(11)
φрезул.(w)= [0 – arctg(T1∙w)]∙[ 0 – arctg(T2∙w)]∙[0
– arctg(T3∙w)]∙[arctg(0)].
φрезул.(0)= [0]+[0]+[0]+[0] = 0.
φрезул.(10000)= [-1,569]+[-1,57 ]+[-1,566]+[0]+[0] = -4,703.
Строим АФХ всей системы по результирующим АЧХ и ФЧХ (Приложение №6).
Исследуем АФХ всей системы на устойчивость.
Решим систему уравнений:
Арезул.(w)= √ Re(w)2 + Im(w)2,
(12)
φрезул.(w)=arctg( Im(w) / Re(w) ).
(13)
Решив данную систему, получим:
Re(w) = √ Арезул.(w) / [(1+tg (φрезул.(w))2) ½],
(14)
Im(w) = √ [tg (φрезул.(w))∙Арезул.(w)] / [(1+tg
(φрезул.(w))2) ½]. (15)
Строим АФХ устойчивости всей системы в приложении.
Примеры типовых звеньев входящие в данную систему
Инерционные звенья могут описывать процессы не только в схемах с постоянными
параметрами, но и с модуляцией. Так, инерционным звеном может быть описан
резонансный усилитель, структурная схема которого показана в приложении №8.
Найдём переходную функцию системы как сигнал на выходе y(t) при сигнале на входе
x(t)=I0(t).
Сигнал после модуля М
x1= I0(t) sinω0t,
(14)
а напряжение на выходе усилителя
u2(t)=k I0(t) sinω0t.
(15)
Переходный процесс при включении этого напряжения в цепь L, C, r рассматривается
в курсе электротехники. Если контур настроен в резонанс, т.е. 1/√LC=ω0,
и r<<√L/C, то напряжение на сопротивлении r
x2=k (1-e-βt) I0(t) sinω0t.
(16)
Это выражение можно получить, рассматривая решение как сумму свободной и
вынужденной составляющих:
x2пер=e-βt(Asinω1t+Bcosω1t);
(17)
x2вын=ksinω0t.
(18)
Здесь β=L/2r, а ω1=√ω02 – β2≈ω0 при
β<<ω0.
Произвольные постоянные А≈-k и В=0 находятся из условий: x(0)=0 и
dx2/dt (0)=0.
Напряжение y на выходе демодулятора ДМ после выпрямления x2 представляет собой
переходную функцию инерционного звена:
h(t)=k(1 – e-β t)I0(t).
(19)
При этом предполагается, что составляющие с частотами ω>ω0 сглаживаются
фильтром демодулятора.
Таким образом, в диапазоне частот при ω<<ω0 резонансный усилитель может
рассматриваться как инерционное звено.
Самым простым является пропорциональное звено, выходная величина которого прямо
пропорциональна входной величине. Уравнение такого звена:
у=k∙х,
(20)
где k – коэффициент передачи (усилия) звена.
Примерами такого звена (приложение) являются: делитель напряжения (а), усилитель
постоянного тока (б), рычажная передача (в), редукторная передача (г) и др.
Предлагается, что передача сигнала от входа к выходу, производится мгновенно без
какой – либо инерции. Поэтому пропорциональные звенья называются безынерционными.
Если на вход пропорционального звена подать синусоидальный сигнал
x=Xm∙sinωt,
(21)
то на выходе появится сигнал
y=Ym∙sinωt,
(22)
где Ym=k∙Xm.
(23)
В комплексной форме
Y(iω)=k∙X(iω).
(24)
Комплексный коэффициент передачи
W(iω)=Y(iω)/X(iω)=k.
(25)
Годограф комплексного коэффициента передачи W(iω) при 0<ω<∞ имеет
вид точки, сдвинутой на расстояние k от нуля по вещественной оси (приложение).
Принятое описание связи между входом и выходом соответствует идеальному звену, а
для реального звена справедливо только при частотах, меньших определённой
(верхней) величины ωВ. При более высоких частотах принятое математическое
описание звена перестаёт быть справедливым и коэффициент передачи за счет малых
неучтенных параметров снижается до нуля. Для делителя напряжения (см. приложение,
а) таким малым параметром может являться ёмкость выходных проводов; для усилителя
(см. приложение, б) - распределённые ёмкости и индуктивности цепи; для
механической передачи (см. приложение, в и г) – упругость рычагов и валов. Поэтому
при возрастании ω до бесконечности коэффициент усиления любого реального
звена снижается до нуля и годограф коэффициента при ωВ<ω<∞ имеет
вид графика, показанного в приложении (а) штриховой линией. Однако в системах
автоматического управления обычно рассматривается диапазон сравнительно низких
частот, для которых ω<ωВ, при этом все устройства могут быть отнесены к
категории пропорциональных (безынерционных) звеньев, а годограф коэффициента
передачи имеет вид точки k. Соответствующие амплитудно-частотные и фазо-частотные
характеристики показаны в приложении (б и в).
В дальнейшем под пропорциональным будет понимать токае идеальное звено, в котором
постоянство коэффициента передачи может быть принято во всём диапазоне частот
0<ω<∞.
Переходя от коэффициента усиления к передаточной функции
W(p)=k,
(26)
а затем к переходной и весовой функциям, получаем
h(t)=k∙I0(t);
(27)
ω(t)=k∙δ(t).
(28)
Графическое изображение переходной и весовой функций пропорционального звена
показано в приложении (г и д). Обе эти функции соответствуют идеальному
пропорциональному звену. Реальные же звенья, схемы которых приведены в приложении,
имеют характеристики, только приближенно описываемые этими графиками. Отклонение
реальных характеристик от идеальных показано штриховой линией (см. приложение).
В ряде систем автоматического управления применяются усилители переменного тока с
модуляцией и демодуляцией или фазовым детектированием, в которых несущая частота
модуляции значительно выше, чем наибольшая частота входного сигнала. Такие схемы
дают возможность получать стабильную работу при больших коэффициентах усиления.
Структурная схема усилителя с модулем М и демодулятором ДМ показаны в приложении.
При частотах сигнала много меньших, чем несущая частота ω0, такие усилители
могут быть отнесены к категории колебательных; при этом к ним применимы все
характеристики, приведённые в приложении для идеальных колебательных звеньев.
Заключение
В данной курсовой работе мы рассмотрели типы звеньев входящую в данную линейную
систему автоматического управления, а так же исследовали её на устойчивость. Где
W1(p), W2(p) и W3(p) являются инерционными звеньями, а W4(p) – пропорциональным
звеном.
Исследование, линейной системы автоматического управления на устойчивость и
построив годографы, показало, что она более устойчива.
А также привели примеры к инерционным и пропорциональным звеньям.
Приложения:
Линейная система автоматического управления.
Пример инерционного звена:
Структурная схема резонансного усилителя.
Пример пропорционального звена:
Схемы примеров пропорционального звена.
Графики примеров пропорционального звена.
Пример колебательного звена:
Структурная схема усилителя с модулем М и демодулятором ДМ.
Список используемой литературы
1. Нитушило А.В. Теория автоматического управления. – М., 1999.
2. Ротач В.В. Теория автоматического управления. – М., 1995.
3. Теория автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова. - М.: Высшая школа.
-1977.-Ч.I.-304с.
4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. - М.:
Наука, 1974.
5. Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. – М.: “Энергия”, 1967.
6. Гальперин М.В. Автоматическое управление. М.: «Форум: ИФРА-М», 2004, 224с.
7. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. –
832с.: ил.
8. Соломенцев Ю.М. Теория автоматического управления. М.: «Высшая школа», 1999,
270с.
9. Чипурнов А.И. Судовая электроавтоматика. М.: «Транспорт», 1984, 240с.
10. Чиликин М.Г. Общий курс электропривода. М.-Л.: ГЭИ, 1961. 472с.
|
