в
начале ряда рассчитывается по формуле 24 :
[pic]. (24)
Для последней точки расчет симметричен .
При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):
[pic] (25)
Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью
симметричен сглаживанию в двух начальных точках .
Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности ,
следующим образом (формула 26):
для 3--членной [pic] . (26)
3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной
проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления .
Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только
от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают
наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат
действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней
ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют
действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В
результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:
[pic] ,
(27)
где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;
[pic] -- случайное и циклическое отклонение от тенденции.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является
определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по
имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а
затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают
таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого
процесса .
Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :
линейная [pic] ;
параболическая [pic];
экспоненциальная [pic]
или [pic]).
1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном
временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и
цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к
снижению.
2) Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные
приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но
абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности
второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном
ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост
(устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов
роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость
в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста
цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же
коэффициентов или темпов роста и т.д.).
Оценка параметров ([pic]) осуществляется следующими методами :
1) Методом избранных точек,
2) Методом наименьших расстояний,
3) Методом наименьших квадратов (МНК)
В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов ,
который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических
уровней от выравненных :
[pic].
Для линейной зависимости ([pic]) параметр [pic] обычно интерпретации
не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень
ряда ; [pic]-- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько
изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом ,
[pic]можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .
Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это
делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень ([pic]) ,
вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным)
значением :
[pic] , (28)
где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;
n -- число уровней ряда ;
Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :
[pic]
(29)
[pic] (30)
[pic] (31)
[pic]сравнивается с[pic] при [pic] степенях свободы и уровне
значимости ( (обычно ( = 0,05). Если [pic]>[pic], то уравнение регрессии
значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной
тенденции.
4 Анализ сезонных колебаний
Уровень сезонности оценивается с помощью :
1) индексов сезонности ;
2) гармонического анализа.
Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень
ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня ,
вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни
временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного
или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный
индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов
каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень существу ,
относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо
средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения
индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .
Если тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала)
индекс рассчитывается по формуле 32:
[pic]
(32)
где [pic]-- уровень показателя за месяц (квартал) t ;
[pic]-- общий уровень показателя .
Как отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно
взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по
формулам 33 :
[pic] (33)
где [pic] -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за
ряд лет ;
Т -- число лет .
При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов ,
исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий :
1) для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);
2) рассчитывают отношения [pic];
3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных
месяцев (кварталов) по формуле 34 :
[pic],(Т -- число лет). (34)
Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический
анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность
гармонических колебательных процессов .
Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде
формулы 35 :
[pic] (35)
при t = 1, 2, 3, ... , Т.
Здесь [pic] -- фактический уровень ряда в момент (интервал)
времени t;
f(t) – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t
[pic] -- параметры колебательного процесса (гармоники) с
номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения
от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .
Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда ,
состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом
наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по
формулам 36 –38 :
1) [pic];
(36)
2) [pic]
(37)
[pic] при n=1,2,...,(T/2 – 1);
3)[pic] (38)
4 Анализ взаимосвязанных рядов динамики .
В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более
рядов их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных
уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по
темпам роста или прироста .
Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста
(цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста
(также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и
коэффициенты опережения по темпам прироста .
Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при
изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих
тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими
неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно
следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого
провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование
включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и
установление связи между признаками .
Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от
предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию
Дарбина – Уотсона (формула 39) :
[pic] ,
(39)
где [pic]-- отклонение фактического уровня ряда в точке t от
теоретического (выравненного) значения .
При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2
автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная
автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию
необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .
1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных
рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :
[pic]
(40)
Далее выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из
отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :
[pic]
(41)
Для последовательностей [pic] выполняется проверка на автокорреляцию
по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд
отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то
по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :
[pic]
(42)
Более полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа
автокорреляционной функции , когда определяются число параметров ([pic]) и
соответствующие этим параметрам величины шагов .
Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :
[pic] (t = 1, ... , Т) (43)
и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :
[pic].
(44)
2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У
переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :
[pic]
(45)
По (Х и (У определяют по формуле 46 направление и силу связи в
регрессии:
[pic] (46)
3. Включение времени в уравнение связи : [pic].
В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула
47):
[pic]
(47)
Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым
является второй , однако более эффективен первый .
|
