Алгебра и Начало анализа - Математика - Скачать бесплатно
|Алгебра и начала анализа. |
|[pic]1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и |Отве|
|график. |т |
|[pic]3. Функция y = k/x, её свойства и график, график |Отве|
|дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре). |т |
|[pic]4. Показательная функция y = ax, её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]6. Функция y = sin(x), её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]7. Функция y = cos(x), её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]8. Функция y = tg(x), её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]9. Функция y = ctg(x), её свойства и график. |Отве|
| |т |
|[pic]10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве|
|арифметической прогрессии. |т |
|[pic]11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве|
|геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей |т |
|геометрической прогрессии. | |
|[pic]12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, |Отве|
|sin(x) < a. |т |
|[pic]13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, |Отве|
|cos(x) < a. |т |
|[pic]14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) <|Отве|
|a. |т |
|[pic]15. Формулы приведения (с выводом). |Отве|
| |т |
|[pic]16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов|Отве|
|(с доказательством). |т |
|[pic]17. Тригонометрические функции двойного аргумента. |Отве|
| |т |
|[pic]18. Тригонометрические функции половинного аргумента. |Отве|
| |т |
|[pic]19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с |Отве|
|доказательством). |т |
|[pic]20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.|Отве|
| |т |
|[pic]21. Логарифм произведения, степени, частного. |Отве|
| |т |
|[pic]22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический |Отве|
|смысл. |т |
|[pic]23. Правила вычисления производной. |Отве|
| |т |
1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа,
называется линейной.
2. Областью определения линейной функции служит множество R всех
действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых
значениях х.
3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения
графика, очевидно, достаточно двух точек, если k [pic]0.
4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с
положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым
коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой;
если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного
переноса графика функции y = kx.
[pic]
Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно
задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b
и с - некоторые числа, причем а [pic]0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х [pic]0, то y > 0. График функции расположен в верхней
полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- [pic]; 0] и возрастает в промежутке [0;
+ [pic]).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции [0; + [pic]).
Свойства функции y = ax2 при а < 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х [pic]0, то y < 0. График функции расположен в нижней
полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + [pic]) и возрастает в промежутке (-
[pic]; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции (- [pic]; 0].
И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой
является точка (m; n), где m = [pic], n= [pic]. Осью симметрии параболы
служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы
направлены вверх, при a < 0 - вниз.
[pic]
Ответ 3
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость
выражается формулой [pic], где [pic]- коэффициент обратной
пропорциональности.
1. Область определения функции [pic]- есть множество всех чисел, отличных
от нуля, т. е. [pic].
2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая
из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая
кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены
в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV
координатных четвертях.
3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь
сколь угодно близко к ним приближается.
[pic]
№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое
положительное число, не равное еденице, называется показательной.
1. Функция y = ax при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х < 0, то 0< ax <1;
2. Функция y = ax при 0< а <1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< ax <1;
е) если х < 0, то ax > 1.
[pic][pic]
№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической
функцией с основанием а.
Свойства функции y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0< 0;
е) если x > 1, то loga x > 0.
Свойства функции y = loga x при 0< x < 1, то loga x > 0;
е) если x > 1, то loga x < 0.
[pic]
№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего
острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin
[pic]).
1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех [pic];
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. sin(x) = 0 при x = [pic];
6. sin(x) > 0 для всех [pic];
7. sin(x) < 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic];
9. функция убывает на [pic].
[pic]
№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к
острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается
cos [pic])
1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех [pic];
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. cos(x) = 0 при [pic];
6. cos(x) > 0 для всех [pic];
7. cos(x) > 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic];
9. функция убывает на [pic]
[pic]
№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом
(обозначается tg [pic]).
1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида[pic];
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. tg(x) = 0 при х = [pic];
6. tg(x) > 0 для всех [pic];
7. tg(x) < 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic].
[pic]
№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется
котангенсом (обозначается ctg [pic])
1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида [pic];
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. ctg(x) = 0 при x = [pic];
6. ctg(x) > 0 для всех [pic];
7. ctg(x) < 0 для всех [pic];
8. функция убывает на [pic].
[pic]
Ответ № 10
1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,
называется арифметической прогрессией.
2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между
любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.
е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется
разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать
ее первый член а1 и разность d.
4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то
такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то
убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все
ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной
последовательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и
только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является
средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
[pic](1)
6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-
1). (2)
7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
[pic](3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2),
то получим соотношение [pic]
9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an
= a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов
прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а
каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,
умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется
геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого
ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 =
b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется
знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно
знать ее первый член b1 и знаменатель q.
4. Если q > 0 ([pic]), то прогрессия является монотонной
последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда
геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая
последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между
собой. В этом случае прогрессия является постоянной
последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и
только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее
геометрическое соседних с ним членов, т. е. [pic](1)
6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: [pic](2)
7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
[pic], [pic](3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2),
то получится соот-ношение. [pic], [pic](4)
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn
= b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов
прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической прогресси при [pic]
1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где [pic]и
[pic]. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель
которой удовлетворяет условию [pic], называется предел суммы n первых
ее членов при [pic].
2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда
верна формула [pic].
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]
Частные случаи:
2. sin(x) = 0, x = [pic]
3. sin(x) = 1, x = [pic]
4. sin(x) = -1, x = [pic]
5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где [pic], имеет вид: x=
[pic]
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком
тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство
монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их
знакопостоянства.
3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
(sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =
sin(x).
sin(x) = 0 если х = [pic];
sin(x) = -1, если x = [pic]>;
sin(x) > 0, если [pic];
sin(x) < 0, если [pic].
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].
2. Частные случаи:
cos(x) = 1, x = [pic];
cos(x) = 0, [pic];
cos(x) = -1, x = [pic]
3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,
cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
cos(x);
2. Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если [pic];
cos(x) = -1, если x = [pic];
cos(x) = 1, если x = [pic];
cos(x) > 0, если [pic];
cos(x) > 0, если [pic].
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: [pic].
2. Частные случаи:
tg(x) = 0, x = [pic];
tg(x) = 1, [pic];
tg(x) = -1, [pic].
3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,
tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
tg(x).
2. Важно знать, что:
tg(x) > 0, если [pic];
tg(x) < 0, если [pic];
Тангенс не существует, если [pic].
№ 15
1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых
значения тригонометрических функций аргументов [pic], [pic], [pic],
[pic], выражаются через значения sin [pic], cos [pic], tg [pic]и ctg
[pic].
2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|Функция|Аргумент [pic] |
|[pic] |
|
