ЗМІСТ
Вступ. 3
Розділ 1. Поняття  напівпровідників. 4
Розділ 2. Рівняння Шредінгера для кристала. 7
Розділ 3.   Зонний характер енергетичних спектрів електронів в кристалі.  Адіабатичне та одноелектронне наближення.   Наближення  сильнозв’язаних  електронів. 9
Розділ 4. Зони Бріллюена. 16
4.1. Поняття про зони Бріллюена 16
4.2. Приведені зони 18
4.3. Ефективна маса електрона 19
4.4. Енергетична будова алмазоподібних напівпровідників. 21
Розділ. 5. Заповнення зон електронами та електричні властивості   напівпровідників. 24
Розділ 6.  Діркова  провідність  напівпровідників 27
Розділ  7. Домішкові рівні у  напівпровідниках. 29
7.1. Донорні рівні 29
7.2. Акцепторні рівні 32
7.3. Рівні прилипання 33
6. 4. Глибокі домішкові рівні 34
Висновки. 36
Список використаної літератури. 37

 

 

 

 

 

                                                                                                                                       
Вступ.

Сьогодні,  коли  виробництво  напівпровідників  стало  окремою  галуззю  промисловості  і  сьогодні, коли  напівпровідники  все  в  більшій  мірі  визначають  рівень  прогресу  в  таких  галузях  як  радіоелектроніка,  обчислювальна  техніка,  зв'язок,  автоматизація  виробництва,  знання  фізики  напівпровідників  стає  потребою  не  тільки  фахівців  у  даній  галузі, але  і  більш  широкого кола  людей.   Вимоги  промисловості  та  техніки  стимулюють  у  наш  час  розвиток  науки  і  фізики  напівпровідників  зокрема.  За  п’ятдесят  років  свого  розвитку  фізика  напівпровідників  та  промисловість  із  нею  пов’язана,  пройшла  великий  шлях,  від  перших  діодів  до  мікросхем.  У  мікросхемі  1965  року  випуску  було  30  транзисторів, тоді  як  сьогодні  чип  Radeon  HD 3870  містить  660 мільйонів  транзисторів.
Для  створення  напівпровідникових  виробів  потрібно  мати  розвинуту   промисловість,  адже  потрібно  виготовляти  чисті  кристали  кремнію  та  германію,  вміст  домішок  у  яких  буде  надзвичайно  малим  ( до 10-10 ).  Довгий  час  це  було  неможливо.  Потрібно  вміти  вводити  в  кристали  кремнію  точно  дозовані  кількості  домішок,  тощо.  Але  все  це  було  б  неможливим  без  знання  внутрішньої  будови  напівпровідників.  Фізика  напівпровідників  саме  і  вивчає  будову  напівпровідників,  вона  встановила  певні  загальні  принципи  їх  функціонування,  тощо.
Завданням  даної  роботи буде  встановити  внутрішню  будову  напівпровідників  та  пояснити  на  основі  внутрішньої  будови  їх  властивості.
 
      

 

Розділ 1. Поняття  напівпровідників.

Всі речовини в природі по електрофізичних властивостях можуть бути розділені на три великі класи: метали, напівпровідники і діелектрики. Найпростіше, здавалося б, класифікувати речовини по питомому електричному опору. У металів він знаходиться в межах 10-6 – 10-4 Ом см (наприклад, питомий опір срібла при кімнатній температурі складає 1,58 10-6 Ом см, сплав ніхром має питомий опір 1,05 10-4 Ом см). Речовини з питомим опором від 10-4 до 1010 Ом см були віднесені до напівпровідників (наприклад, питомий опір сірчистого кадмію при кімнатній температурі залежно від технології його виготовлення лежить в межах від 10-3  до 1012 Ом см, а германію – від 10-4 до 47 Ом см). Нарешті, речовини з питомим опором більше 1010 Ом см вважаються діелектриками (наприклад, при 200°С питомий опір слюди залежно від її складу має 1013 – 1016Ом см, скла –                      10 8 – 1015 Ом см).
З наведених прикладів видно, що при переході від одного класу речовини до іншого значення питомого опору перекриваються. Тому питомий опір не може служити як однозначний критерій для класифікації речовин. Однак при знятті температурних залежностей питомого опору розходження між металами й напівпровідниками часто проявляється досить чітко.
Для напівпровідників характер температурної залежності питомого опору і провідності інший. Для деякого інтервалу температур ці залежності мають вигляд:
     (1.1),
    (1.3),
де    - деякі постійні для даного інтервалу температур величини, характерні для кожної напівпровідникової речовини.
Такі залежності питомого опору і провідності від температури мають так звані не вироджені напівпровідники. Для них, як видно з графіка температурної залежності питомої провідності, наведеного  на  рисунку 1.1. характерна наявність позитивного температурного коефіцієнта питомої провідності, тобто:
 >0,    (1.3)
 
Рис. 1.1. Зміна питомого опору кремнію залежно від температури.
Отже, напівпровідники – це  такі речовини, які при кімнатній температурі  мають  питому провідність в інтервалі від 10-10 до 104 См                        (Ом -1 см -1), залежну в значній  мірі від структури речовини, вигляду і кількості домішок і від зовнішніх умов: температури, тиску, освітлення, опромінювання ядерними частинками, електричного і магнітного полів.
Згідно цьому визначенню між напівпровідниками і діелектриками не існує принципової якісної відмінності, бо вони володіють провідністю тільки унаслідок теплового збудження носіїв заряду. Більш різні за своєю природою метали і напівпровідники. У металів провідність слабо залежить від присутності домішок, зовнішніх умов і при будь-якій температурі концентрація вільних електронів залишається постійною і складає величину порядку 1022 см-3. Відмінність між металами і напівпровідниками виявляється і в тому, що при проходженні струму через ланцюг, що складається з двох напівпровідників, сила струму нелінійно залежить від прикладеної до ланцюга різниці потенціалів.
Напівпровідникові речовини також можуть бути як електронними, так і іонними.
До електронних напівпровідників відноситься величезна кількість самих різних речовин. Напівпровідниками є як прості речовини: бор В, вуглець С, кремній Si, фосфор Р, сірка α-S, германій Ge, миш'як As, сіре олово α-Sn, сурма β-Sb, селен Se (червоний), теллур Тe, йод J, так і багато складних хімічних сполук.
Окрім неорганічних речовин напівпровідниковими властивостями володіють також і деякі органічні речовини, такі, як фталоцианіни і поліциклічні ароматичні вуглеводні (наприклад, бензол, нафталін, антрацен, нафтацен і ін.).

 

 

  

 

Розділ 2. Рівняння Шредінгера для кристала.

Тверде тіло, як відомо, складається з атомів, тобто з ядер атомів і електронів. Ядра атомів утворюють кристалічну решітку, яка володіє властивістю просторової періодичності. При накладанні зовнішнього електричного поля решітка практично не деформуються, хоча ядра атомів і заряджені. Це відбувається тому, що сили, що утримують ядра атомів у вузлах кристалічної решітки, звичайні значно більше тих сил, які створюються зовнішніми електричними полями. Ті з електронів, які не знаходяться близько до ядра атома і тому до нього не дуже сильно притягуються, можуть пересуватися по твердому тілу, створюючи електричний струм. Проте при кількісному описі цього явища виникають серйозні труднощі. Вони пов'язані з тим, що електрони є зарядженими частинками і при своєму русі по твердому тілу зустрічаються з іншими електронами. Але оскільки між електронами діють електричні сили відштовхування, той рух електрона виявляється залежним від руху електронів, що оточують його. Іншими словами, в даному випадку треба вирішувати не одноелектронну, а багатоелектронну задачу. Тому для визначення стаціонарних станів і енергетичного спектру сукупності більшого числа атомних ядер і електронів в кристалі потрібно розвязати рівняння Шредінгера:
З урахуванням  цих складових гамільтоніана рівняння  Шредінгера прийме  вигляд:
              Число незалежних змінних в рівнянні визначається повним числом частинок в кристалі, які в 1 см3 речовини складають величину порядка 1023. Таке завдання в даний час не може бути вирішена в загальному вигляді. Можливе лише наближене рішення задачі, яке досягається  за допомогою ряду послідовних наближень.

 

 

  Розділ 3.  Зонний характер енергетичних спектрів електронів в кристалі.  Адіабатичне та одноелектронне наближення.   Наближення  сильнозв’язаних  електронів. 

Розділимо всю систему частинок на легкі (електрони) і важкі (атомні ядра). У рівноважному стані середні значення кінетичної енергії цих частинок одного порядку. Оскільки маса ядра набагато більше маси електрона, тобто   Мα >>  m0, то швидкості руху електронів набагато перевершують швидкості ядер (приблизно на два порядки). При кожній зміні положення атомних ядер практично миттєво встановлюється просторовий розподіл електронів, відповідний новому положенню ядер. Це дозволяє в першому наближенні розглядати рух електронів в потенційному полі фіксованих ядер. В цьому випадку хвилева функція і енергія електронів будуть деякими функціями, адіабатично змінними із зміною розташування ядер, координати яких входитимуть в ці функції як параметри. При вивченні руху ядер, навпаки, слід враховувати не миттєве положення електронів, а поле, що створюється їх середнім просторовим розподілом. Такий наближений розгляд називається адіабатичним, або наближенням Борна - Оппенгеймера.  Скористаємося найбільш грубим наближенням, вважаючи, що ядра нерухомі. Для цього випадку координати ядер R1,…, RN  вже незмінні координати вузлів кристалічної решітки. Для випадку ядер, що нерухомі, коли Rα = Rαо, кінетична енергія ядер обертається в нуль, а енергія їх взаємодії Vo приймає постійне значення. Вибором початку відліку енергії її можна перевести в нуль. З урахуванням цього рівняння спрощується і тепер описує рух електронів в полі ядер, які  нерухомі. В результаті рівняння Шредінгера для електронів, рухомих в полі ядер,  запишеться у вигляді:  
    (3.1)
Для подальшого скорочення числа змінних в рівнянні  використовується валентна апроксимація. Приймається, що всі електрони атома, окрім валентних, разом з ядром утворюють нерухомий атомний залишок (іон). При цьому рівняння записується тільки для валентних електронів, рухомих в потенціальному полі фіксованих іонів.
Не дивлячись на проведені спрощення, рівняння (3.1) не може бути вирішене в загальному вигляді: як і раніше ми маємо справу із завданням багатьох частинок, непіддатливим безпосередньому рішенню. 
Одним з найбільш поширених методів рішення багатоелектронної задачі для кристалів є метод Хартрі-Фока, що дозволяє багатоелектронне завдання звести до одноелектронного. Його ідея полягає в тому, що енергія попарної взаємодії електронів замінюється взаємодією кожного електрона з усередненим полем  решти всіх електронів. Нехай  потенційна енергія 1-го електрона в цьому полі буде   .Вона залежить не тільки від руху решти всіх електронів, але залежить і від руху даного електрона, оскільки його рух  впливає на рух решти електронів. Оскільки поле визначає не тільки рух даного електрона, але і само залежить від його руху, то це поле отримало назву самоузгодженого. Введення самоузгодженого поля дозволяє в рівнянні подвійну суму ½  замінити   сумою  , кожен член якої залежить від координат одного електрона, тобто: 
     (3.2)
В цьому випадку Q(t)  є потенційна енергія 1-ro електрона в полі решти всіх електронів.  Аналогічно потенційну енергію взаємодії електронів з ядрами можна також представити у вигляді суми
    (3.3)
де Ui(ri) - потенційна енергія i-ro електрона в полі всіх ядер.  Тому  остаточно  рівняння (3.1)  модна  записати  у  вигляді:
      (3.4)
Із співвідношення видно, що гамільтоніан кристала є сумою гамільтоніанів, кожен з яких залежить від координат однієї частинки. Для цього випадку хвильова функція системи частинок може бути представлена як добуток хвильових функцій, що описують стан окремих частинок системи:
    (3.5) 
що означає, що електрони поводяться незалежно один від одного (як би не взаємодіючи), а повна енергія системи частинок рівна сумі енергії окремих електронів:
Ее = Е1 + Е2 + ….+Еп =      (3.5)
Таким чином, введення самоузгодженого поля дозволяє розглядати електрони в кристалі як частинки, що не взаємодіють, тобто що рухаються незалежно один від одного. Це і є підставою для уявлення електронів провідності у вигляді ідеального газу.
Введення самоузгодженого поля дозволяє завдання багатьох частинок звести до завдання для одного  електрона: 

Якщо ввести позначення для потенційної енергії електрона в кристалі через функцію V (г), рівну:     ,  то рівняння Шредінгера для електрона кристала запишеться у вигляді:
    (3.7)
Отже, стаціонарна хвилева функція електрона в періодичному полі кристала залежить від хвильового вектора до і має вигляд:
  (3.8)
де   є плоскою хвилею, що біжить у напрямі вектора k, а U(r) - деяка функція координат, залежна від хвильового вектора  k і має періодичність  кристалічної гратки. Вираз  для   носить назву хвилі (або функції) Блоха.
Якщо функцію Блоха підставити в рівняння, то матимемо:
    (3.9)
З рівності виходить, що енергія електрона в кристалі повинна залежати від хвилевого вектора до, тобто Е = Е (k).
Отже, вирішенням рівняння Шредінгера для електрона в періодичному полі кристала є плоска хвиля, що біжить, модулюється з періодичністю решітки, а енергія електрона залежить від хвилевого вектора k.
Якби отримані результати на основі введення самоузгодженого поля залежали від чисельного значення потенціалу періодичного поля V (г), то в даний час, мабуть, не існувало б такої теорії твердого тіла, оскільки поля ці невідомі і не можуть бути визначені ні теоретично, ні експериментально. Проте для того, щоб отримати фундаментальні результати теорії, немає необхідності знати чисельні значення силових полів, достатньо лише знати, що це поле періодичне в просторі і що його періоди співпадають з періодами решітки.
Розглянемо, що відбувається з енергетичними рівнями при взаємодії великого числа атомів, утворюючих кристал. Рівні енергії внутрішніх електронів, розташованих ближче до ядра, при цьому майже не змінюються. Про це можна судити по рентгенівських характеристичних спектрах, вид яких майже не залежить від сполуки або агрегатного стану речовини. Проте оптичний спектр, обумовлений переходом самих зовнішніх еквівалентних електронів, різко змінюється.
Якщо вважати, що кінетична енергія електронів значно більше просторових змін його потенційній енергії, то періодичний потенціал V (r) можна розглядати як мале збурення вільного руху електронів. Такий підхід, що отримав назву наближення майже вільних електронів, дає більш менш задовільні результати при вирішенні деяких завдань для металів.
Аналіз фізичних властивостей напівпровідників наочніший в наближенні сильно зв'язаних електронів, в якому вважають, що розміщення електрона в кристалі мало відрізняється від розміщення його в ізольованому атомі. Але такий підхід застосовний тільки для електронів, що знаходяться на глибоких енергетичних рівнях атомів, тобто він застосовний для електронів, які слабо взаємодіють з атомами інших вузлів гратки. Тому наближення ні слабо, ні сильно зв'язаних електронів не дозволяють кількісно описати розміщення валентних електронів в кристалі. Іншими словами, ці наближення не можуть бути використані для кількісних розрахунків енергетичного спектру електронів конкретної речовини, але вони добре ілюструють загальні закономірності руху електрона в періодичному полі кристала.  Тому хвилеву функцію електрона в кристалі можна представити у вигляді лінійної комбінації атомних хвилевих функцій :
  (3.10)
Тому вираз для енергії електрона в періодичному полі простої кубічної  решітки  прийме вигляд:
   (3.11)
Аналіз даного виразу дозволяє зробити ряд висновків щодо енергетичного спектру електронів в кристалах.
1. Рівень Еα ізольованого атома при утворенні кристалічної решітки в результаті взаємодії атомів зміщується на величину С. Направлення зміщення рівня залежить від знаку величини С.
2. Атомний рівень в кристалічній решітці розщеплюється в смугу або зону, усередині якої енергія електрона періодично залежить від компонент хвильового вектора k.
3. Екстремальне значення виразу, яке має місце при cos kia = ± 1(i=x,  y, z), будуть
Емакс=Ea+ C + 6A;
Емін=Ea+ C - 6A.
Отже, для простої кубічної  решітки ширина енергетичної зони рівна:
Емакс - Емін = 12А,  тобто залежить від величини обмінного інтеграла.
4. Кожен енергетичний рівень ізольованого атома в кристалі розщеплюється в зону. Оскільки величина обмінного інтеграла визначається перекриттям електронних хмар сусідніх атомів, то, чим сильніше перекриваються хвильові функції атомів, тим більше величина А а, отже,  і  ширина енергетичної зони. Через це для вищих атомних рівнів із-за більшого перекриття хвильових функцій утворюється ширша енергетична зона (мал. 2-3).
5. Енергетичні зони в загальному випадку розділені забороненими інтервалами енергії Eg,   званими забороненими зонами (рис. 3.1).
6. Із зростанням енергії ширина енергетичних зон збільшується, а ширина заборонених зон зменшується (рис. 3.1).
7. Рівень Еа в ізольованому атомі може бути виродженим. У кристалічній решітці виродження може бути часткове або повне. При цьому атомний рівень розщеплюється на декілька зон, число яких відповідає ступеню виродження. Наприклад, для р - стану чинник звиродніння g = 3, оскільки g = 2І+1, де І – азимутне  квантове число, яке для р - стану дорівнює 1. Отже, з атомного р - стану в кристалі можливе утворення трьох зон.
8. Енергія електрона в кристалі залежить від компонент хвильового вектора k. Вона є парною функцією хвильового вектора k, тобто
E(k)=E(-k).
9. При дії на кристал температури і тиску, що приводять до зміни відстані між атомами, буде змінюватися область перекриття хвильових функцій і, отже, величина обмінного інтеграла. Це викличе зміну ширини енергетичних зон, в результаті зміниться і ширина забороненої зони між цими зонами.
 
Рис.3.1. Утворення зон енергії з енергетичних рівнів при зближенні атомів, а – постійна  гратки кристала.
10. Метод сильного зв'язку непридатний до зовнішніх валентних, електронам атомів кристалів, оскільки із-за великого перекриття хвильових функцій сусідніх атомів ширина енергетичної зони валентних електронів приблизно дорівнює відстані між рівнями енергії в ізольованому атомі або перевищує їх.

 

 

 

 

 

Розділ 4. Зони Бріллюена.

При  зміні  хвильового вектора  від  0  до  π/а  енергія  електрона  зростає  неперервно,  при     виникає  перший  розрив. Дала  енергія  знов  зростає  неперервно,  але  при    знов  виникає  наступний  розрив.
Області  значень  хвильового  вектора     при  якому  енергія  електрона  змінюється  неперервно  називають  зонами  Бріллюєна.

4.1. Поняття про зони Бріллюена
В енергетичній зоні кристала є N енергетичних станів, яким відповідають значення компонент хвильового вектора: 
    (4.1)
і компонент квазіімпульсу
   (4.2)
Де i=x, y, z, а j = 1, 2, 3.
Значенням квазіімпульсу в системі координат (рх, ру, рz) відповідатиме деяка область, побудована навколо початку координат і що містить всі можливі різноманітні стани. Ця область називається першою, або основною, зоною Брілюєна. Для кристала з простий кубічною граткою перша зона Брілюєна є кубом (рис. 4.1, а) об'ємом:
    (4.3)
 
Рис. 4.1 Перша    зона Брілюєна для кристала з простою  кубічною решіткою (а),  кубічною  об’ємноцентрованою (б),  кубічною  гранецентрованою решітками (в).
Оскільки об'єм першої зони Бріллюена для кристала з простими кубічними гратками дорівнює (h/а)3, а об'єм елементарної комірки h3/a3N, то число елементарних комірок в ній складає N, тобто рівне кількості енергетичних станів в зоні. Але в енергетичній зоні може розташовуватися 2N електронів, отже, і в першій зоні Брілюєна може бути 2N електронів, а в її кожній комірці може знаходитися тільки два електрони з протилежно направленими спінами.
Друга і наступні зони Бріллюена, які відповідають відповідно другій і наступним енергетичним зонам, мають складнішу конфігурацію, але їх об'єм залишається постійним. Вони також містять N елементарних комірок, кожну з яких можна  надати  у  відповідність  комірку в першій зоні, що описує еквівалентний стан.

4.2. Приведені зони
Операція побудови всіх енергетичних зон в межах першої зони, називається приведенням зон до першої зони, а самі зони, побудовані таким чином, називаються приведеними зонами. Приведення зон полягає в зсуві по осі енергій ділянок кривої E(k), що відносяться до різних зон, на відрізки, кратні 2π/а. На рис. 4.4  пунктиром показана 2-а, 3-а і частково 4-а приведені зони, горизонтальними стрілками – напрям зсуву при побудови цих зон, в розривах стрілок вказана величина зсуву. З рисунка видно, що у всіх непарних приведених зон в центрі розташовуються мінімуми, а на межах зон  максимуми; у парних зон, навпаки, в центрі розташовуються максимуми, на межах – мінімуми.
 
Мал. 4.4. Перекриття енергетичних зон.
а) дозволені зони накладаються  на  заборонені;  б) заборонені  зони  для  різних  напрямків  кристалів  накладаються  одна на одну,  утворюючи  абсолютно заборонену  зону  для  кристала  в  цілому.  
Аналогічним чином будуються приведені зони для тривимірних кристалів.  Оскільки періодичність решіток в тривимірному кристалі у різних напрямах може бути різною, то значення k, при яких настає бреггівське відбиття і виникають розриви в енергетичному спектрі електрона, будуть також різними: для напряму, уздовж якого періодичність решітки рівна а, розриви настають при  , для напряму з періодичністю b – при   , для напряму з періодичністю с – при       і так далі. Внаслідок цього область енергій, заборонена для певних напрямів, може перекриватися областями дозволених енергій для інших напрямів (рис. 4.4,а) і енергетичний спектр в цілому виявиться безперервним. Тільки у тому випадку, коли області заборонених енергій для всіх напрямів накладаються один на одного (рис. 4.4,б), в кристалі існуватимуть абсолютно заборонені області енергій і його енергетичний спектр збереже зонний характер.

4.3. Ефективна маса електрона
Розглянемо рух електрона в кристалі під дією зовнішнього поля напруженості Е. Поле  діє на електрон із силою F = eE. У випадку цілком вільного електрона ця сила є єдиною. На електрон, який перебуває в кристалі, крім неї діє періодичне поле решітки. Тому рух електрона в кристалі виявляється значно більше складним, чим рух вільного електрона в потенційному ящику. Один з способів опису цього руху полягають у наступному. Швидкість руху електрона в кристалі дорівнює груповій швидкості поширення електронних хвиль і визначається формулою i 
     (4.10)
За час dt  зовнішня сила F виконує роботу з переміщення електрона, чисельно рівну:       (4.11)
Диференціюючи  по часу визначимо прискорення електрона:
    (3.12)
           (3.13)
Формула (3.13) встановлює зв'язок між прискоренням електрона й зовнішньою силою, що діє на нього з боку зовнішнього електричного поля Е. Вона виражає, отже, другий закон Ньютона. Із цієї формули видно, що під дією зовнішньої сили F електрон у періодичному полі кристала рухається в середньому так, як рухався б під дією цієї сили вільний електрон, якби він мав масу:  
    (3.14).
Маса   називається ефективною масою електрона. Приписуючи електрону, що перебуває в періодичному полі кристала, масу  , ми можемо вважати цей електрон вільним та описувати його рух у зовнішнім полі так, як описується рух звичайного вільного електрона. До речі, для вільного електрона,  для якого  , формула (3.14) дає:    що, потрібно було очікувати.
Необхідно підкреслити, що введення поняття ефективної маси є лише зручним способом опису поводження електрона в періодичному полі кристала. Сама ж ефективна маса не є масою у звичайному змісті слова. Вона не визначає ні гравітаційних, ні  інерційних властивостей електрона. По величині вона може бути як більше, так я менше маси вільного електрона, за знаком – як  позитивною, так і негативною.

4.4. Енергетична будова алмазоподібних напівпровідників. 
Кремній і германій мають кристалічну структуру типу алмаза, що представляє собою дві гранецентровані кубічні решітки, зміщені одна щодо іншої на 1/4 просторової діагоналі. Елементарний осередок містить два атоми. Для них перша зона Брілюєна не є кубом, а має форму чотирнадцятигранника, зображеного на рисунку 4.5, де значення складових хвильового вектора   дані в одиницях 2п/а (а - ребро куба решітки).
Розрахунок зонної структури напівпровідників являє собою складне завдання. Для германія й кремнію залежність Е (к) для довільно обраної точки  к є рівнянням 146-й ступеня. Тому енергія була обчислена лише для деяких симетрично розташованих точок зони  Брілюєна, для яких  розрахунок сильно  спрощується. Але й при цьому довелося  чисельно розв’язувати  рівняння  16-й степені. Дані для проміжних точок  у  зоні Брілюєна були отримані інтерполяцією. Результати теоретичних розрахунків уточнювалися порівнянням  із даними експериментів, зокрема  по  циклотронному резонансу. 
 
Рис. 4.5. перша зона Брілюєна для напівпровідника  типу алмазу.
У атома кремнію є 14 електронів, а в атома германія – 32  електрона, які розподілені  по зонах    Брілюєна  наступним  чином:
Si1s22s22р63s23р2
Ge1s22s22р63s23р6d410S 24p2
У них остання оболонка не заповнена, у ній у р – стані  є два електрони з паралельними спинами. Оскільки зона провідності й валентна зона кремнію й германія включають р - стан, для якого в кристалі виродження знімається, то кожна з них являє собою накладення трьох різних зон. На рис. 4.6 вони представлені трьома вітками Е(к). Ця залежність неоднакова для різних кристалографічних напрямків.
 
Рис. 4.6. енергетична  структура  германію  та  кремнію. Еg – ширина  забороненої зони,  знаком «+» зображено дірки в валентній зоні, знаком «-»  електрони  в  зоні  провідності.
Одна з галузей Е (к) зони провідності як у кремнію, так й у германію (рис. 4.6) лежить значно нижче інших. Положення абсолютного мінімуму енергії визначає дно зони провідності. Мінімуми енергії називають також долинами.
Абсолютний мінімум зони провідності в германію розташований у напрямку осей 11111 (рис. 4.6), тому є вісім еквівалентних мінімумів енергії, координати яких в одиницях 2к/а мають вигляд (1/2, 1/2, 1/2) і лежать на границі зони Бріллюєна (на рис. 4.6 вони показані жирною точкою). Ізоенергетичні поверхні поблизу абсолютних мінімумів енергії (або долин) являють собою еліпсоїди обертання відносно великої  напівосі. І на першу зону Брілюєна припадає половина кожного  еліпсоїда енергії, а отже, у германію є не вісім, а тільки чотири повних еліпсоїди енергії (рис. 4.7).
Абсолютний мінімум зони провідності в кремнію лежить у напрямку осей (1001) неподалік від границі зони Брілюєна (рис. 4.6). Тому в кремнію є шість еквівалентних мінімумів анергії, а отже, у кремнію на першу зону Брілюєна доводиться шість еліпсоїдних поверхонь постійної енергії, витягнутих уздовж осей 11001 (рис. 4.6). Центри еліпсоїдів розташовані на відстані трьох чвертей від центра зони Брілюєна.
 
Рис. 4.7. Форми  поверхонь  постійної   енергії  в  зонах  провідності  германію  та  кремнію.
Залежність енергії від хвильового вектора k до поблизу абсолютних мінімумів зони провідності в германії й кремнії виражається формулою
 
Мінімальна відстань між дном зони провідності й вершиною валентної зони називається шириною забороненої зони. У кремнію й германію екстремуми  енергії електронів і дірок лежать у різних точках зони Брілюєна (рис. 4.7). При кімнатній температурі й нормальному атмосферному тиску ширина забороненої зони в германію достатньо  високого  ступеня  чистоти дорівнює 0,67 еВ, у кремнію вона становить 1,11 еВ. (Полная работа находится в прилагаемом файле. Нажмите на ссылку скачать)