Развитие продуктивного мышления на уроках математики - Педагогика - Скачать бесплатно

 вполне
очевидно для  учащихся  VII—VIII  классов),  то  учитель,  видя  затруднения
учащегося, должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело  поставленные
вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система  вспомогательных
задач помогут понять идею  решения.  Необходимо  стремиться  к  тому,  чтобы
учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи,  полученного  с
помощью  вспомогательных  задач   или   наводящих   вопросов,   предложенных
учителем.
    Так, когда учащиеся затруднялись решить с помощью составления уравнения
задачу «К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по  единице.
В результате получили число в 23 раза большее первоначального.  Найдите  это
двузначное число» ([5], № 1254), то  в  качестве  вспомогательных  задач  мы
предлагали следующие:
 К числу х приписали справа цифру 4. Представьте  полученное  число  в  виде
суммы, если х: а) двузначное число; б) трехзначное число.
 К числу у приписали слева цифру 5.  Представьте  полученное  число  в  виде
суммы, если у: а) двузначное число; б) трехзначное число.
    Конечно, думающий ученик задастся  вопросом:  как  самому,  без  помощи
учителя, находить вспомогательные задачи?
    Безусловно, учащихся следует приучать самим составлять  вспомогательные
задачи, или упрощать  условия  предложенных  задач  так,  чтобы  без  помощи
учителя найти способы их решения.
    Умение находить вспомогательные задачи,  как  и  вообще  умение  решать
задачи,  приобретается  практикой.  Предлагая   учащимся   задачу,   следует
посоветовать выяснить, нельзя ли найти связь между данной задачей  и  какой-
нибудь задачей с известным решением или с задачей, решающейся проще.
    Для приобретения навыков решения довольно сложных задач нужно  приучать
школьников больше внимания уделять изучению полученного решения.  Для  этого
мы предлагали учащимся видоизменять условия задачи, чтобы  закрепить  способ
ее  решения,  придумывать  задачи  аналогичные  решенным,  более  или  менее
трудные, с использованием найденного при  решении  основной  задачи  способа
решения.
    Решив задачу «В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой
бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем  увеличилось  на  10%.  Количество
воды во второй бочке сначала увеличилось на  10%,  а  затем  уменьшилось  на
10%. В какой бочке стало больше воды?» ([5],  №1245),  мы  посчитали  нужным
задать учащимся вопросы: если вместо 10% взять 20%,  30%,  а%?  Какой  вывод
можно сделать?
    Систематическая работа по  изучению  способов  решения  задач  помогает
учащимся не только научиться решать задачи, но и самим их составлять.
    Так, после решения задачи «Докажите, что уравнение х2  –  у2  =  30  не
имеет решений в целых  числах»  ([5],  № 1272),  можно  предложить  учащимся
попытаться сформулировать рассмотренную  задачу  в  общем  виде.  Это  будет
выглядеть так: «Докажите, что  уравнение  х2 - у2 = 4р  +  2  (р  —  простое
число) не имеет решения в целых числах».
    Конструирование задач — интересное занятие,  один  из  верных  способов
решать задачи.
    Умение   учащихся    составлять    нестандартные    задачи,    решаемые
нестандартными способами, свидетельствует о  культуре  их  мышления,  хорошо
развитых математических способностях.
    При анализе решения задачи полезно сопоставить решение данной задачи  с
ранее решенными, установить возможность ее обобщения.
    Мы думаем, учитель должен постоянно помнить, что решение задач является
не самоцелью, а средством обучения.  Обсуждение  найденного  решения,  поиск
других способов решения, закрепление в  памяти  тех  приемов,  которые  были
использованы,  выявление  условий  возможности  применения   этих   приемов,
обобщение данной задачи — все это дает  возможность  школьникам  учиться  на
задаче.
    Именно через задачи учащиеся  могут  узнать  и  глубоко  усвоить  новые
математические факты, овладеть  новыми  математическими  методами,  накопить
определенный  опыт,  сформировать   умения   самостоятельно,   и   творчески
применять полученные знания.

    О  роли  наблюдений  и  индукции  при   нахождении   способов   решения
нестандартных алгебраических задач.

    Общеизвестна  роль,  которая  отводится  индукции  и  наблюдениям   при
обучении математике учащихся  младших  классов.  Позднее  индуктивный  метод
уступает место дедуктивному.  При  этом  часто  индуктивный  способ  решения
задачи  не  проводится,  решение   выполняется   дедуктивным   способом.   В
результате  от  учащихся  ускользают  пути  поиска   решения   задачи,   что
отрицательно сказывается на математическом развитии.
    К  сожалению,  как  свидетельствуют  данные  нашего  исследования,  при
обучении учащихся математике (в частности, при  обучении  учащихся  способам
решения нестандартных задач) наблюдение и индукция (в том  числе  и  полная)
не заняли еще должного места.  А  между  тем  учитель  должен  знать,  и  по
возможности довести до сознания учащихся тот факт, что  математика  является
экспериментальной, индуктивной наукой, что наблюдение и  индукция  играли  и
играют большую роль при открытии многих математических фактов. Еще Л.  Эйлер
писал, что свойства чисел, известные сегодня, по большей части были  открыты
путем  наблюдения  и  открыты  задолго  до  того,  как  их  истинность  была
подтверждена строгими доказательствами.
    Поэтому уже в младших классах  школы  при  обучении  математике  (да  и
другим предметам) надо учить школьников  наблюдениям,  прививать  им  навыки
исследовательской   творческой   работы,   которые   могут   пригодиться   в
дальнейшем, какой бы вид деятельности они не избрали после окончания школы.
    Этой цели может служить, например, такое задание: «Число 6 представим в
виде суммы всех его делителей, исключая из их состава само это число (6 =  1
+ 2 + 3). Установите, сколько в первых двух десятках натуральных  чисел  (1,
2, 3, …, 20) существует чисел, равных  сумме  всех  своих  делителей  (такие
числа называют совершенными)». Учащиеся путем перебора получают  ответ.  При
этом следует добиваться от них  понимания  того,  что  полученный  вывод  (в
первых двух десятках натуральных чисел содержится одно  «совершенное»  число
—  число  6,  ближайшим  следующим  «совершенным»  числом,   которое   можно
обнаружить  путем  проб,  является  28:  28 = 1 + 2 + 4 + 7 +  14)  является
строго (научно) обоснованным, так  как  примененный  метод  полной  индукции
(так называемый метод перебора) является  научным  и  широко  применяется  в
математике при доказательстве теорем и решении задач.
    Методом полной индукции (рассмотрением всех  возможных  случаев)  может
быть  уже  в  младших  классах  школы  доказана  теорема:  «В  первой  сотне
натуральных чисел содержится 25 простых чисел».
    Подчеркивая  роль  дедуктивных  доказательств  (доказательств  в  общем
виде), учитель должен  обратить  внимание  учащихся  на  роль  наблюдений  и
неполной  индукции  при  «открытии»  математических   закономерностей,   при
нахождении способа решения  самых  разнообразных  математических  задач,  на
роль  полной  индукции   при   обосновании   найденных   индуктивным   путем
закономерностей.
    Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:
    «Может ли:  а)  сумма  пяти  последовательных  натуральных  чисел  быть
простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных  натуральных  чисел
быть простым числом?»
    Прежде, чем решать эту задачу в общем виде, целесообразно на нескольких
частных примерах выяснить, каким числом (простым или составным)  могут  быть
указанные в задаче суммы. С помощью примеров  можно  получить  гипотезы:  а)
сумма пяти последовательных натуральных чисел — число  составное;  б)  сумма
квадратов пяти последовательных натуральных чисел — число составное.
    Полученные на примерах (с помощью  неполной  индукции)  гипотезы  легко
доказываются в общем виде.
    Другая задача: «Может ли разность двух трехзначных  чисел,  из  которых
второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном  порядке,  быть
квадратом натурального числа?»
    На наших занятиях прежде чем решать эту задачу в общем  виде,  учащийся
должен был на  частных  примерах,  с  помощью  неполной  индукции,  получить
предполагаемый  ответ  (высказать  гипотезу):  рассматриваемая  разность  не
может  быть  равна  квадрату  какого-либо  натурального  числа.  Дедуктивное
обоснование этой гипотезы, как правило, не вызывает у учащихся затруднений.
    Учащиеся должны понимать, что на частных примерах никакого  утверждения
доказать нельзя. Частный пример ничего не доказывает  в  математике,  но  он
может подвести к правильному выводу.
    В отличии от неполной  индукции  полная  индукция  имеет  доказательную
силу, и ее роль при решении многих алгебраических  задач  (прежде  всего  на
делимость), трудно переоценить.
    Приведем примеры. Пусть  учащимся  предложена  задача:  «Докажите,  что
любую сумму большую 7 к., можно уплатить трех- и пятикопеечными монетами  не
получая сдачи».
    Для  решения  этой   задачи   достаточно   проверить,   что   трех-   и
пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3  +
3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.
    Решив  таким  образом  задачу,  следует  добиться  от  учащихся  ясного
понимания того, что задача решена  с  помощью  полной  индукции:  все  числа
большие 7, разбили на три непересекающихся класса — 8 + 3k,  9  +  3k,  10 +
3k, где k (N, в каждом из которых решение задачи существует.
    Можно  оформить  решение  задачи  несколько  иначе,  представив   любое
натуральное число п, большее 7, в одном из следующих видов:
    п = 3k, где k (N, k ( 3;
    п = 3k + 1, где k (N, k ( 3;
    п = 3k + 2, где k (N, k ( 2.
    Доказав в каждом из трех  случаев  возможность  представления  числа  п
требуемым образом, решим задачу методом полной индукции.
    Для закрепления способа решения задач методом полной  индукции  полезно
рассматриваемую задачу решить другим способом, разбив натуральные  числа  не
на 3, а на 5 классов.
    Учащиеся должны понимать, что метод полной  индукции  является  научно-
обоснованным методом и им можно пользоваться наряду с другими.
    Ясно, что применять метод полной индукции можно лишь тогда, когда число
рассматриваемых в задаче случаев конечно и  не  слишком  далеко.  Но  иногда
этим методом задачу можно решить много проще, чем другим.

    О нахождении способов решения задач.

    Огромная значимость нахождения школьниками различных  способов  решения
задач по математике не раз отмечалась на страницах методической  литературы.
Однако  наши  наблюдения   показывают,   что   на   уроках,   как   правило,
рассматривается лишь один из  способов  решения  задачи,  причем  не  всегда
наиболее рациональный.  Приводимая  в  таких  случаях  аргументация  в  виде
отсутствия  достаточного  количества  времени  на   решение   одной   задачи
различными  способами  не  имеет  под  собой  основы:  для   математического
развития учащихся, для развития их  творческого  мышления  гораздо  полезнее
одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть  на
это времени, чем несколько однотипных задач  одним  способом.  Из  различных
способов решения одной и той же  задачи  надо  предложить  учащимся  выбрать
наиболее рациональный, красивый.
    При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется
познавательный интерес, развиваются творческие  способности,  вырабатываются
исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения  задачи
учащийся, как правило, получает большое моральное  удовлетворение.  Учителю,
как нам кажется, важно поощрять поиск различных способов  решения  задач,  а
не стремиться навязывать свое решение. Общие  методы  решения  задач  должны
стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим  необходимо  воспитывать
у  них  умение  использовать  индивидуальные  особенности   каждой   задачи,
позволяющие решить ее проще. Именно  отход  от  шаблона,  конкретный  анализ
условий задачи являются залогом успешного ее решения.
    Особое внимание, на наш  взгляд,  следует  обратить  на  решение  задач
арифметическим  способом,  так  как  именно  решение  задач   арифметическим
способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.
    Часто учащиеся, ознакомившись  со  способом  решения  задач  с  помощью
уравнения, не обременяют себя глубоким анализом  условия  задачи,  стараются
побыстрее составить уравнение и перейти к его решению. При этом  и  введение
обозначений, и  схема  решений,  как  правило,  соответствуют  определенному
шаблону.
    В этом случае задача учителя  —  показать  учащимся  на  примерах,  что
решение задач по шаблону часто приводит к  значительному  увеличению  объема
работы, а иногда и к усложнению решения,  в  результате  чего  увеличивается
возможность появления ошибок. Поэтому учащимся  полезно  предложить,  прежде
чем составлять уравнение для решения  задачи,  внимательно  изучить  условие
задачи, подумать над тем, какой способ  решения  наиболее  соответствует  ее
условию,   попытаться   решить   задачу   без    использования    уравнений,
арифметическим способом.
    К сожалению, довольно широко распространено мнение, что  решение  задач
повышенной трудности арифметическими методами  излишне  ввиду  существования
более сильного метода решения задач с помощью составления уравнения.
    Существует и другое мнение, опирающееся  на  наблюдения  за  учащимися,
согласно которому  решение  задач  только  алгебраическим  методом  ведет  к
одностороннему математическому развитию учащихся. Следует  учитывать  и  то,
что   для   составления   уравнения   следует   использовать    определенные
арифметические навыки, понимание зависимостей между величинами. Кроме  того,
существует ряд задач, решение которых  арифметическими  методами  изящнее  и
проще, чем с помощью уравнений.
    В  качестве  примера  рассмотрим  задачу:  «Два  мотоциклиста   выехали
одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км  от
В. Прибыв  в  пункты  А  и  В,  мотоциклисты  сразу  же  повернули  назад  и
встретились вновь в 25 км от А. Сколько километров между А и В?»
    Решение этой задачи  с  помощью  уравнения  представляет  для  учащихся
определенные трудности: не случайно в школьном учебнике  аналогичная  задача
помещена в разделе «Задачи повышенной трудности для 8 класса».
    На наших занятиях учащиеся решали эту задачу, не составляя уравнения, а
рассуждая так.  От  начала  движения  до  первой  встречи  оба  мотоциклиста
проехали расстояние равное АВ, а к моменту  второй  встречи  проехали  втрое
большее расстояние. Таким образом, каждый из них до второй  встречи  проехал
втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из пункта В,  до  первой
встречи проехал 50 км. Следовательно, до второй встречи он  проехал  150  км
(50 ( 3 = 150). Поэтому расстояние от А до В равно 125 км (150 – 25 = 125).
    При таком подходе эту задачу могут решить учащиеся не только VIII, но и
V класса.
    Арифметический способ решения задач, когда  шаблонный  метод  не  легко
приводит к результату, является, как свидетельствуют наши наблюдения,  одним
из лучших средств развития самостоятельного, творческого  решения  учащихся.
С  помощью  специально  подобранных  задач,  которые  могут   заинтересовать
учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу  дается  в
руки, можно показать учащимся  красоту,  простоту  и  изящество  логического
рассуждения, приводящего к решению задачи.  Иллюстрацией  сказанного  служит
задача № 1287 из [5]. (Всадник и пешеход одновременно отправились из  пункта
А в пункт В.  Всадник,  прибыв  в  пункт  В  на  50  мин.  раньше  пешехода,
возвратился обратно в А. На обратном пути он встретился с пешеходом  в  двух
километрах от В. На весь путь всадник  затратил  1  час  40  минут.  Найдите
расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.)
    Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во
внеклассной  работе  должен  ориентировать  учащихся  на  поиски   красивых,
изящных  решений.  Тем  самым  учитель  будет  способствовать  эстетическому
воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.
    Решая с учащимися ту или  иную  задачу,  учитель  должен  стремиться  к
достижению двух целей. Первая — помочь ученику решить именно данную  задачу,
научить  его  решать  задачи,  аналогичные  рассматриваемой;  вторая  —  так
развить способности ученика, чтобы он мог  в  будущем  решить  любую  задачу
школьного курса самостоятельно. Эти  две  цели,  безусловно,  связаны  между
собой, так как, справившись с заданной достаточно трудной для него  задачей,
учащийся несколько развивает свои способности к решению задач вообще.
    Поэтому, преследуя вторую цель, при решении задач несколькими способами
мы обращали внимание учащихся не только на наиболее  рациональный,  красивый
способ  решения  данной  задачи,  но  и  на  те  способы,   которые   широко
применяются при решении других  задач  и  в  некоторых  случаях  оказываются
единственными. Поясним сказанное примером.
    При решении  задачи  «Что  больше:  [pic]  или  [pic]?»  ([5],  № 1263)
учащиеся, как правило,  применяют  наиболее  естественный  в  данном  случае
способ решения — приведение дробей  к  общему  знаменателю  и  сравнение  их
числителей.
    Мы познакомили учащихся и с  другими  способами  решения  этой  задачи,
которые могли оказаться полезными при решении других задач.
    Так, вычтя из обеих дробей по 0,1,  мы  получили  дроби  с  одинаковыми
числителями, которые сравним устно:
                                    [pic]
                                    [pic]
    Так как [pic] > [pic], то [pic] > [pic].
    Можно сравнить данные дроби и другим способом: умножив каждую из дробей
на 10 и выделив единицу, будем иметь
                                    [pic]
                                    [pic]
    Так как [pic] > [pic], то первая из данных дробей больше второй.
    Иногда бывает целесообразным решить задачу  в  общем  виде,  хотя,  как
правило, числовые данные призваны упрощать решение задачи.
    Семиклассникам была предложена задача:  «Докажите,  что  не  существует
целых коэффициентов a, b, c, d, таких, что значение многочлена ax3 +  bx2  +
cx + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62» ([5], № 1273).
    Наряду с решением этой задачи с помощью составления  системы  уравнений
для заданных числовых значений было дано решение задачи  в  общем  виде.  Из
системы
                                    [pic]
получали [pic], откуда следовало, что для целых  a,  b,  c,  х1,  х2,  А,  В
выражение А – В всегда кратно х1 – х2. Подставив х1 = 62, х2 = 19, А = 2,  В
=1, получали, что А – В не делится  на  х1  –  х2  (1  не  делится  на  43).
Следовательно, утверждение задачи доказано.
    Такой способ решения позволил нам (и ученикам) варьировать условие этой
задачи, импровизировать на ее тему.
    Например, было  предложено  учащимся  заполнить  недостающие  данные  в
условиях следующих задач:
 Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, c  и  d,  таких,  что
значение многочлена ax3 + bx2 + cx + d равно 1 при х =… и равно 2  при  х =…
.
 Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, c  и  d,  таких,  что
значение многочлена ax3 + bx2 + cx + d равно … при х =  19  и  равно  …  при
х = 2.
    Полезно также предложить учащимся составить и решить другие  задачи  на
данную тему, основываясь на решении задачи в общем виде.
    Заметим, что частое использование одного и того же метода  при  решении
задач иногда приводит к привычке, которая становиться вредной.  У  решающего
задачу вырабатывается склонность к так называемой  психологической  инерции.
Поэтому, как  бы  ни  казался  учащимся  простым  найденный  способ  решения
задачи, всегда полезно  попытаться  найти  другой  способ  решения,  который
обогатит опыт решающего задачу. Кроме того, в некоторых  случаях,  получение
того же результата другим  способом  служит  лучшей  проверкой  правильности
результата.
    В заключение нами было проведено вторичное тестирование. Для проведения
повторных   испытаний   использовался   вариант   методики    альтернативный
(рычаговому(, предполагающий (открытие( условия равновесия ворота.
    Результаты вторичного испытания отражены в таблице:

|             |октябрь 1995 г.          |март 1996 г.             |
|             |в       |с      |н      |в      |с      |н      |
|экспериментал|18 |35%|26 |50%|8  |15%|28 |54%|22 |42%|2  |3% |
|ьные классы  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
|контрольный  |10 |36%|14 |50%|4  |14%|11 |39%|14 |50%|3  |11%|
|класс        |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |

    Как видим, результаты во всех классах  улучшились.  Однако,  далеко  не
пропорционально.    Сравнительно     небольшое     улучшение     показателей
(контрольного( класса мы склонны  отнести  за  счет  привыкания  учащихся  к
подобному тестированию (и, конечно, мы полагаем, что изучение  математики  и
по стандартной методике  способствует  активизации  творческой  мыслительной
деятельности  учащихся).  Улучшение   же   показателей   (экспериментальных(
классов (причем в более значительной степени нежели в (контрольном(  классе)
дает нам основание считать гипотезу, выдвинутую нами в начале нашей  работы,
подтвердившейся и конкретные методические приемы по  развитию  продуктивного
мышления школьников заслуживающими внимания.
    Мы не считали наш результат конечным. Необходимо и далее  разрабатывать
и усовершенствовать приемы  и  методы  развития  продуктивного  мышления,  в
зависимости  от  индивидуальных  свойств  и  особенностей  каждого  отдельно
взятого учащегося. Многое также будет зависеть от  педагога-предметника,  от
того, будет ли он учитывать особенности познавательных процессов  школьников
и применять приемы активизации продуктивного мышления в  ходе  объяснения  и
закрепления  материала,  будет  ли  он  строить   свои   уроки   на   ярком,
эмоционально окрашенном рассказе или чтении  текста  учебника  и  от  многих
других фактов.


    Анализируя проделанную работу можно сделать ряд выводов:
    1. Экспериментальные занятия по курсу математики в 7 классах СШ № 18  г.
       Астрахани были достаточно продуктивны. Нам удалось  достичь  основной
       цели данного исследования  —  выработать  ряд  методических  приемов,
       включенных в  обычные  программные  уроки  и  позволяющих  овладевать
       приемами   продуктивного   мышления,   а   следовательно    облегчать
       усваиваемость  материала  и  активизировать  творческие   способности
       школьников.
    2. Анализ учебного материала, предшествующий практической части  работы,
       позволил структурировать  отобранный  материал  наиболее  логичным  и
       приемлемым способом, в соответствии с целями исследования.
    3.  Результатом  проведенной  работы  являются  несколько   методических
       рекомендаций к курсу математики:
      4) В целях  совершенствования  преподавания  математики  целесообразна
         дальнейшая разработка  новых  методик  использования  нестандартных
         задач.
      5)  Систематически  использовать  на  уроках  задачи,   способствующие
         формированию    у    учащихся    познавательного     интереса     и
         самостоятельности.
      6) Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению  задач,  с
         помощью специально  подобранных  упражнений,  учить  их  наблюдать,
         пользоваться   аналогией,   индукцией,   сравнениями    и    делать
         соответствующие выводы.
      7) Целесообразно использование на уроках задач  на  сообразительность,
         задач-шуток, математических ребусов, софизмов.
      8)  Учитывать  индивидуальные  особенности  школьника,  дифференциацию
         познавательных  процессов  у  каждого  из  них,  используя  задания
         различного типа.


    Таким образом, проведенное нами исследование позволяет утверждать,  что
работа над формированием навыков  продуктивного  мышления  у  учащихся  дело
важное и необходимое. Поиск новых путей активизации творческой  деятельности
школьников является одной  из  неотложных  задач  современной  психологии  и
педагогики.

                              Список литературы

1. Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю.  М.
  Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988.
2. Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю.  М.
  Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988.
3. Алгебра: Учебник для 6 класса средней  школы.  Ю.  Н.  Макарычев,  Н.  Г.
  Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987.
4. Алгебра: Учебник для 7 класса средней  школы.  Ю.  Н.  Макарычев,  Н.  Г.
  Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987.
5. Алгебра: Учебник для 7 класса средней  школы.  Ю.  Н.  Макарычев,  Н.  Г.
  Миндюк, К. И. Немков, С. Б. Суворова.; Под ред. С. А.  Теляковского.  М.,
  1991.
6. Атахов Р. Соотношение общих закономерностей  мышления  и  математического
  мышления. Вопросы психологии, №5, 1995.
7. Василевский А. Б. Обучение решению задач по математике. Минск, 1988.
8. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М., 1987.
9. Давыдов В. В.  Проблемы  развивающего  обучения:  Опыт  теоретического  и
  экспериментального