Referatik - Предметы - Педагогика - Развитие продуктивного мышления на уроках математики

Рассмотрим подробнее каждый из этапов. 1. Констатирующий этап исследования В соответствии с целями исследования за основу методики на первом этапе был взят метод Калмыковой З. И. (Калмыкова З. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М., 1981.). Нами была проведена модификация этого теста. В связи с тем, что занятия по экспериментальной программе представилось возможным провести только в двух седьмых классах средней школы № 18, тестирование было проведено в трех классах: двух (экспериментальных( (52 чел.) и (контрольном( (28 чел.), т. е. в нем участвовало 80 человек. В нашей методике моделировалось проблемное обучение, непосредственно направленное на развитие продуктивного мышления. Она была построена в виде естественного обучающего эксперимента, в котором школьники включаются в проблемные ситуации, рассчитанные на самостоятельное решение новых для них учебных задач. В качестве задачи-проблемы в методике была использована известная физическая закономерность, отражающая условия равновесия рычага. Для ее решения учащиеся располагают необходимыми знаниями. Они не раз встречались с простейшими случаями равновесия — взвешивание на рычажных весах, качание на доске с опорой и т. д. Кроме того, в эксперименте использовалась хорошая модель (демонстрационный рычаг), которая служила наглядной опорой при «открытии» учащимися закономерности. Преимущества данной закономерности в том, что она может быть показана на ряде моделей (рычаг с опорой между линиями действия сил, ворот и т. д.). тем самым есть возможность создать варианты методики, необходимые при повторных испытаниях, что важно для суждения об индивидуальных сдвигах в развитии обучаемости. Остановимся кратко на характеристике структуры экспериментов и способов обработки получаемых на их основе данных. Эксперимент включал три этапа: предварительный, основной и вспомогательный. На предварительном этапе экспериментатор обеспечивал школьникам исходный минимум знаний; создавалась установка на решение новой проблемы, вызывалось желание решить ее как можно лучше, без боязни ошибиться при поисках решения. С этой целью на ряде простых арифметических задач экспериментатор напоминал школьникам в (практическом плане) о прямой и обратной зависимости. Далее им говорили, что в связи с работой над новыми вариантами хотят выяснить, возможно ли с учащимися VII класса решать задачи, которые ранее решались только старшеклассниками. Благодаря такой мотивировке, школьники считали себя участниками эксперимента, не имеющего прямого отношения к их собственным способностям. Если школьник затруднялся в решении, то это ему объясняли трудностью решения задач для данного возраста. После такой подготовке переходили к основному этапу эксперимента. Учащемуся показывали рычаг, его плечи и силы (гири по 100 г). Экспериментатор говорил школьнику, что тот должен решить ряд практических задач, в которых по величинам сил и плеч догадаться, будет ли рычаг в равновесии. Пользуясь моделью рычага или посмотрев ответ на обороте карточки, он мог проверить, верна ли его догадка. После решения ряда задач ему следовало ответить на более общий вопрос: при каких условиях рычаг в равновесии, то есть самому «открыть» неизвестную ему закономерность, на основе которой можно безошибочно решать такие задачи. Затем экспериментатор клал перед испытуемыми карточки с записанными на них величинами сил и плеч. Всего испытуемый практически решал 30 задач, разделенных на 6 циклов. Нечетные циклы имели по 4 задачи, а четные — по 6. Нечетные циклы получили название наглядно-действенных, так как в них от ученика, требовалось сделать заключение об условиях равновесия рычага на основе практических действий с реальной моделью рычага. Получив карточку с условием задач, школьник в соответствии с ним вешал гирьки (каждая по 100 г) на указанном расстоянии от опоры. Экспериментатор в это время удерживал рычаг в равновесии. Учащийся высказывал свое предположение о том, будет ли рычаг в равновесии, после чего экспериментатор отпускал рычаг и учащийся мог проверить правильность своего предположения. Четные циклы названы числовыми, так как в них учащийся имел дело только с числовыми данными, сопоставляя которые он высказывал свою гипотезу о наличии или отсутствии равновесия, а проверял ее по ответу на обороте карточки. Содержание всех 30 задач было идентичным, изменялись лишь числовые данные. Последние подбирались так, чтобы операции с ними не вызывали никаких трудностей. После решения задач каждого из 6 циклов школьнику предлагалось попытаться сформулировать искомую закономерность, то есть ответить на вопрос: при каких условиях рычаг будет в равновесии? На основном этапе задачи решались самостоятельно, а подкреплением служило лишь сопоставление гипотезы испытуемого о наличии равновесия с верным ответом. Каждый испытуемый, вне зависимости от правильности ответов решал все 30 задач. Вспомогательный этап экспериментов рассчитан только на тех, кто на основном этапе не решил проблему, то есть не дал верную формулировку условий равновесия рычага. Его цель — определить меру помощи, которая требуется для решения проблемы. Остановимся теперь на характеристике тех показателей, по которым мы судили при анализе собранного экспериментального материала о продуктивности мышления школьников давая его качественную характеристику. Самостоятельность ума мы определяли по тому, справился ли школьник с решением проблемы на основном этапе экспериментов, или ему потребовалась дополнительная помощь, предусмотренная на вспомогательном этапе, и какая именно. Было предусмотрено 4 степени помощи, от минимальной к максимальной. По степени помощи, необходимой испытуемому для выделения искомой закономерности (условия равновесия рычага) определяли потенциальные возможности учащегося в решении проблемы. Глубина ума, отражающая степень существенности абстрагируемых признаков и степени их обобщенности, определялась на основе анализа суждений испытуемых при их попытках сформулировать искомую закономерность. Об осознанности мыслительной деятельности и характере ее реализации можно судить по соотношению хода практического решения задач с высказывании испытуемых о тех признаках, по которым, по их мнению, они определяли наличие или отсутствие равновесия. Отсутствие соответствия между ними дает основание для утверждения о слабой осознанности мыслительной деятельности, о преобладании интуитивно-практического мышления над словесно-логическим; их соответствие говорит об осознанности этой деятельности. Гибкость ума проявляется в возможности формулировки двух вариантов искомой закономерности (по пропорциональности величин сил и плеч, и по моменту сил), в совершенствовании раз сформулированного суждения, в переходе к суждениям более высокой степени обобщенности, введении в них новых научных терминов вместо житейских, в легкости отказа от ошибочности суждений и т. д. Устойчивость ума найдет свое выражение в воспроизведении и целесообразной ориентации на найденный в процессе анализа значимый признак равновесия, в возможности одновременной ориентации на оба признака равновесия. Определяющее условие количественной оценки результатов экспериментов исследуемой стороны мышления — адекватность этой оценке, качественной ее характеристике. Качественный анализ продуктивного мышления школьников привел к выводу, что наиболее общим, суммарным показателем уровня его развития может служить экономичность мышления, как краткость пути к самостоятельному решению проблемы. В определении показателя экономичности мышления при решении проблемы мы исходим из следующей гипотезы: чем раньше испытуемый выделит существенные признаки равновесия и будет ориентироваться на них, тем вернее он будет решать задачи. Следовательно, об уровне экономичности можно судить по совокупности баллов, начисленных за верно решенные задачи. Показатели экономичности мышления располагались в интервале от 0 до 1, мы выделили три их уровня (на основе простого деления общего интервала на 3). К низшему уровню были отнесены показатели от 0 до 0,33; к среднему от 0,34 до 0,67; к высшему от 0,68 до 1,00. В ходе проведения эксперимента были получены следующие результаты. 18 человек (35%) (экспериментальных( классов (классов, в которых в дальнейшем велись занятия по математике по экспериментальной методике) показали достаточно высокие результаты и были отнесены нами к высшему уровню экономичности мышления. По такому же принципу в (контрольном( классе к высшему уровню экономичности мышления были отнесены 10 учащихся (36%). Большая часть испытуемых из всех классов была отнесена нами к среднему уровню: 26 человек из (экспериментальных( классов и 14 из (контрольного(; или соответственно 50% и 50%. Наконец, по 4 человека из каждого класса были отнесены нами к низшему уровню показателя экономичности мышления (15% и 14% соответственно). Следовательно, исходя из вышеперечисленных данных общий уровень экономичности мышления можно считать достаточно высоким. При этом мы допускаем наличие возможных погрешностей в исполнении, обработке и трактовке данных. Кроме того, сравнение результатов учащихся трех седьмых классов (так называемых (экспериментальных( и (контрольного() делает допустимым проведение в двух из них занятий по экспериментальной методике и проведение в дальнейшем повторных испытаний с целью выяснить влияние экспериментальной обучающей методики на развитие продуктивного мышления учащихся. 2. Обучающий эксперимент и анализ его результатов Следующим этапом нашей работы было проведение серии экспериментальных занятий с учащимися 7-х классов средней школы г. Астрахани. Мы не приводим в нашей работе описание каждого проведенного урока. Останавливаемся лишь на некоторых методических приемах, использовавшихся нами на уроках алгебры для активизации творческой мыслительной деятельности учащихся, и их теоретическом обосновании. Зачем решают задачи в школе. Мы считаем, что развитие творческого мышления у учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями математики в современной школе. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи. Не случайно известный современный математик и методист Д. Пойа пишет: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности». При обучении математике на решение задач отводиться б(льшая часть учебного времени. Отсюда напрашивается вывод, что учебное время, отводимое на решение задач в школе, используется неэффективно, а это отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом. Одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых ими при решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течении того непродолжительного периода, который отводиться на изучение (повторение) того или иного вопроса программы. Функция таких задач чаще всего сводиться к иллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знания нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности. К сожалению, в практике обучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. И даже задачи повышенной трудности специальных сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном имеют целью закрепление умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач определенного типа. А между тем функции задач очень разнообразны: обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие. Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может служить многим конкретным целям обучения. И все же главная цель задач — развить творческое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов. Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно, полезны и необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве. Мы считаем, что следует избегать большого числа стандартных задач как на уроке, так и во внеклассной работе, так как в этом случае сильные ученики могут потерять интерес к математике и даже испытать отвращение к ней. Ознакомление учащихся лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создают, на наш взгляд, реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно решать незнакомые задачи («Мы такие задачи не решали»,— часто заявляют учащиеся, встретившись с задачей незнакомого типа). В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, общим приемам решения задач, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемам продуктивной умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы. Необходимо, как мы считаем, прививать учащимся прочные навыки творческого мышления. В школьных учебниках математики (и не только ныне действующих) мало задач, с помощью которых можно показать учащимся роль наблюдения, аналогии, индукции, эксперимента. Мы исходим из того, что несмотря на ошибочные гипотезы, которые можно получить в результате наблюдений и неполной индукции, учитель должен использовать все предоставляемые ему программой и учебниками (в том числе и ранее действующими, и пробными, экспериментальными) возможности, чтобы развить у учащихся навыки творческого мышления. С этой целью, например, мы предлагали учащимся следующую задачу: «Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?» ([3], №1168). Иногда для развития навыков творческого мышления мы посчитали нужным несколько изменять условия задач, встречающихся в школьных и других учебниках. Перед решением задачи «Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11» ([1], № 949) целесообразно для математического развития учащихся предложить им установить (с помощью индукции), каким свойством обладает рассматриваемая разность (делиться на 9, 11, 99), и только после этого доказать подмеченную на частных примерах закономерность в общем виде. Задача «Докажите, что для того, чтобы найти квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5 и имеющего п десятков достаточно число десятков п умножить на п + 1 и к результату приписать 25» ([4], № 969) безусловно имеет определенную познавательную ценность: учащиеся знакомятся с правилом возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Но роль этой задачи возрастет, если ее сформулировать так: «Найдите и обоснуйте правило возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на цифрой 5». Полезно предложить учащимся VII класса самим установить с помощью наблюдений и индукции следующие формулы для подсчета сумм: 1 + 3 + 5 + … + (2п – 1) = п2, 13 + 23 + 33 + … + п3 = (1 + 2 + 3 + … + п)2. Учащиеся, не знакомые с методом математический индукции, используемым для доказательства этих формул, именно с помощью такого рода задач понимали необходимость изучения этого метода в дальнейшем. Приведенные задачи решались со всеми учащимися на уроках, в процессе изучения или повторения программного материала, а не только с отдельными, хорошо успевающими учениками во внеурочное время. Мы исходим из того, что необходимо на уроках систематически использовать задачи, способствующие целенаправленному развитию творческого мышления учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и оригинальности. Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач- шуток, математических ребусов, софизмов. Как показали проведенные нами занятия, рассмотрения на уроке математического софизма, для разгадки которого недостаточно известного учащимся материала, вызывает естественный интерес к новой теме, осознание необходимости ее изучения и соответствующий настрой к преодолению предстоящих на пути приобретения новых знаний трудностей. О методике обучения учащихся решению нестандартных алгебраических задач. Какая задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» (Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи.— М.: Просвещение, 1989.— С. 48.). Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач такого типа или нет. Например, задача «Представьте выражение 2х2 + 2у2 в виде суммы двух квадратов» ([5], № 1264) является для учащихся нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со способами решения таких задач. Но если после решения этой задачи учащимся предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для них стандартными. Аналогично задача «При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х + 7у = 23?» ([5], № 1278) является нестандартной для учащихся VII класса до тех пор, пока учитель не познакомит их со способами решения таких задач (что, кстати сказать, можно сделать при обучении учащихся математике уже в VI классе). Таким образом, нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. К сожалению, иногда учителя единственным способом обучения решению задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего следует порой изнурительная практика по овладению ими. Нельзя не согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д. Пойа, что, если преподаватель математики «заполнит отведенное ему учебное время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности». Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи? Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, к сожалению, видимо нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт работы многих передовых учителей, добивающихся хороших результатов в математическом развитии учащихся как у нас в стране, так и за рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приемы обучения учащихся способам решения нестандартных задач. В литературе (отечественной и зарубежной) методические принципы обучения учащихся умением решать нестандартные задачи описаны неплохо. Наиболее удачными, на наш взгляд, в этом отношении являются книги Д. Пойа «Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения» Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого «Как научиться решать задачу», Ю. М. Колягина, В. А. Оганесяна «Учись решать задачи». И хотя некоторые из них адресованы учащимся, желающим научиться решать задачи, они, без сомнения, могут быть использовании учителями при обучении школьников умениям решать нестандартные задачи. Прежде всего отметим, что научить учащихся решать задачи (в том числе и нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, то есть если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед учителем,— вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Как это сделать — решать самому учителю. Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей их жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами, опытом, служащие понятной ученику цели. Учитель, как нам кажется, должен уметь находить интересные для учащихся задачи и своевременно предлагать их. Приведем примеры. Учитель математики обратил внимание учащихся, что в фильме «Возвращение с орбиты», показанном накануне по телевизору, главный герой, узнав, что его невесте 24 года, говорит ей: «Когда тебе будет столько лет, сколько мне сейчас, мне будет 60». Вопрос учителя «Сколько лет герою фильма» вызвал у всех учащихся VII—VIII классов желание решить предложенную задачу, хотя от некоторых она потребовала настоящего усилия. Другой пример. Желая научить учащихся решать в натуральных числах уравнения вида ах + by = с, можно, конечно, предложить учащимся выполнить упражнение № 1278 из [5] (При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х+7у=23?). Но, как показывают наши наблюдения, учащиеся легче и с б(льшим интересом учатся способам решения таких уравнений, если им предложить, например, следующую задачу: «Чтобы купить вещь, нужно уплатить 19 р. У покупателя только трехрублёвые купюры, у кассира только десятирублевые. Может ли покупатель расплатиться за покупку? А если у кассира только пятирублевые купюры?» Большой интерес, являющийся для учащихся стимулом для приобретения умений и навыков решения неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных и целых числах, вызывает, как правило, у учащихся VII класса следующая задача: «В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки три ножки, у каждого стула четыре ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, в комнате 39 «ног». Сколько стульев и табуреток в комнате?» (Если стульев х, табуреток у, то имеем уравнение 4х + 3у + 2 (х + у) = 39, откуда 5у = 39 – 6х, х = 4, у = 3.) Много интересных задач на соответствующую тематику имеется в журнале «Квант». Мы понимаем, конечно, что нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики. Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен, на наш взгляд, вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса. Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи, если интерес к решению задач у него есть и трудности решения его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшего решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи? Мы считаем, что не следует идти по самому легкому в этом случае пути — познакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении. Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач. В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения — критический анализ результата решения и отбор полезной информации. Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач. «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания… Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасом различных приемов решения задач. Если этот запас не велик (что

Украинский Зеленый Портал Рефератик создан с целью поуляризации украинской культуры и облегчения поиска учебных материалов для украинских школьников, а также студентов и аспирантов украинских ВУЗов. Все материалы, опубликованные на сайте взяты из открытых источников. Однако, следует помнить, что тексты, опубликованных работ в первую очередь принадлежат их авторам. Используя материалы, размещенные на сайте, пожалуйста, давайте ссылку на название публикации и ее автора.

Развитие продуктивного мышления на уроках математики - Педагогика - Скачать бесплатно