Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления - Менеджмент - Скачать бесплатно
серйозних, важливих та складних рішень.
Недоліки: потребує багато часу,
психологічної напруги та високої
кваліфікації виконавців.
[10, пер. з англ. Н.Д.]
Коли я зазначав про універсальність такої класифікації, я мав на увазі,
що незалежно від вибору будь-якого з вищеназваних методів, ОПР може
застосовувати методи класифікації нижчого ступеню (математичні,
статистичні, аналітичні, теоретико-ігрові тощо) в залежності від характеру
питання, яке вирішується.
Деякі науковці вважають, що не слід плутати саме методи прийняття
управлінських рішень з методами їх обгрунтування. Якщо дотримуватись такої
точки зору, то можна сказати, що вищеперелічені методи відносяться до
методів прийняття рішень (інколи їх ще називають стилями прийняття рішень),
а методи обгрунтування управлінських рішень використовують якісь
формалізовані моделі і мають іншу класифікацію. Посилаючись на лекцію №4
Соболя С.М. нижче приведена схема такої класифікації (Див. Рис.2). Згідно з
даною схемою методи обгрунтування управлінських рішень підрозділяються на
дві основні групи: кількісні та якісні методи. До якісних методів
відносяться лише експертні методи, а решта методів (класифікація за
ступенем визначеності) відноситься до кількісних. Якщо заторкнути тему
даної роботи, то виникає питання, які з цих методів прийнято вважати
математичними? В.М. Трояновський в своїй книзі “Математичне моделювання в
менеджменті” дає математичне обгрунтування для всіх методів прийняття
рішень.
(Рис. 2).
До математичних методів згідно його слів відносяться і експерті методи, і
статистичні, і методи прогнозування, і методи лінійного програмування та
багато інших. Всі вони будуть досконально розглянути в наступному пункті
плану. Поки що коротко розглянемо кожен з методів, вказаних на схемі.
o Аналітичні методи. Вони характеризуються тим, що встановлюють
аналітичні (функціональні) залежності між умовами вирішення задач
прийняття рішень та їх результатами. (Напр. методи економічного
аналізу діяльності фірм).
o Статистичні методи. Іх характерною рисою є врахування випадкових
впливів та відхилень. Ці методи дозволяють отримувати з накопичуваної
інформації, яка здається хаотичною, основні тенденції та
закономірності. Ця група охоплює методи теорії ймовірностей та
математичної статистики. Найбільш широко використовуються такі методи,
як кореляційний аналіз, факторний аналіз, дисперсійний аналіз, методи
статистичного контролю якості та надійності продукції.
o Методи математичного програмування. Застосовуються при рішенні умовних
екстремальних задач з багатьма змінними.
o Теоретико-ігрові методи та методи статистичних рішень. Теорія
статистичних рішень використовується, коли невизначеність ситуації
викликана об’єктивними обставинами, які або невідомі, або носять
випадковий характер. Метод теорії ігор використовується в тих
випадках, коли невизначеність ситуації викликана свідомими діями
розумного противника [4, Лекція №4].
До загального огляду методів обгрунтування управлінських рішень я хотів
би додати, що використання цих методів ще може залежати від технології, яку
застосовує ОПР при прийнятті рішень. На мою думку, якщо рішення приймається
за раціональною технологією або процесом (див. рис. 2), то тоді
використання вищеназваних методів буде доцільним. Навпаки, якщо при
прийнятті рішення використовується інтуітивна технологія (реєстрація змін
-> селекція рішень, що містяться в пам’яті суб’єкта управління -> прийняття
рішення) з точки зору поведінкової моделі або менеджер використовує
ірраціональну модель, то ці методи навряд чи знайдуть своє місце. Як при
використанні інтуітивної технології поведінкової моделі, так і при
використанні ірраціональної моделі, у менеджера не вистачить часу для
застосування вищевказаних методів, або якщо це стосуватиметься принципово
нових рішень, то може виявитися неможливість побудови моделі прийняття
рішень за якимось з цих методів.
Для кращого розуміння термінології слід вказати різницю понять моделі
та методу прийняття рішень. Модель – це все те, що образно представляє
якийсь об’єкт чи процес і використовується для аналізу або вивчення цього
об’єкту чи процесу. Наприклад: глобус – модель Землі, іграшкова машинка –
модель автомобілю, цільова функція – модель якогось економічного процесу
тощо. Що стосується поняття терміну “метод”, то це всі ті дії, які при
вивченні моделі застосовує людина для досягнення якогось результату.
Умовний приклад може бути наступним: “Менеджер побудував математичну модель
з проблемної ситуації. Він використовує симплекс-метод для знаходження
оптимального рішення – мінімізація витрат виробництва (результат
впровадження методу по конкретній моделі)”.
В загальновідомому підручнику “Основи менеджменту” автори дають
наступну класифікацію моделей прийняття управлінських рішень:
o Фізична модель;
o Аналогова модель;
o Математична модель.
По Мескону фізична модель представляє те, що досліджується, за
допомогою збільшеного чи зменшеного описання об’єкту або системи.
Автомільні та авіаційні підприємства завжди виготовляють фізичні зменшені
копії нових засобів пересування. Будучи точною копією, модель повинна
поводити себе аналогічно автомобілю чи літаку, що виготовляється, але при
цьому коштує вона значно менше. Таким самим чином будівельна компанія
завжди будує мініатюрну, перед тим як розпочати будівництво виробничого чи
адміністративного корпусу або складу.
Аналогова модель представляє об’єкт, що досліджується аналогом, який
поводить себе як реальний об’єкт, але не виглядає як такий. Приклад
аналогової моделі – організаційна схема. Вибудовуючи її, керівництво в
стані легко уявити собі ланцюги проходження команд і формальну залежність
між індивідами та діяльністю. Така аналогова модель звичайно більш простий
і ефективний спосіб сприйняття і прояву складних взаємозв’язків структури
великої організації, ніж, припустимо, складання переліку взаємозв’язків
всіх робітників. Інший приклад аналогової моделі – графік, що показує
залежність, між кількістю виробленої фарби та витратами з розрахунку на 1
галон) (див. рис. 3).
2,70
2,60
2,50
2,40
2,30
2,20
2,10
2,00
1000 2000 3000 4000 5000
6000 7000
Рис.3 – Аналогова модель.
[5, c.225].
Даний графік, що ілюструє саме аналогову модель, показує яким чином
рівень виробництва на підприємстві впливає на витрати.
Іншими за класифікацією йдуть математичні моделі. Але оскільки це
безпосередньо пов’язано з темою даної роботи, то про математичні моделі
більш детально буде викладено у відповідному розділі курсової роботи.
2. Математичні моделі і методи прийняття рішень.
Епоха застосування математичних моделей прийняття управлінських рішень
розпочалася після 2-ї світової війни. Поява та розповсюдження ЕОМ зробило
можливим використання математичних моделей для рішення економічних задач,
починаючи від перевезення одного продукту в масштабах району і закінчуючи
моделюванням національної економіки. Починають розроблятися моделі міст,
ринків , війн, так звані глобальні моделі розвитку всесвіту. Якщо модель
побудована і її створювачі вірять в її адекватність, то вона
використовується для вирішення різних задач – прогнозування, прийняття
простих і складних рішень. Як правило, застосування математичних моделей
пов’язане з використанням ОЕМ. Математичні моделі в теперішній час
претендують на роль універсального засобу вирішення будь-яких проблем.
В математичній моделі, яку інколи називають символічною,
викоритовуються символи для описання властивостей або характеристик об’єкту
чи події. Приклад математичної моделі і її аналітичної сили як засобу, що
допомагає нам зрозуміти виключно складні проблеми, - відома формула
Ейнштейна E=mc2 . Якби Ейнштейн не зміг побудувати цю математичну модель, в
якій символи замінюють реальність, малоймовірно, щоб у фізиків з’явилася
навіть віддалена ідея про взаємозв’язок матерії та енергії. Математичні
моделі відносяться до типу моделей, що найчастіше використовуються при
прийнятті організаційних рішень [5, с.226].
Для кращого розуміння сутності економічних моделей, я зроблю
деталізований огляд основних серед них з наведенням конкретних прикладів та
малюнків.
Як вже зазначалось вище, модель задачі прийняття рішень зводиться до
знаходження оптимуму. Серед оптимізаційних задач дуже відомими є задачі
лінійного програмування. Задачами лінійного програмування являються такі
оптимізаційні задачі, в котрих цільова функція і функціональні обмеження –
лінійні функції, що приймають будь-які значення з деякої множини значень.
Стандартна задача лінійного програмування записується у вигляді:
[pic][pic] (I)
В задачі лінійного програмування нестрогі функціональні нерівності
можна перетворити в строгі рівності, прибавивши невідомі невід’ємні
додаткові змінні. Звичайно, число невідомих і число рівнянь в системі може
бути різним. Але й в цьому випадку для системи рівнянь відомі можливі
варіанти: система може бути несумісною, тобто не мати рішень взагалі;
рішення може бути одне, але (!) це єдине рішення може виявитися
неприпустимим з-за наявності від’ємних компонент в рішенні; рішень може
бути нескінченно багато. Взагалі для єдиності рішення задачі лінійного
програмування не вимагається рівності числа змінних та числа обмежень. Для
задач лінійного програмування розроблені багаточисельні ефективні методи
вирішення і відповідне математичне забезпечення для різноманітних ситуацій
[8, с.22].
o Приклад.
Невелика сімейна фірма виробляє два широкопопулярних безалкогольних
напої – “Pink Fuzz” та “Mint Pop”. Фірма може продати всю продукцію,
котра буде вироблена, однак обсяг виробництва обмежений кількістю
основного інгридієнту та виробничою потужністю обладнання. Для
виробництва 1 л “Pink Fizz” потрібно 0,02 години роботи обладнання, а
для виробництва 1 л “Mint Pop” – 0,04 години. Витрати спеціального
інгридієнту складають 0,01 і 0,04 кг на 1 л “Pink Fizz” і “Mint Pop”
відповідно. Щоденно в розпорядженні фірми мається 24 години часу роботи
обладнання та 16 кг спеціального інгридієнту. Доход фірми складає 0,10
у.о. за 1 л “Pink Fizz” і 0,30 у.о. за 1 л “Mint Pop”. Скільки
продукції кожного виду слід виробляти щоденно, якщо мета фірми –
максимізація щоденного доходу?
Рішення.
Крок 1. Визначення змінних. В рамках заданих обмежень фірма повинна
прийняти рішення про те, яку кількість кожного виду напоїв слід
випускати. Нехай р – число літрів “Pink Fizz”, що виробляється за день.
Нехай m – число літрів “Mint Pop”, що виробляється за день.
Крок 2. Визначення цілі та обмежень. Ціль полянає в максимізації
щоденного доходу. Нехай Р – щоденний доход, у.о. Він максимізується в
рамках обмежень на кількість годин роботи обдаднанняі наявності
спеціального інгридієнту.
Крок 3. Виразимо ціль через змінні:
Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).
Це є цільова функція задачі – кількісне співвідношення, що підлягає
оптимізації.
Крок 4. Виразимо обмеження через змінні. Існують такі обмеження на
виробничий процес:
А) Час роботи обладнання. Виробництво р літрів “Pink Fizz” і m літрів
“Mint Pop” потребує (0,02 р + 0,04 m) годин щоденно. Максимальний час
роботи обладнання складає 24 год в день. Таким чином:
0,01 р + 0,04 m [pic] 24 год/день
Б) Спеціальний інгридієнт. Виробництво р літрів “Pink Fizz” і m літрів
“Mint Pop” потребує (0,01 р + 0,04 m) [pic] 16 кг/день.
Інших обмежень не має, але розумно передбачити, що фірма не може
виробляти напої у від’ємних кількостях , тому:
р[pic]0, m[pic]0.
Кінцеве формулювання задачі лінійного програмування має наступний
вигляд. Максимізувати:
Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).
при обмеженнях:
час роботи обладнання: 0,01 р + 0,04 m [pic] 24 год/день
спеціальний інгридієнт: 0,01 р + 0,04 m [pic] 16 кг/день.
р, m[pic]0. (3, с.402).
Різновидом задач лінійного програмування є транспортні задачі. Нехай
потрібно перевезти деяку кількість одиниць однорідного товару з різних
складів в декілька магазинів. Приймемо слідуючі позначення: k – число
складів, n – число магазинів, аі – кількість товару на і-ому складі, bj -
кількість товару, необхідного j-ому магазину, xij - кількість одиниць
товару, що перевозиться з і-го складу в j-ий магазин. Передбачається, що a1
+ … + ak = b1 + …bn і що відомі вартості cij перевезення одиниці товару з
і-го складу до j-го магазину (вважається, що загальна вартість перевезення
пропорційна загальному обсягу перевезення cijxij при перевезенні з і-го
складу до j-го магазину). Потрібно знайти такі обсяги перевезень, щоб F(x)
= (c11x11 + … + c1nx1n) + (ci1xi1 + … + cinxin) +
+ (ck1xk1 + … + cknxkn) -> min при обмеженнях:
[pic] (II).
Для нас важливим є те, що всі невідомі змінні входять до цільової функції,
а також в обмеження в першому ступені і являються неперервно знінюваними
величинами. Рівності n=k не вимагається.
Для розв’язку задач лінійного програмування використовується декілька
методів, серед яких найбільш розповсюдженими є симплекс-метод (складається
симплекс-таблиця, в якій за допомогою числа ітерацій методом Гауса-Жордана
знаходиться оптимальне значення цільової функції) та графічний метод.
На практиці в сферах фінансів, маркетингу, інвестування та інших дуже
часто виникає проблема раціонального розподілу якихось ресурсів
(капіталовкладень, товару тощо). Щоб прийняти вірне рішення щодо
оптимального розподілу ресурсів застосовується математична модель
динамічного програмування. Динамічне програмування використовується для
дослідження багатоетапних процесів. Стан системи, якою керують,
характеризується певним набором параметрів (фазовими координатами). Процес
переміщення в фазовому просторі розподіляють на ряд послідовних етапів і
здійснюють послідовну оптимізацію кожного з них, починаючи з останнього. На
кожному етапі знаходять умовно оптимальне управління при всеможливих
передбаченнях про результати попереднього кроку. Коли процес доходить до
вихідного стану, знову проходять всі етапи, але вже з множини умовних
оптимальних управлінь обирається одне найкраще [8, с.32]. В простому
випадку задача динамічного програмування може вирішуватися наступним
методом.
Нехай є n функцій з невід’ємними значеннями f1(x1), x1[pic] d1,...,
fn(xn), xn[pic] dn, де d1,…,dn – області визначення змінних. Потрібно
знайти максимум (або мінімум) F(x1,…,xn)=f1(x1) + … + fn(xn) при деяких
обмеженнях на змінні x1,…,xn. В найпростішому випадку обмеження одне ( не
враховуючи природньої вимоги невід’ємності змінних): x1+x2+…+xn=A. Схема
дій буде наступною: знаходимо F12(A)=max[f1(x)+f2(A-x)], далі
F123(A)=max[F12(x)+f3(A-x)] і т.ін., а в кінці кінців – max
F(x1,…,xn)=F12…n(A)=max[F12…n-1(x)+fn(A-x)].
o Приклад.
Нехай фірма має три торговельні точки, якусь кількість умовних одиниць
капіталу і знає для кожної точки залежність прибутку в ній від обсягу
вкладення певного капіталу в цю точку.
(Див. таблицю 1).
Таблиця 1:
Вихідні дані прикладу.
|Вкладення | 1 | 2 | 3 |
|0 |0 |0 |0 |
|1 |0,28 |0,25 |0,15 |
|2 |0,45 |0,41 |0,25 |
|3 |0,65 |0,55 |0,40 |
|4 |0,78 |0,65 |0,50 |
|5 |0,90 |0,75 |0,62 |
|6 |1,02 |0,80 |0,73 |
|7 |1,13 |0,85 |0,82 |
|8 |1,23 |0,88 |0,90 |
|9 |1,32 |0,90 |0,96 |
| | | | |
Як розпорядитися наявним капіталом так, щоб прибуток був максимальним ?
Звичайно, можна переглянути всі можливі комбінації розподілу капіталу,
скажімо при чотирьох одиницях капіталу:
(4,0,0), (0,4,0), (0,0,4); (3,1,0), (3,0,1); (2,2,0), (2,0,2), (2,1,1)
і т.ін.
Але якщо задана велика кількість змінних?... Для вирішення цієї задачі
можна використовувати динамічне програмування. Введемо наступні позначення:
F1(x), f2(x), f3(x) – функції прибутку в залежності від
капіталовкладень, тобто стовпці 2-4 (див. таб.1), F12(A) – оптимальний
розподіл, коли А одиниць капіталу вкладується в першу і лругу точки разом,
F123(A) – оптимальний розподіл капіталу величини А, що вкладається у всі
точки разом.
Наприклад,для визначення F12(2) треба знайти f1(0)+f2(2)=0,41,
f1(1)+f2(1)=0,53, f1(2)+f2(0)=0,45 і обрати з них максимальну, тобто
F12(2)=0,53. Взагалі F12(2)=max[f1(x)+f2(A-x)]. Обчислюємо F12(0), F12(1),
F12(2),…F12(9), котрі заносимо в таблицю 2 (див. таб.2).
Для А=4 можливі комбінації (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4),
котрі дають відповідно загальний прибуток: 0,78; 0,90; 0,86; 0,83; 0,65.
Більш детально отримання цих величин показано нижче.
Таблиця 2:
Розподіл капіталу між двома торговими точками.
|Вкладення |f1(x) |f2(x) |F12(A)|Оптимальний |
|(А) | | | |розподіл |
|0 |0 |0 |0 |0,0 |
|1 |0,28 |0,25 |0,28 |1,0 |
|2 |0,45 |0,41 |0,53 |1,1 |
|3 |0,65 |0,55 |0,70 |2,1 |
|4 |0,78 |0,65 |0,90 |3,1 |
|5 |0,90 |0,75 |1,06 |3,2 |
|6 |1,02 |0,80 |1,20 |3,3 |
|7 |1,13 |0,85 |1,33 |4,3 |
|8 |1,23 |0,88 |1,45 |5,3 |
|9 |1,32 |0,90 |1,57 |6,3 |
| | | | | |
F12(A)=max{f1(x)+f2(A-x)}
[pic]
[pic]
Тепер, коли фактично є залежність F12 від величини капіталу, що вкладується
у перші дві точки, можна шукати F123(A)=max[F12(x)+f3(A-x)].
Результати наведемо в таблиці 3. Більш детально отримання цих величин при
вкладенні капіталу в три точки показано в таблиці 4 для дев’яти одиниць
капіталу.
Таблиця 3:
Розподіл капіталу поміж трьома торговими точками.
|Вкладення (А)|F12(x) |f3(x) |F123(A) |Оптимальний |
| | | | |розподіл |
| | | | | |
|0 |0 |0 |0 |(0, 0, 0) |
|1 |0,28 |0,15 |0,28 |(1, 0, 0) |
|2 |0,53 |0,25 |0,53 |(1, 1, 0) |
|3 |0,70 |0,40 |0,70 |(2, 1, 0) |
|4 |0,90 |0,50 |0,90 |(3, 1, 0) |
|5 |1,06 |0,62 |1,06 |(3, 2, 0) |
|6 |1,20 |0,73 |1,21 |(3, 2, 1) |
|7 |1,33 |0,82 |1,35 |(3, 3, 1) |
|8 |1,45 |0,90 |1,48 |(4, 3, 1) |
|9 |1,57 |0,96 |1,60 |(5, 3, 1) або (3,|
| | | | |3, 3) |
Таблиця 4:
Розподіл дев’яти одиниць капіталу поміж
|
