«Методы решения нелинейных уравнений». КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Информатика и программирование». - Информатика - Скачать бесплатно
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Международная «Лига развития науки и образования» (Россия)
Международная ассоциация развития науки, образования и культуры России
(Италия)
Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»
(г. Архангельск)
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Информатика и программирование»
по теме: «Методы решения нелинейных уравнений»
+-----------------------------+
| Выполнил: студент |
| экономического факультета, |
| группы 14-И Дроздов А.Ю. |
| |
| Проверил: Горяшин Ю.В. |
+-----------------------------+
Архангельск
2005
Аннотация
В курсовой работе рассматриваются вопросы интерполяции с применением
формулы Ньютона. В работе предложены программы вычисления значения функции
в заданной точке, а также вычисления значения нелинейного уравнения
методом секущих написанных на языке программирования Тurbo С 2.0.
Содержание
Введение 4
1. Метод решения нелинейного уравнения методом секущих 7
1.1. Общая характеристика методов решения нелинейных уравнений 7
1.2. Метод секущих 10
1.3. Тестовый пример 12
1.4. Разработка алгоритма решения нелинейных уравнений 15
2. Вычисление значения функции при помощи интерполяционной формулы 16
2.1. Общая характеристика методов интерполяционной функции 16
2.2. Интерполяционная формула Ньютона 24
2.3. Тестовый пример 25
2.4. Разработка алгоритма и программы вычисления функции 26
Заключение 27
Список литературы 28
Приложение 1.1 29
Приложение 2.1 31
Введение
Целью курсовой работы является разработка программы решения нелинейных и
трансцендентных уравнений методом секущих - хорд. Программа включает и
учитывает многие новые возможности в программировании и практике создания
программ в среде программирования С.
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и
трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
1. Численные методы линейной алгебры
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений.
Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление
обратной матрицы. Метод квадратного корня.
Решение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами.
Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей.
Одношаговые итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений. Каноническая форма записи. Примеры одношаговых итерационных
методов. Достаточное условие сходимости.
Необходимое и достаточное условие сходимости одношаговых стационарных
итерационных методов. Теорема о сходимости одношаговых стационарных
итерационных методов. Оценка скорости сходимости. Неявный итерационный
метод с чебышевским набором параметров. Оценка скорости сходимости.
Численная устойчивость итерационного метода с чебышевским набором
параметров. Упорядоченный набор итерационных параметров (пример).
Одношаговые итерационные методы вариационного типа. Формула для вычисления
итерационного параметра.
Примеры итерационных методов вариационного типа (метод скорейшего спуска;
метол минимальных невязок; метод минимальных поправок; метод минимальных
погрешностей) . Каноническая форма записи двухшаговых итерационных методов
вариационного типа.
Примеры двухшаговых итерационных методов (метод сопряженных градиентов,
сопряженных невязок, сопряженных поправок, сопряженных погрешностей).
Полная и частичная проблема собственных значений.
Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений. Решение
полной проблемы собственных значений методом вращений. Метод обратной
итерации.
2. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений.
Решение нелинейных уравнений. Методы разделения корней. Примеры численных
методов решения нелинейных уравнений (метод простой итерации, метод
Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод секущих).
Сходимость метода простой итерации.
Метод Эйткена ускорения сходимости.
Сходимость метода Ньютона.
Решение систем нелинейных уравнений.
Примеры (применение метода простой итерации; сравнение скорости сходимости
метода простой итерации и метода Ньютона; применение метода Ньютона для
решения системы двух нелинейных уравнений).
3. Интерполяция и приближение функций.
Постановка задачи интерполирования алгебраическими многочленами.
Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона
(разделенные разности, схема Горнера).
Интерполирование с кратными узлами (существование и единственность
многочлена Эрмита, погрешность интерполирования с кратными узлами). Пример
(многочлен Эрмита третьей степени). Сходимость интерполяционного процесса.
Интерполирование сплайнами. Кубический сплайн. Наилучшее приближение
функции, заданной таблично (пример). Наилучшее приближение в гильбертовом
пространстве.
Глава 1. Метод решения нелинейного уравнения методом секущих
1.1. Общая характеристика методов
1. Условие задания
При заданных пяти вариантах допустимой ошибки е заданным численным методом
вычислить приближенное значение корня функционального уравнения вида f (х)
= 0, если известно, что это уравнение имеет единственный корень на отрезке
[а, b].
В проекте должно быть предусмотрено:
- построение графика функции f (х) на отрезке [а, b],
- проверка корректности введенных значений исходных данных (выполнение
условия а < b, выполнение условия е > 0),
- перехват и обработка ошибки времени выполнения, когда строку введенных
символов невозможно интерпретировать как число.
2. Содержание пояснительной записки
Пояснительная записка должна иметь титульный лист, оглавление, нумерацию
страниц, а также включать:
0х01 grарhiс
условие задачи;
0х01 grарhiс
условия заданного варианта задания;
0х01 grарhiс
описание заданного численного метода;
0х01 grарhiс
блок-схему алгоритма подзадачи вычисления корня;
0х01 grарhiс
программу процедуры вычисления корня;
0х01 grарhiс
главную программу;
0х01 grарhiс
результаты вычислений значения корня для заданных пяти вариантов
допустимой ошибки
Варианты численного метода:
1) метод простых итераций,
2) метод Ньютона,
3) метод проб,
4) метод секущих,
5) метод хорд.
Упрощенный метод Ньютона: 0х01 grарhiс
, n=0,1,…
Метод ложного положения: 0х01 grарhiс
, n=0,1,…;
с - фиксированная точка из окрестности корня
Метод секущих: 0х01 grарhiс
, n=0,1,…
Метод Стеффенсена: 0х01 grарhiс
, n=0,1,…
3. Описание Метод секущих
Метод секущих, так же, как и метод проб, использует не одно, а два
начальных приближения, которые мы обозначим соответственно х[n1] и х[n2].
Перед выполнением первой итерации воспользуемся правилом (6) для
определения значений этих приближений.
При выполнении каждой очередной итерации для вычисления следующего
приближения по методу хорд проведем прямую линию (секущую) МN через точки
с координатами (х[n1], f(х[n1])) и (х[n2], f (х[n2])), а абсциссу точки
пересечения секущей МN с осью х возьмем в качестве значения следующего
приближения х[s] к корню (рис. 3).
+------------------------------------------------------------------+
| 0х08 grарhiс |
| 0х08 grарhiс |
| 0х08 grарhiс |
| 0х01 grарhiс |
|------------------------------------------------------------------|
| Рис. 3. Графическая иллюстрация метода секущих |
+------------------------------------------------------------------+
Принятое правило нахождения следующего приближения приводит к расчетной
формуле:
Из трех приближений к корню оставим два последних (отбрасываем самое
старое х[n1]). В методе секущих это делается по следующему правилу:
х[n1] = х[n2]; х[n2] = х[s].
Выполнение итераций можно прекратить при выполнении условия
|х[n2] - х[n1]|< е,
а полученное значение приближения х[s] взять в качестве искомого значения
корня х[w].
Расчетные формулы должны быть применены в алгоритме вычисления корня по
методу секущих.
Обратим внимание на то, что формула имеет много общего с формулой Ньютона.
Знаменатель в формуле есть не что иное, как среднее значение производной
f^`(х) на отрезке [х[n1], х[n2]].
1.2. Метод секущих
Пусть на отрезке [а; b] отделен корень с уравнения f(х) = 0 и f-функция
непрерывна на отрезке [а; b], а на интервале ]а; b[ существуют отличные от
нуля производные f ' и f ”.
Так как f '(х) ** 0 , то запишем уравнение f(х) = 0 в виде :
х = х - ( f(х)/f '(х)) (1)
Решая его методом итераций можем записать :
хn+1 = х n- ( f(х n)/f '(х n)) (2)
Если на отрезке [а;b] f '(х) * f “(х) > 0, то нул - евое приближение
выбираем х0=а. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график
функции y=f(х). Пусть для определенности f `(х) > 0 и f “(х) > 0 (рис.
1).
Проведем касательную к графику функции в точке В(b,f(b)). Ее уравнение
будет иметь вид:
y = f(b) + f '(b) * (х -b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f '(х) ** 0, решаем его
относительно х. Получим :
х = b - (f (b) /f `(b))
Нашли абсциссу х1 точки с1 пересечения касательной с осью oх :
х1 = b - (f (b) - f ' (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (х1; f (х1)).Найдем
абсциссу х2 точки с2 пересечения касательной с осью Ох :
х2 = х1 - (f (х1)/( f '(х1))
Вообще :
хк+1=х к - (f(х к)/f '(х к)) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (хк) корня,
получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в
точке b к(х к;f(х к0) метод уточнения корня с [а;b] уравнения f(х) = 0 с
помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (х)
касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение х0 = а
или х0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х к
принадлежала интервалу ]а;b[ . В случае существования производных f ', f
”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка
[а;b], для которого выполняется условие f '(х0) * f (х0) > 0. Для оценки
приближения используется общая формула :
|с-х к-1 | ** | f (х к+1)/м| , где м = мinf'(х) на отрезке [а;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [а;b] выполняется условие 0 < м < | f (х)| и ** **
заданная точность решения, то неравенство | х к+1-х к| ** ** влечет
выполнение неравенства |с-х к-1| ** ** **
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор,
пока не выполнится неравенство :|с-х к-1| ** ** **
Упрощенный метод Ньютона: 0х01 grарhiс
, n=0,1,…
Метод секущих: 0х01 grарhiс
, n=0,1,…
1.3. Тестовый пример
Для заданного нелинейного уравнения вида f(х)=0 графическим или
аналитическим способом найти интервалы локализации корней, 5^х-3х-5=0
1. 5^х-3х-5=0; y=5^х y=3х-5
5^х=3х+5 х -2 -1 0 1 2 х -2 2
y 0,04 0,2 1 5 25 y -1 11
а. графический метод
Первое решение находится в интервале (-2;-1). Второе в интервале (1;2)
0х08 grарhiс
0х01 grарhiс
б) метод секущих
1) (-2;-1)
f(х)=5^х-3х-5
f(-2)=5^-2+6-5=1/25+1=26/25=1.04>0
f(-1)=5^-1+3-5=1/5-2=-1.8<0
х[1]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=-2-(-1+2)*1.04/-1.8-1.04=-1/6338<0
f(-1.6338)=5^-1.6338+3*1.6338-5=-0.0265<0
0х08 grарhiс
применим метод к промежутку (-2;-1.6338)
х[2]=-2-(-1.6429+2)*1.04/(-0.0002-1.04)=-1.64297
f(-1.64297)=5^-1.6338+3*1.64297-5=-0.00003
искомый корень: -1.6429
2) (-2;-1)
f(1)=5^1-3-5=-3<0
f(2)=5^2-3*2-5=25-11=14>0
х[1]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1-(2-1)*(-3)/-14+3=1+3/17=1.1765
f(1.1765)=5^1.1765+3*1.1765-5=-1.8869<0
0х08 grарhiс
(1.1765;2)
х[2]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.1765-(2-1.1765)*(-1.8869)/-14+-1.8869=1.2743
f(1. 2743)=-1.04795<0
0х08 grарhiс
(1.2743;2)
х[3]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.2743-(2-1.2743)*(-1.04795)/-14+-1.04795=1.3248
f(1. 3248)=-0.5411<0
0х08 grарhiс
(1.3248;2)
х[4]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3248-(2-1.3248)*(-0.5411)/-14+=-0.5411=1.3499
f(1. 3499)=-0.2688<0
0х08 grарhiс
(1.3499;2)
х[5]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3499-(2-1.3499)*(-0.2688)/-14+-0.2688=1.3621
f(1. 3621)=-0.1313<0
0х08 grарhiс
(1.3621;2)
х[6]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3621-(2-1.3621)*(-0.1313)/-14+-0.1313=1.3680
f(1. 3680)=-0.0635<0
0х08 grарhiс
(1.3680;2)
х[7]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3680-(2-1.3680)*(-0.0635)/-14+-0.0635=1.3709
f(1. 3709)=-0.0299<0
0х08 grарhiс
(1.3709;2)
х[8]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3709-(2-1.3709)*(-0.0299)/-14+-0.0299=1.3722
f(1. 3722)=-0.0148<0
0х08 grарhiс
(1.3722;2)
х[9]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3722-(2-1.3722)*(-0.0148)/-14+-0.0148=1. 3729
f(1. 3729)=-0.0067<0
0х08 grарhiс
(1.3729;2)
х[10]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3729-(2-1.3729)*(-0.0067)/-14+-0.0067=1.3732
f(1. 3732)=-0.0032<0
0х08 grарhiс
(1.3732;2)
х[11]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3732-(2-1.3732)*(-0.0032)/-14+-0.0032=1.3733
f(1. 3733) =-0.00199<0
0х08 grарhiс
(1.3733;2)
х[12]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3733-(2-1.3733)*(-0.00199)/-14+-0.00199=1.3734
f(1. 3734)=-0.0008<0
0х08 grарhiс
(1.3734;2)
х[13]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3734-(2-1.3734)*(-0.0008)/-14+-0.0008=1.37344
f(1. 37344)= -0.0004<0
0х08 grарhiс
(1.37344;2)
х[14]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.37344-(2-1.37344)*(-0.0004)/-14+-0.0004=1.3735
f(1. 3735)=-0.0003<0
0х08 grарhiс
(1.3735;2)
х[15]=а-(b-а)f(а)/f(b)-f(а)=1.3735-(2-1.3735)*(-0.0003)/-14+-0.0003=1.37347
f(1. 37347)=-0.000001<0
0х08 grарhiс
(1.37347;2)
искомый корень: 1.3734
1.4 Разработка алгоритма решения нелинейных уравнений в приложении 1.1
Глава 2. Вычисление значения функции при помощи интерполяционной формулы
2.1 Общая характеристика методов интерполяционной формулы
Основные направления исследования: разрешимость задачи интерполирования,
простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения
приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для
построения приближенных и численных методов решения различных задач
математики и ее приложений.
Приближенное представление функций. Интерпояционные функции 0х01 grарhiс
на отрезке 0х01 grарhiс
по значениям ее в узлах 0х01 grарhiс
сетка 0х01 grарhiс
- означает постоение другой функции 0х01 grарhiс
такой, что 0х01 grарhiс
В более общей постановке задача интерполирования функции 0х01 grарhiс
состоит в постоении 0х01 grарhiс
не только из условий совпадения значений функций 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
на стеке 0х01 grарhiс
, но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или
некоторых других соотношений, связанных 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
.
Обычно 0х01 grарhiс
стоится в виде
0х01 grарhiс
,
где 0х01 grарhiс
- некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое
интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы 0х01
grарhiс
, а 0х01 grарhiс
интерполяционным многочленом по системе 0х01 grарhiс
.
Выбор системы 0х01 grарhiс
определяется свойством класса функций, для приближения которого
предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения 0х01
grарhiс
- периодической функции на 0х01 grарhiс
за 0х01 grарhiс
естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на
полу оси 0х01 grарhiс
ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или
показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на
бесконечности и т.д.
Чаще всего используя а л г е б р а и ч е с к о е интерполирование: 0х01
grарhiс
. Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных
многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:
0х01 grарhiс
В задаче приближения функции и на всём отрезке 0х01 grарhiс
алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно
редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в
классе непрерывных на 0х01 grарhiс
функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам 0х01
grарhiс
и 0х01 grарhiс
на каждом отрезке 0х01 grарhiс
или квадратичным по трем узлам 0х01 grарhiс
,0х01 grарhiс
, 0х01 grарhiс
на отрезке 0х01 grарhiс
.
Эффективным аппаратом приближения функции являются интерполяционные
сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных
вычислительных затрат.
Полиномиальный интерполяционный сплайн произвольной степени м дефекта r
определяется как функция 0х01 grарhiс
, удовлетворяющая, кроме условий 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
, еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции
0х01 grарhiс
и интерполированной функции 0х01 grарhiс
и их производных до некоторого порядка.
Часто при обработке эмпирических данных 0х01 grарhiс
коэффициенты 0х01 grарhiс
в 0х01 grарhiс
определяют исходя из требования минимизации суммы
0х01 grарhiс
0х01 grарhiс
- заданные числа, 0х01 grарhiс
.
Такое построение функции называют интерполированием по методу наименьших
квадратов.
Интерполирование функций многих переменных имеет ряд принципиальных и
алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции
интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря,
не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В
частности для функций двух переменных 0х01 grарhiс
такой многочлен 0х01 grарhiс
суммарной степени не выше n может быть построен по узлам 0х01 grарhiс
лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка
n.
Другой поход к интерполированию функции многих переменных 0х01 grарhiс
стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной 0х01
grарhiс
при фиксированных 0х01 grарhiс
потом по следующей переменной при фиксированных 0х01 grарhiс
и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются
по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с
одномерным случаем.
Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции
используется:
1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще
2. для приближенного восстановления функции на всей области задания по
значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам
3. для получения сглаживающих функций
4. для приближенного нахождения предельных значений функции
5. в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других
вопросах.
Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения 0х01
grарhiс
=0 и систем уравнения 0х01 grарhiс
, одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих
преременных особенно сказывается при исследовании и практическом
использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу
получении интерполяционных методов решения уравнения 0х01 grарhiс
=0 положена замена функции 0х01 grарhiс
ее интерполяционным многочленом 0х01 grарhiс
и последующим решением уравнения 0х01 grарhiс
=0 берутся за приближенные решении уравнения 0х01 grарhiс
=0 интерполяционный многочлен 0х01 grарhiс
используется так же при построении итерационных методов решения уравнения
0х01 grарhiс
=0.
Например взяв за 0х01 grарhiс
корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена,
построенного по значениям 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
в узле 0х01 grарhiс
или по значениям 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
в узлах 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
, приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих
0х01 grарhiс
,
где 0х01 grарhiс
- разделенная разность функций для узлов 0х01 grарhiс
и 0х01 grарhiс
.
Другой подход к построению численных методов решения уравнения 0х01
grарhiс
=0 основан на интерполировании обратной функции 0х01 grарhiс
. Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции 0х01 grарhiс
взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа 0х01 grарhiс
, построенный по узлам 0х01 grарhiс
Тогда за следующее приближению к корню 0х01 grарhiс
уравнения 0х01 grарhiс
=0 берется величина 0х01 grарhiс
.
Численное интегрирование. Аппарат интерполирования функции лежит в основе
построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы
строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на её
составных частях интерполяционными многочленами того или иного вида и
последующим интегрированием этих многочленов. Например квадратурные
формулы наивысшей алгебраической степени точности, так называемые
квадратурные формулы Гаусса:
0х01 grарhiс
где 0х01 grарhiс
- знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции
0х01 grарhiс
интерполяционным алгебраическим многочленом, построенным по корням 0х01
grарhiс
ортогонального относительно веса 0х01 grарhiс
многочлена степени n.
Изложенная выше схема построения формул для приближенного вычисления
интегралов применима и в многомерном случае
Формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит
интерполирование, получаются в результате дифференцирования
интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости задачи численнго
дифференцирования относительно ошибок использования значений функций в
узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью значений
функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой
сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более
редкой сетке.
При численном решении интегральных уравнений, известная функция 0х01
grарhiс
заменяется в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным
приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом,
интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования 0х01 grарhiс
, а приближенные значения 0х01 grарhiс
для 0х01 grарhiс
находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости
переменной х узлов интерполирования 0х01 grарhiс
. В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения 0х01
grарhiс
находятся соответственно из нелинейной системы.
Интерполяционная формула- для приближенного вычисления значений функции
0х01 grарhiс
, основанного вычисления на замене приближаемой функции 0х01 grарhiс
более простой в каком- то смысле функцией
0х01 grарhiс
+----------------------------------------------------------------------+
| 0х01 grарhiс | 0х01 grарhiс |
+----------------------------------------------------------------------+
наперед заданного класса, причем параметры 0х01 grарhiс
выбираются так чтобы значения 0х01 grарhiс
совпадали с известными заранее значениями 0х01 grарhiс
для данного множества 0х01 grарhiс
попаро различных значений аргумента:
такой способ приближенного представления функций называется
интерполированием, а точки 0х01 grарhiс
, для которых должны выполняться условия 0х01 grарhiс
, - узлами интерполяции.
В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими
многочленами) параметры 0х01 grарhiс
могут быть явно выражены из системы 0х01 grарhiс
, и тогда 0х01 grарhiс
непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции
0х01 grарhiс
.
Интерполяционный процесс - процесс получения последовательности
интерполирующих функций 0х01 grарhiс
при неограниченном возрастании числа n узлов интерполирования. Если
интерполирующие функции 0х01 grарhiс
представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то
последний иногда называется интерполяционным рядом. Целью построения
интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в
простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком-
то смысле по средствам интерполирующих функций 0х01 grарhiс
, о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком
сложна для непосредственного использования.
Интерполяционная формула Эверетта: Интерполяционные формулы Грегори-
Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее
целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для
достижения высокой степени точности иногда приходится рассматривать
разности, отстоящие достаточно далеко от интересующих нас значений функции
0х01 grарhiс
или 0х01 grарhiс
. Поэтому на средних участках таблицы лучше результаты дают
интерполяционные формулы, построенные на базе центральных разностей, то
есть разностей, которые ближе
|
