«Методы решения нелинейных уравнений». КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Информатика и программирование». - Информатика - Скачать бесплатно
всего расположены к центральной сотке,
содержащей 0x01 graphic
.
К интерполяционным формулам с центральными разностями относятся формулы
Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта и многие другие; формула Эверетта
получила наибольшее распространение, она была получена 1900 г.:
0x01 graphic
где 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.
Формуле Эверетта так же можно придать форму, наиболее удобную для
вычисления:
0x01 graphic
если для ее коэффициентов ввести обозначения
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
Коэффициенты 0x01 graphic
удобнее всего вычислять по следующей рекуррентной формуле, которая
непосредственно вытекает из 0x01 graphic
:
0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
2.2. Интерполяционная формула Ньютона
Если точки x0, x1, ..., xn расположены на равных расстояниях (xk = x0 +
kh), многочлен Pn(x) можно записать так:
0x01 graphic
(здесь x0 + th = х, а Dk — разности k-го порядка: Dk yi = Dk — 1 yi +1 —
Dk — 1yi).
Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название
формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у,
соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x0. Эта
формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x0.
При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу
хn, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При
интерполировании функций для значений x, близких к xk, формулу Ньютона
целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта.
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для
этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где
каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы
Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых
узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество
формулы Ньютона).
2.3. Тестовый пример
Для функции заданной в таблице построить первый интерполяционный член и
вычислить по нему приближенно значение в точке х=2.98
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+
| X[i | ]2.95 | 2.97 | 2.99 | 3.01 | 3.03 | 3.05 | 3.07 | 3.09 |
3.11 | 3.13 |
|-----+---------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+-------+--------+--------|
|]Y[i | 113.84 | 119.68 | 106.28 | 120.68 | 107.43 | 114.88 | 115.53 | 117.4 |
120.21 | 118.74 |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+
X=2.98
+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
|X[i |Y[i |Deltay[i |Delta^2y[i |Delta^3y[i |Delta^4y[i
|Delta^5y[i |Delta^6y[i |Delta^7y[i |Delta^8y[i |Delta^9y[i |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|]2.95 |]113.84 | | | | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |]5.82 | | | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|2.97 |119.68 | |]-19.2 | | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |-13.82 | |]46.98 | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|2.99 |106.28 | |27.78 | |]-102.4 |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |14.4 | |-55.4 | |]206.19
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.01 |120.68 | |-27.6 | |103.78 |
|]-385.8 | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |-13.2 | |48.35 | |-179.6
| |]675.8 | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.03 |107.43 | |20.7 | |-75.85 |
|291 | |]-1121 | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |7.45 | |-27.5 | |11.37
| |-446 | |]1170 |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.05 |114.88 | |-6.8 | |35.52 |
|-155.1 | |648.3 | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |0.65 | |8.02 | |-43.79
| |202.1 | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.07 |115.53 | |1.22 | |-8.27 |
|47 | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |1.87 | |-0.25 | |3.21
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.09 |117.4 | |0.97 | |-5.05 |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |2.84 | |-5.31 | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.11 |120.21 | |-4.34 | | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
| | |-1.5 | | | |
| | | | |
|-------+--------+-----------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------|
|3.13 |118.74 | | | | |
| | | | |
+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
X[0]=2.97 , h=0.02
q=x-x[0]/h=2.98-2.97/0.02=0.01/0.02=0.5
y(x)=y[0]+qDeltay+q)q-1)/2!*Delta^2y[0]+q(q-1)(q-2)/3!*Delta^2y[0]+…+q(q-1)…(q…n+1)/n!*Delta^ny[0
]y(2.98)=119.66+0.5(-13.38)+0.5(0.5-1)/1*2*27.78+0.5(0.5-1)(0.5-2)/1*2*3*(-55.43)+0.5(0.05-1)(0.5-2)(0.5-3)/1*2*3*4*103.78+0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)/1*2*3*4*5*(-179.63)+
0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)(0.5-5)/1*2*3*4*5*6*291+0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)(0.5-5)(0.5-6)/1*2*3*4*5*6*7*(-446.16)+0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)(0.5-5)(0.5-6)(0.5-7)/1*2*3*4*5*6*7*8*648.32=75.422
2.4. Разработка алгоритма и программы вычисления функции в приложении 2.1
Заключение
Удалось разработать программу решения нелинейных и трансцендентных
уравнений методом секущих - хорд. Программа включает и учитывает многие
новые возможности в программировании и практике создания программ в среде
программирования С.
В процессе создания программы и последующего тестирования было устранено
большинство ошибок при трансляции, запуске и использовании программного
продукта, поэтому данная программа, реализующая алгоритм решения системы
линейных уравнений методом секущих - хорд, вполне может быть применена в
более крупных проектах по реализации нескольких математических методов
решения тех или иных задач. Интерфейс программы удобен и элементарно прост
в обращении даже для тех, кто в первый раз имеет дело с подобным типом
программ.
Список литературы
1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах.
М.: МАИ, 1976.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. М.:
Наука,1988.
3. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в
математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика,
1999.
4. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка,
1974.
5. Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наукова думка, 1976.
6. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004
7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:
Наука, 1970.
8. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука,
1984.
9. Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука, 1987.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.
Приложение 1.1.
#include
#include
double f(double x)
{
return 5^x-3*x-5;
}
double findRootChord (double a,
double b,
double eps,
long max_step,
double (&f)(double))
{
double f_a = f(a);
double f_b = f(b);
double xn;
for(long k=0; k<0)
{
a = xn; f_a = f_xn;
}
else
{
b = xn; f_b = f_xn;
}
}
return xn;
}
void main()
{
clrscr();
cout.precision(6);
cout.setf(ios::fixed|ios::showpoint);
double x = findRootChord(-10,1,.0000001,10000,f);
cout<<"x = "<<<"f(x) = "<<
#include
float FileFunction()
{ float h;
FILE *in;
in=fopen("spisok.txt","r");
for (;!feof(in);)
{
w_f=(struct files *)malloc(sizeof(struct files));
if(l_f==NULL) {l_f=w_f;}
else {r_f->radr=w_f;}
fscanf(in,"%f",&w_f->x);
fscanf(in,"%f",&w_f->y);
r_f=w_f;
}w_f=l_f;
fclose(in);
w_f=l_f->radr;
h=(w_f->x)-(l_f->x);
return h;
}
void TableMin()
{
float s,s1,p;
do
{
s=w_f->y;
w_f=w_f->radr;
s1=w_f->y;
p=s1-s;
w_msp=(struct msp *)malloc(sizeof(struct msp));
w_fll=(struct fll *)malloc(sizeof(struct fll));
if(l_msp==NULL){l_msp=w_msp;}
else{r_msp->radr1=w_msp;}
if(l_fll==NULL){l_fll=w_fll;}
else{r_fll->radr2=w_fll;}
w_fll->a=p;r_fll=w_fll;
w_msp->z=p;r_msp=w_msp;
}
while(w_f!=r_f);
w_msp=l_msp;
return;
}
void TableMax()
{
float p,s,s1,i,c;
for(i=1;i<=8;i++)
{c=w_msp->z;
l_msp=NULL;
do
{
s=c;
w_msp=w_msp->radr1;
c=w_msp->z;
s1=w_msp->z;
p=s1-s;
w_fll=(struct fll *)malloc(sizeof(struct fll));
r_fll->radr2=w_fll;
w_fll->a=p;r_fll=w_fll;
r_msp->radr1=w_msp;
if(l_msp==NULL){w_msp->z=p;l_msp=w_msp;}
else{w_msp->z=p;}
}while(w_msp!=r_msp);
r_msp=w_msp;
w_msp=l_msp;
}
return;
}
float UX(float x,float h)
{
float u,u1;
int i=1;
w_f=l_f;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
i=(i/2);
for(w_f=l_f;i>=1;i--){w_f=w_f->radr;}
u=(x-(w_f->x))/h;
w_u=(struct u *)malloc(sizeof(struct u));
l_u=w_u;
w_u->u=u;
r_u=w_u;
for(i=1;i<=3;i++)
{
u1=-(i*i-u*u)/((i*2)*((i*2)+1));
u1=u1*(w_u->u);
w_u=(struct u *)malloc(sizeof(struct u));
r_u->uadr=w_u;
w_u->u=u1;
r_u=w_u;
}
return u;
}
float VX(float u)
{
float v1,v,i;
v=1-u;
w_v=(struct v *)malloc(sizeof(struct v));
l_v=w_v;
r_v->vadr=w_v;
w_v->v=v;
r_v=w_v;
for(i=1;i<=4;i++)
{
v1=-(i*i-v*v)/((i*2)*((i*2)+1));
v1=v1*(w_v->v);
w_v=(struct v *)malloc(sizeof(struct v));
r_v->vadr=w_v;
w_v->v=v1;
r_v=w_v;
}
return 1;
}
float Summa()
{
int j,i=1;
float s,s1,p;
w_f=l_f;
w_fll=l_fll;
w_u=l_u;
w_v=l_v;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
i=(i/2);
for(w_f=l_f;i>=1;i--){w_f=w_f->radr;}
s=(w_f->y)*(w_v->v);
w_f=w_f->radr;
s1=(w_f->y)*(w_u->u);
w_f=l_f;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
i++;
j=i;
do
{
if(i==0){j--;}
i=j;
j=i-1;
i=j;
for(;i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
i=j;
for(i=((i/2)-1);i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
w_v=w_v->vadr;
s=s+(w_fll->a)*(w_v->v);
i=j;
for(i=((i/2));i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
}while(w_fll!=r_fll);
w_fll=l_fll;
w_f=l_f;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
j=i;
w_u=l_u;
do
{
j=i;
for(;i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
i=j-1;
for(i=((i/2)+1);i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
w_u=w_u->uadr;
s1=s1+(w_fll->a)*(w_u->u);
i=j-1;
j=0;
i=i-1;
for(i=((i/2));i>=1;i--,j++){w_fll=w_fll->radr2;}
i=j*2;
}while(w_u!=r_u);
p=s1+s;
return p;
}
void main()
{
float p,u,h,x;
l_msp=NULL;l_fll=NULL;l_f=NULL;
w_u=NULL;r_u=NULL;l_u=NULL;
w_v=NULL;r_v=NULL;l_v=NULL;
h=FileFunction();
w_f=l_f;
TableMin();
TableMax();
printf("\n BBEDuTE X=");
scanf(" %f",&x);
u=UX(x,h);
VX(u);
p=Summa();
printf("\nOTBET: %3.4f",p);
getch();
}
0x08 graphic
0x01 graphic
3
+----+
|x* |
+----+
+-----+
|]x[s |
+-----+
+-------+
|]x[n2 |
+-------+
+-------+
|]x[n1 |
+-------+
+----+
|N |
+----+
+---+
|М |
+---+
+---+
|x |
+---+
+---+
|y |
+---+
+------+
|y = |
|f(x) |
+------+
+---+
|b |
+---+
+---+
|a |
+---+
10
-2
-1
2
1
y=5^x
y=3x-5
B
A
Конец
«OTBET: »
p
p=Summa();
VX(u);
u=UX(x,h);
x
BBEDuTE X=
TableMax();
TableMin();
w_f=l_f;
h=FileFunction();
l_msp=NULL;l_fll=NULL;l_f=NULL;
w_u=NULL;r_u=NULL;l_u=NULL;
w_v=NULL;r_v=NULL;l_v=NULL;
Начало
Начало
Конец
Вывод значения x на печать
Abs(b-x) меньше заданной точности
Расчет следующего значения X= x по формуле:
x=a-f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a))
Процедура для расчета значения заданной функции Y = y при значении X = x
Расчёт значения Y = c при некотором значении X = a
Сохранение предыдущего значения x в переменной b
Выбор значения Х = x
|
