1.Вступ
2. Основні припущення моделі Друде.
3. Статична електропровідність металу.
4. Ефект Холла і магнетоопір
5. Високочастотна електропровідність металу.
6. Теплопровідність металу.
1. Вступ.
Метали займають особливе положення у фізиці твердого тіла, виявляючи ряд вражаючих властивостей, відсутніх у інших твердих тіл (таких, як кварц, сіль). Всі вони – чудові провідники тепла і струму, володіють пластичністю, блистять на свіжому зрізі. Необхідність пояснення таких властивостей стимулювала створення сучасноі теорії твердого тіла.
Хоча більшість твердих тіл не являються металами, проте, з кінця XIX ст. до сьогодні метали відіграють важливу роль в теорії твердого тіла. Виявилося, що металічний стан є одним із важливих станів речовини. Наприклад, хімічні елементи явно переважають у металічному стані: більш ніж дві третіх з них метали. Навіть для пояснення властивостей неметалів необхідно зрозуміти властивості металів: лише пояснивши, чому мідь є таким добрим провідником можна зрозуміти чому ним не є звичайна сіль.
Останні сто років фізики намагаються побудувати прості моделі металічного стану, які б дозволили якісно і навіть кількісно пояснити характерні металічні властивості. У ході цих пошуків надзвичайні успіхи супроводжувалися, здавалося, безнадійними поразками. Навіть найперші моделі, хоча вони зовсім невірні у багатьох відношеннях, при правильному їх використанні і тепер цікавлять фізиків, які займаються дослідженнями твердого тіла.
У подальшому розглядається теорія провідності металів, запропонована Друде на початку XX століття. Успіхи моделі Друде були значними, вона і по сьогодні часто застосовується, оскільки дає можливість швидко побудувати наочну картину і отримати грубі оцінки характеристик, більш точне визначення яких вимагало складного аналізу. Однак, модель Друде не могла пояснити деякі експерименти і крім того приводила до багатьох труднощів, з якими теорії металів випало мати справу у наступну чверть століття. Вони найшли своє розв’язання лише після створення складної і тонкої теорії твердого тіла.
2. Основні припущення моделі Друде.
У 1897 році Томсон відкрив електрон. це відкриття мало великий і безпосередній вплив на теорію матерії і дозволило також пояснити теорію провідності металів. Через три роки після відкриття Томсона Друде розробив свою теорію електро- та теплопровідності. При цьому він розглядав електрони в металі як електронний газ і застосував до нього кінетичну теорію газів, яка виявилася дуже життєдайною. У кінетичній теорії, у її найпростішій формі, вважають, що молекули газу являють собою однакові тверді сфери, які рухаються прямолінійно доти, поки не зіткнуться одна з одною. Припускається, що тривалість окремого зіткнення дуже мала і що між молекулами не існує ніяких інших сил, окрім виникаючих у момент зіткненя.
У простих газах є частинки одного виду, а в металах їх повинно бути по крайній мірі двох: електрони заряджені негативно, а метал в цілому електро нейтральний. Друде припустив, що компенсуючий позитивний заряд належить тяжчим частинкам, які, як він вважав, є нерухомими. У той час, однак ще не розуміли точно, чому в металі наявні легкі рухомі електрони і більш важкі нерухомі позитивно заряджені іони. Вирішення цієї проблеми стало одним із фундаментальних досягнень сучасної квантової теорії твердого тіла. При обговоренні моделі Друде нам буде достатньо просто припустити (для багатьох металів, до речі, це припущення виправдане), що коли атоми металічного елемента об’єднуються, утворюючи метал ,валентні електрони звільнюються і одержують можливість вільно переміщатися в металі, в той час як металічні іони залишаються незмінними і відіграють роль нерухомих позитивних частинок теорії Друде. мал. 1
а) схематичне зображення ізольованого атома
б)у металі ядро і іонне осердя зберігають ту ж конфігурацію, що і
 в ізольованому атомі, а валентні електрони залишають атом
і утворюють електронний газ.
 Кожен окремий атом металічного елемента має ядро із зарядом еZа, де Zа-атомний номер, е-величина заряду електрона (е=1.6*10-19Кл). Навколо ядра розміщено Zа електронів із повним зарядом –еZа. Деяке число Z із них - це слабо зв’язані валентні електрони. Решта Zа-Z електронів достатньо сильно зв’язані із ядром; вони відіграють меншу роль у хімічних реакціях і називаються електронами атомного осердя. Коли ізольовані атоми об’єднуються, утворюючи метал, електрони атомного осердя залишаються зв’язаними з ядрами, тобто, виникають металічні іони. Валентні електрони, навпаки, набувають можливості далеко відходити від „батьківських” атомів. У металах ці електрони називаються електронами провідності. До такого ”газу”, що складається із електронів масою m, які (на відміну від молекул звичайного газу) рухаються на фоні тяжких нерухомих іонів, Друде застосував кінетичну теорію. Густину електронного газу можна обрахувати наступним чином: металічний елемент містить 0.6022*10 -24 атомів на 1 моль (число Авогадро) і gm/А молей на 1 см3,де gm-масова густина (у г/см3 ),а А-відносна атомна маса. Оскільки внесок кожного атома дорівнює Z електронів, число електронів на 1 см3,n=N/V, є
n=0.6022*1024 ρm *Z/A (1)
Зазвичай густини електронів провідності мають порядок 1022 е- на 1см3 і змінюються від 0.91*1022 для цезію до 24.7*1022 для берилію. Також введена така величина ,як міра густини е-, rs-радіус сфери, об’єм якої дорівнює об’єму, що приходиться на один електрон провідності. Таким чином:
Густина газу електронів провідності приблизно в 1000 раз більша, ніж густина класичного газу при нормальній t і p. Не вважаючи на те і не дивлячись на наявність сильної електрон-електронної і електрон-іонної взаємодії в моделі Друде для розгляду електронного газу в металах майже без змін застосовуються методи кінетичної теорії нейтральних розріджених газів. Існують основні припущення теорії Друде:
В інтервалі між зіткненнями не враховується взаємодія е- з іншими електронами та іонами. Тобто, за відсутності зовнішніх електромагнітних полів кожен електрон рухається прямолінійно з постійною швидкістю. Потім вважають, що за присутності зовнішніх полів е- рухається у відповідності із законами Ньютона; при цьому враховують вплив тільки тих полів, нехтуючи складними додатковими полями, що породжується іншими е- та іонами. Наближення в якому нехтують електрон-електронною взаємодією у проміжках між зіткненням відомо під назвою наближення незалежних електронів. Відповідно, наближення, в якому нехтують електрон-іонною взаємодією називається наближенням вільних електронів. Потім виявиться, що наближення незалежних електронів є успішним у багатьох відношеннях, тоді як від наближення вільних е- приходиться відмовитися, навіть якщо ми хочемо досягнути лише якісного розуміння поведінки металів.
В моделі Друде, як і в кінетичній теорії, зіткнення - це миттєва подія, що раптово змінює напрям швидкості е-. Друде пов’язував їх з тим, що е- відбиваються від непроникних осердь іонів (він не вважав їх електрон-електронним зіткненням по аналогії із домінуючим механізмом зіткнення у звичайному газі). Далі виясниться, що при звичайних умовах розсіювання е- на е- дійсно являється одним із найменш істотніх механізмів розсіювання в металі. Однак, проста механічна модель (мал. 2), згідно якої е- відскакує від іона , дуже далека від дійсності. Мал.2 Траєкторія руху електронів провідності ,що розсіюються на іонах, у відповідності із наївними уявленнями Друде.
Траєкторія електронів провідності, що розсіюється на іонах, у відповідності із наївними уявленнями Друде.
У багатьох задачах це не важливо: для якісного дослідження (і навіть для кількісного) поняття провідності металів достатньо просто припустити існування якогось механізму розсіювання, не вияснюючи, який саме той механізм. Використовуючи в аналізі лише декілька загальних властивостей процесу зіткнення, ми можемо не зв’язувати себе конкретною картиною зіткнення. Ці загальні характерні риси описуються наступними припущеннями :
Будемо вважати, що за одиницю часу е- відчуває зіткнення ( тобто, раптово змінює швидкість ) із ймовірністю, яка дорівнює 1/τ. Мається на увазі, що для е- ймовірність випробовувати зіткнення протягом нескінченно малого проміжку часу
dt=dt/τ
Час τ називається часом релаксації або часом вільного пробігу; воно відіграє фундаментальну роль в теорії провідності металів. Із цього припущення випливає, що е-вибраний навмання у цей момент часу, буде рухатися в середньому протягом часу τ не залежить від просторового положення е- і його швидкості (ця гіпотеза справді хороша).
Припускається, що е- приходять в стан теплової рівноваги із своїм оточенням виключно завдяки зіткненням. Вважається, що зіткнення підтримують локальні термодинамічні рівноваги надзвичайна простим способом
Швидкість е зразу після зіткнення не зв’язана з швидкістю до зіткнення, а направлена випадковим чином, причому її величина відповідає тій температурі, яка переважає в області, де проходило зіткнення. Тому чим гарячішою буде область, де проходить зіткнення, тим більшою швидкістю володіє електрон після зіткнення. У наступній частині-ілюстрація цих положень.
3. Статична електропровідність металу.
У відповідності із законом Ома струм I через провідник обернено пропорційний опору R провідника прямо пропорційний напрузі U вздовж провідника:
U=I/R
Опір провідника R залежить від його розмірів, але не залежить від величини струму або падіння напруги. Модель Друде дозволяє пояснити таку залежність і оцінити величину опору.
Зазвичай залежність R від форми провідника забирають ,вводячи нову величину, що характеризує лише сам метал, із якого зроблений провідник. Питомий опір ρ визначається як коефіцієнт пропорційності між напруженістю електричного поля
Е в деякій точці металу і визнаною ним густиною струму:
Е=j/ρ (3)
Густина струму j –це вектор ,паралельний потоку зарядів, його величина дорівнює кількості заряду, що проходить за одиницю часу через одиничну площадку перпендикулярну до потоку. Тому, якщо через провідник довжиною і площиноюпоперечного перерізу S йде постійний струм I, то густина струму дорівнює:
j=I/S
Так, як падіння напруги на провіднику:
U=Е/L
то з формули (3) випливає, що:
U=(I/L/g)/S і як наслідок
R=(L/g)/S
Якщо всі n e- в одиниці об’єму рухаються з однаковою швидкістю Vc, то густина струму паралельна Vc. Далі за час dt е- змістяться на відстань Vdt у напрямку Vc, тому за цей час площину S перпендикулярну до напрямку струму перетнуть n(Vdt) S електронів. Так як кожний електрон несе заряд –е ,повний заряд,що перетинає S за час dt становить –neVSdt і як наслідок, густина струму :
J=-enVc (4)
У довільній точці металу електрони завжди рухаються у найрізноманітніших напрямках і володіють різними тепловими швидкостями. Сумарна густина струму, що виражається формулою (4), де Vc –середня швидкість електронів. За відсутності електричного поля всі напрямки руху електронів рівноймовірні і середнє значення Vc перетворюється в 0, а відповідно сумарна густина струму теж дорівнює 0.За присутності поля Е середня швидкість електронів відмінна від 0 і напрямлена протилежно до поля( так як заряд е- від’ємний)Цю швидкість можна знайти таким чином:
Розглянемо довільний електрон в нульовий момент часу.
Нехай t- це час, що пройшов після його останнього зіткнення. Швидкість даного електрона в нульовий момент часу буде дорівнювати його швидкості V0 безпосередньо після зіткнення плюс додаткова швидкість -еЕt/m, яку електрон набув після зіткнення. Так як ми припускаємо,що після зіткнення швидкість електрона може мати довільний напрямок,внесок від V0 в середню швидкість електрона дорівнює середньому значенню величини –еЕt/m. Однак, середнє значення t дорівнює часу релаксації τ.Тому маємо:
 V=-eEτ/m ; J=(ne²τ/m)E (5)
Цей результат зазвичай формулюють, використовуючи характеристику, обернену питомому опору, - провідність
σ=1/g
 J=σE; σ=ne2τ/m (6)
Таким чином, ми отримали лінійну залежність J від Е і найшли для провідності σ вираз,в який входять лише відомі величини і час релаксації τ. Як наслідок, використовуючи (6 ) і дослідні значення питомого опору можна визначити, скажімо величину часу релаксації:
τ=m/nge²
Питомий опір дуже залежить від температури. При кімнатній температурі питомий опір залежить від температури приблизно лінійно, але при досягненні низьких Т він різко зменшується. Таким чином, при кімнатній температурі питомі опори зазвичай мають порядок одного мікроом-сантиметра. Якщо gμ-питомий опір, виражений в мкОм/см, співвідношення (7) для часу релаксації зручно записати у вигляді:
τ=(0.22/gμ)(rs/a0)3·10-14c. (8)
Отже, при кімнатній температурі τ виявляється порядку
10-14-10-15 с. Щоб зрозуміти, чи є це розумним значенням , корисно розглянути середню довжину вільного пробігу l=V0*t, де V0 –середня швидкість електрона. Довжина l характеризує середню відстань, що проходить е- між зіткненнями. У часи Друде було очевидно оцінювати V0 виходячи із класичного закону рівномірного розподілу енергії за степенями вільності:
½ mV0 ²=3/2kвT
Підставляючи сюди відому масу електрона знаходимо, що V0 має порядок 107 см/с при кімнатній температурі і, як наслідок, довжина вільного пробігу становить від 1 до 10Ǻ. Так як ця відстань порівняно з міжатомною, результат повністю узгоджується з припущеннями Друде про те, що зіткнення пояснюється співударом електронів з великими важкими іонами. Однак, в подальшому ми побачимо, що класична оцінка при кімнатній температурі дає значення V0 на порядок величини меньше дійсного( реального). Крім того ,при найбільш низьких температурах τ на порядок величини більший,ніж при кімнатній температурі. Оскільки V0 в дійсності не залежить від температури (це показано далі), то виявляється, що при низьких температурах довжина вільного пробігу може зрости до 103 і більше Ǻ, тобто, в 1000раз перевищувати міжіонною відстань. Зараз, працюючи при достатньо низьких Т із ретельно приготованими зразками, можна досягнути середніх довжин вільного пробігу порядку 1 см (тобто, біля 108 міжіонних відстаней). Це явно вказує на те, що електрони не просто співударяються з іонами, як припускав Друде. Однак, ми можемо далі використовувати для розрахунків модель Друде, хоча і не до кінця розуміємо природу зіткнення. Не маючи теорії часу вільного пробігу, важливо знайти такі припущення моделі Друде, які не залежать від величини часу релаксації τ. Виявляється, існує декілька подібних не залежних від τ величин, які і досі цікавлять, оскільки у багатьох відношеннях точний кількісний розгляд часу релаксації залишається найслабшою ланкою у сучасній теорії провідності металів. В результаті незалежні від τ величини є наібільш цінними, тому що часто вони дають найнадійнішу інформацію. Особливо важливі два випадки:
1.Розрахунок електропровідності при наявності просторово- однорідного постійного магнітного поля;
2. Розрахунок електропровідності при наявності просторово-однорідного, але незалежного від часу електричного поля.
В обох випадках зручно користуватися наступним зауваженням:у кожен момент часу t середня швидкість електронів:
Vc =p(t)/m,
де р-середній імпульс, тобто, повний імпульс, що приходиться на один електрон. Як наслідок, густина струму :
J=-(nep(t))/m
Нехай в момент часу t середній імпульс електронів –р(t).Обчислимо тоді p(t+dt)-середній імпульс одного електрона по завершенню нескінченно-малого проміжку часу dt. Ймовірність того ,що взятий навмання в момент часу t електрон випробував зіткнення до моменту t+dt, дорівнює dt/τ, тому ймовірність того, що він доживе до моменту часу t+dt без зіткнень дорівнює 1-dt/τ.Однак, коли електрон не переживає зіткнень, він просто рухається під дією сили f(t)(обумовленої просторово-однорідним електричним або магнітним полем) і набуває тому додатковий імпульс:
f(t)dt+O(dt)².
Електрони не переживши зіткнень в інтервалі між моментами часу t і t+dt, додають в імпульс, що приходиться на один електрон в момент t+dt внесок, який дорівнює добутку (1-dt/τ) (тобто, відношення числа таких електронів до повного їх числа) на середній імпульс даного такого електрона:
p(t)+f(t)dt+O(dt)²
Тому нехтуючи поки що внеском в p(t+dt) від тих електронів, які пережили зіткнення за час між t і t+dt одержуємо:
p(t+dt)=(1-dt/τ)[p(t)+f(t)dt+O(dt)²]=p(t)-(dt/τ)p(t)+f(t)dt+O(dt)² (10)
Поправка до (10) за рахунок тих електронів,які випробували зіткнення в інтервалі від t до t+dt виявляється лише порядку (dt)². Крім того,оскільки безпосередньо після зіткнення швидкість (і імпульс) направлені довільним чином , кожен такий електрон буде робити внесок в середній імпульс p(t+dt) лише завдяки тому, що за час після останнього зіткнення він набув за рахунок сили f деякий імпульс. Цей імпульс набувається за проміжок часу не більший за dt і тому має порядок f(t)dt. Як наслідок, поправка до (10) виявляється порядку(dt/τ)f(t)dt і не впливає на складові, лінійні по dt. Таким чином, можна записати :
P(t+dt)-p(t)=-(dt/τ)p(t)+f(t)dt+O(dt)², (11)
Де O(dt)-складова порядку (dt)²,де врахований внесок в p(t+dt)всіх електронів. Поділивши на dt і взявши границю при dt 0,знайдемо:
dp(t)/dt=-p(t)/τ+f(t) (12)
Це рівняння означає ,що еффект зіткнення окремих електронів зводиться до введення в рівняння руху для імпульса ,що приходиться на один електрон додаткового члена,що описує згасання за рахунок тертя.
4. Ефект Холла і магнетоопір
У 1879 р. Холл намагався вияснити, чи діє сила, випробувана провідником зі струмом в магнітному полі на весь провідник чи лише на один електрони, що рухаються в провіднику. Сам він підозрював друге і його експеримент оснований на тому, що якщо електричний струм у закріпленому провіднику сам притягується до магніту, то цей струм повинен підходити все ближче до однієї із сторін провідника і тому досліджуваний ним опір повинен зростати. “Його спроби виявити такий додатковий опір виявилися безуспішними , але Холл вважав, що це дозволяє робити остаточні висновки: ”Магніт може намагатися відхилити струм, не маючи здатності зробити це. Очевидно, в такому випадку у провіднику існував би стан напруги ,ніби як електричний струм, що діє у напрямку однієї із сторін провідника”. Подібний стан напруги повинен проявлятися в існуванні поперечної різниці потенціалів(або е.р.с. Холла, як її сьогодні називають), яку Холлу вдалося спостерігати.
 Схема експерименту Холла z
До провідника, розміщеного вздовж осі х, прикладене електричне поле Ех., що викликає електричний струм Jx .Існує також, окрім того, магнітне поле Н, паралельне осі z. В результаті виникає сила Лоренца:
-eVc/c*H (13).
Вона відхиляє електрони у негативному напрямку осі у (дрейфова швидкість електронів напрямлена проти струму). Однак електрони не можуть довго рухатися у напрямку осі у ,оскільки вони досягають границі провідника. У міру того ,як вони там накопляються ,наростає електричне поле, напрямлене вздовж осі у і протидіюче руху і подальшому накопиченню електронів. У стані рівноваги це поперечне поле (або поле Холла) Еу компенсує силу Лоренца і струм протікає лише у напрямку осі х. Дві величини цікавлять нас .Одна з них - це відношення поля вздовж провідника Ех до густини струму Jx:
g(H)=Ex/Jx (14)
Холл виявив, що ця величина (магнітоопір) не залежить від поля. Іншою характеристикою є величина поперечного поля Еу. Оскільки таке поле зрівноважує силу Лоренца, можна вважати, що воно повинно бути пропорційним як прикладеному полю Н, так і струму Jx в провіднику. Тому величину ,названу коефіцієнтом Холла визначають як
RH=Ey/JxH (15)
Оскільки поле Холла напрямлене проти осі (мал.3), коефіцієнт RН повинен бути негативним. З іншої сторони, якби заряд носіїв був позитивним, знак їх х-компоненти швидкості був би зворотнім і сила Лоренца залишилася б незмінною. В результаті, поле Холла мало би напрям, протилежний тому, яке воно має при від’ємно заряджених носіях. Цей висновок дуже важливий, оскільки він означає, що вимірювання поля Холла дозволяють визначити знак носіїв заряду. Експериментальні дані, вперше одержані Холлом, були у відповідності із знаком заряду електрона, визначеним пізніше Томсоном. Одна із хороших особливостей еффекту Холла полягає в тому ,що в деяких металах коефіцієнт Холла позитивний і тому носії мають мати протилежний заряд. Щоб визначити коефіцієнт Холла і магнітоопір, визначимо спочатку густину струму Jx і Jy на випадок., коли єелектричне поле з довільними компонентами Ex і Ey, а також магнітне поле Н, напрямлене вздовж осі Z. На кожен електрон діє сила ƒ=-е(Е+V0H/с), тому рівняння (12) для імпульсу у розрахунку на один електрон набуває вигляду:
dp/dt=-e(E+p/mc*H)-p/τ (16)
У стаціонарному стані струм не залежить від часу, тому рx і рy задовольняють рівняння:
0=-eEx-wc py-px/τ (17)
0=-Ee+wc px-py/τ
де
wс=eH/mc (18)
Домножимо ці рівняння на –neτ/m і вводячи компоненти густини струму (4), знайдемо
σEx=wcτ*jy+jx
σEy=wcτ*jx+jy, (19)
де σ-статична електропровідність для моделі Друде за відсутності магнітного поля(що описується (6)). Поле Холла Еy визначається за умови перетворення в 0 поперечного струму Jy. Якщо Jy=0 у 2-гій (19), одержуємо:
E y=-(wcτ σ)*Jx =-(H/nec)*Jx (20)
R H=-1/nec (21)
Це вражаючий результат: згідно нього коефіцієнт Холла не залежить ні від яких параметрів металу, окрім густини носіїв. Вище ми обчислили n, вважаючи, що валентні електрони атома в металі перетворюються в електрони провідності. Вимірювання коефіцієнтів Холла дає прямий спосіб перевірки справедливості такого припущення.
5. Високочастотна електропровідність металу.
Для того щоб обчислити струм, залежний від часу, який створений в металі електричним полем, запишемо його у вигляді :
E(t)=Re((ω)e-iωt) (23)
Тоді рівняння руху
dP(t)/dt=-P(t)/τ+f(t)
для імпульсу який припадає на один електрон , набуває вигляду :
dP(t)/dt=-P/τ-eE (24)
Знайдемо стаціонарний розв’язок у формі
P(t)=Re(p(ω) e-iωt) (25)
Підставляючи комплексні величини р і Е в рівняння (1.24), яке повинно розв’язуватись по чистинах для дійсної і уявної частин, отримаємо, що p(ω) задовольняє рівняння
-iωp(ω)=-P(ω)/τ-eE(ω) (26)
Так як
J=-nep/m,
густина струму дорівнює :
j(t)=Re(j(ω) ) e-iωt
j(ω)=-nep(ω)/m=(ne2/m)E(ω)/((1/ τ)-i ω) (27)
Цей результат також записують і вигляді :
j(ω)=σ(ω)E(ω) (28)
де величина σ(ω) називається високочастотною провідністю , і обчислюється :
σ(ω)= σ0/(1-i ωτ); σ0= ne2τ/m (29)
Звернемо увагу на те, що при частоті , яка дорівнює нулю, цей вираз перетворюється в результат Друде σ=ne2τ/m для статичної провідності.
Найбільш важлива область застосування знайденого результату - дослідження розповсюдження електро – магнітного випромінювання в металі.
Якщо електричне поле не змінюється істотним чином на відстанях, які порівняно з довжиною вільного пробігу електрона великі, ми маємо право при обчисленні густини струму j(r,t) в точці r вважати, що поле у всьому просторі має таку ж величину E(r,t), як і в точці r . звідси і отримаємо результат
j(r,ω) =σ(ω) E(r,ω) (30)
він правильний, якщо довжина хвилі λ поля велика порівняно з довжиною вільного пробігу електрона l . В металах ця умова зазвичай виконується для видимого світла (довжина хвилі 103-104 А ). Коли вона порушується , то застосовуються інші складніші теорії.
Вважаючи, що довжина хвилі велика порівняно з довжиною вільного пробігу, можна поступити наступним чином. Якщо ми маємо густину струму j , то рівняння Максвела можна записати у вигляді :
▼·E=0; ▼·H=0; ▼x E=(-1/c)(∂H/∂t); ▼x H=4πj/c+(1/c)(∂E/∂t) (31)
Будемо шукати розв’язок , який залежить від часу як e-iωt . зауважимо, що в металі можна виразити j через Е з допомогою формули (1.28), знаходимо:
▼x(▼x E)=- ▼ 2E=(iω/c) ▼ x H==(iω/c)(4πσE/c- iωE/c) (32)
або інакше :
- ▼2E=(ω2/c2)(1+4πiσ/ ω) E (33)
Рівняння (1.33) має вигляд звичайного хвильового рівняння
- ▼2E=(ω2/c2)ε(ω)E (34)
з комплексною діелектричною проникністю
ε(ω)=1+4πiσ/ ω (35)
Якщо частота достатньо велика, так що виконується умова:
ωτ≥1 (36)
то в першому наближенні , виходячи із (35) і (29), отримаємо
ε(ω)=1- ω2p / ω2 (37)
де величина ωp, називається плазмовою частотою, і обчислюється :
ω2p =4πne2/m (38)
Якщо ε - дійсна від’ємна величина ( ω>ωp) , то рівняння (34) має лише такі розв’язки , що в цьому випадку випромінювання не може поширюватись. Якщо ε - додатна величина (ω<ωp) , то розв’язок рівняння (34) означає, що випромінювання може поширюватись і метал повинен бути прозорим. Цей висновок справедливий , якщо поблизу частоти ω=ωp виконується зроблене нами припущення (1.36). Виражаючи τ через питомий опір з допомогою формули:
τ=(0,22/ρm)(rs/a0)3/2·1014c,
визначення плазмової частоти (39) можна використати для розрахунку величини ωpτ:
ωpτ=1,6·102·(τs/a0)3/2(1/ρm) (39)
Оскільки питомий опір ρμ вимірюється в мкОм.см, має порядок одиниці або менше, а величина rs/a0 лежить в межах від 2 до 6 то умова (36) добре виконується при плазм енній частоті.
Підставляючи в (36) числові значення сталих, отримаємо, що прозорість повинна виникати при частоті
ν p=ωp/2π=11,4(rs/a0)3/2·1015 Гц
або
λ p=с/ ν p=0,26(rs/a0)3/2·103 Å.
6. Теплопровідність металу.
Найбільш вражаючим успіхом моделі Друде в той час , коли вона була запропонована , було пояснення емпіричного закону Відемана і Франца. Закон Відемана – Франца стверджує , що відношення χ/ω теплопровідності до електропровідності для більшості металів прямо пропорційний до температури, причому коефіцієнт пропорційності з достатньою точністю однаковий для всіх металів. Для пояснення цієї закономірності в рамках моделі Друде вважають, що основна частина теплового потоку в металі переносяться електронам провідності. Це припущення основане на тому емпіричному спостереженні , що метали проводять тепло набагато краще ніж діелектрики. Тому теплопровідність обумовлена іонами менш важлива порівняно з теплопровідністю обумовленою електронами провідності (які існують тільки в металах ).
Для того щоб визначити коефіцієнт теплопровідності і розрахувати його розглянемо металевий стержень , вздовж якого температура плавно змінюється. Якщо б на кінцях стержня не було джерел і витоків тепла, що підтримую градієнт температури, то його гарячий кінець охолоджувався б , а холодний – нагрівався б , тобто теплова енергія текла би в напрямку протилежному градієнту температури. Підводячи тепло до гарячого кінця з тією ж швидкість , з якою воно звідти виходить , можна встановити стаціонарний стан з градієнтом температури і постійним потоком теплової енергії. Ми визначимо густину потоку тепла jq , як вектор паралельний напрямку потоку тепла і рівний по абсолютній величині кількості теплової енергії, що перетинає за одиницю часу одиничну площадку перпендикулярну потоку. Для малих градієнтів температури потік тепла є пропорційним
ÑT : jq=-χÑT ( 41 )
Коефіцієнт пропорційності χ називають коефіцієнтом теплопровідності. Він додатній, оскільки напрям потоку тепла протилежний напрямку градієнта температури.
В якості конкретного прикладу розглянемо випадок, коли існує постійний перепад температур в додатному напрямку по осі х . Тоді в стаціонарному стані потік тепла напрямлений також в напрямку х і має абсолютну величину jq=-χ¶T/¶x. Для того, щоб розрахувати цей тепловий потік, зауважимо, що швидкість електрона після кожного зіткнення відповідає локальній температурі : чим вища температура в місці зіткнення , тим більшою енергією володіє цей електрон. Отже , навіть якщо середнє значення швидкості електронів в будь – якій точці буде дорівнювати нулю, то при таких умовах буде існувати сумарний тепловий потік, напрямлений в сторону області з більш низькою температурою. (див. мал)
Висока температура Низька температура
Схематичне зображення відношення між градієнтом температури і потоком тепла.
Це пояснюється тим, що електрони, які переміщаються в дану область з високою температурою, мають більш високі енергії, ніж електрони, які приходять з області з низькою температурою.
Для того, щоб отримати на основі цієї картини кількісну оцінку теплопровідності, спочатку розглянемо спрощену одновимірну модель, в якій електрони здатні рухатись лише вздовж осі х , так , що в точку х половина електронів приходить з тої сторони , де температура вища, а половина - де температура нижча. Якщо ε(T) - теплова енергія , що припадає на один електрон в металі , який знаходиться в рівновазі при температурі Т , то електрон останнє зіткнення якого відбулось в точці x', в середньому має теплову енергію ε(T[x']). Електрони, що приходять в точку х з тої сторони, де температура вища, відчули останнє зіткнення в середньому в точці x+vτ і тому несуть в розрахунку на один електрон теплову енергію ε(T[x-vτ]). Тому їх внесок в густину теплового потоку рівний добутку числа таких електронів в одиниці об’єму π/2 на їх швидкість v і на їх енергію , тобто (π/2)v ε(T[x-vτ]).. Електрони, що прибувають в точку х з тої сторони, де температура нижча дають внесок (π/2)(-v)ε(T[x-vτ])., оскільки рухаються від великих значень х в напрямку менших. Складання двох цих членів дає вираз:
Jq=½nv[ε(T[x-vτ])]-ε(T[x-vτ]) (42)
якщо зміна температури на відстані довжини вільного пробігу l=vτ дуже мала, то можна розкласти отриманий вираз в ряд поблизу точки х, тоді в лінійному наближенні отримаємо:
j4=nv2τ(dε/dt)(-dT/dx) (43)
Щоб перейти в цій формулі до трьохвимірного випадку, необхідно тільки замінити v на vx - проекцією швидкості електрона в напрямку х - і привести усереднення по всіх можливим напрямкам швидкості. Оскільки
‹v2x›=‹v2y›=‹v2z›=v2/3
і
ndε/dT=(N/V)( dε/dT )= ( dE/dT )/V=Cv
де Cv - електронна питома теплоємність, тоді маємо:
j4=(1/3) v2τ Cv(-▼T) (44)
або
χ=(1/3) v2τ Cv =(1/3) lv Cv (45)
де v2 - середній квадрат швидкості електрона.
Виходячи із формули (1.51) і поділивши коефіцієнт електропровідності σ=ne2τ/m можна отримати ще один вираз:
χ/σ=(1/3)Cv mv2 /ne2 (46)
Відповідно, що при розрахунках електронної питомої теплоємності і середньоквадратичної швидкості Друде скористався законами класичного ідеального газу. Тому він фактично сказав, що теплоємність
Cv=(3/2)nkB , a (1/2)mv2 =(3/2)kBT
де kB - стала Больцмана. kB=1,38·10-16ерг/К.
В результаті отримаємо:
χ/σ=(3/2)(kB/l)2 T (47)
Величина в правій частині рівності (47) залежить лише від фундаментальних сталих kB і l і пропорційна Т в повній відповідності із законом Відемана – Франца.
|
