Індекси у статистиці - Математика - Скачать бесплатно

План лекції

Суть індексів і їх роль у статистичному аналізі.

Методологічні принципи побудови індексів. Агрегатні індекси.

Обчислення основних економічних індексів.

Середньозважені індекси.

1. Індексом у статистиці називається відносний показник, який характеризує зміну явища у часі, просторі або порівняно з планом. Його отримують порівнянням числових значень однойменних показників, що мають однаковий економічний зміст. Слово “індекс” у статистиці означає узагальнюючий показник, який характеризує рівень досліджуваного явища відносно рівня, прийнятого за основу порівняння.

За допомогою індексів вивчають зміну обсягу виробництва різнорідної продукції, цін на різні види товарів, продуктивності праці у галузях матеріального виробництва. Їх також використовують і для визначення ступеня впливу окремих факторів на зміну окремого явища.

У статистиці розрізняють кілька видів індексів. В основу класифікації покладено два різні критерії: за ступенем охоплення елементів; за способом побудови.

За ступенем охоплення елементів розрізняють індекси: індивідуальні; зведені.

У свою чергу індивідуальні бувають: базисні; ланцюгові.

Зведені індекси поділяються на: загальні; групові.

За способом побудови зведені індекси поділяються на: агрегатні; середньозважені.

Цю класифікацію можна показати схематично

Будь-який індекс у статистиці – це співвідношення двох однойменних показників.

Індивідуальний індекс характеризує зміну у динаміці величини окремого елемента складного явища (наприклад, зміну ціни на один вид продукції за певний період часу).

Зведений індекс – це відносний показник динаміки та порівняння таких складних сукупностей, окремі елементи яких не можна підсумовувати. Він характеризує зміну складного явища. Тобто є співвідношенням рівнів показника, до складу якого входять різнорідні елементи.

Наприклад, якщо треба визначити, у скільки разів або на скільки відсотків збільшились ціни на основні життєво необхідні продукти харчування за певний період (рік, квартал чи місяць), тоді складають зведений індекс цін на різні види продуктових товарів і обчислюють його. Такий індекс називають загальним.

Економічні індекси широко використовують у соціально-економічному аналізі явищ, як макроекономічних (для вимірювання інфляції, ступеня зайнятості населення), так і мікроекономічних – для контролю за виконанням плану та вимірювання динаміки зростання виробництва і т.п.

2. Індивідуальний індекс – це відношення показника звітного (або поточного) періоду до аналогічного показника базисного періоду, позначається буквою “і”, вимірюється у коефіцієнтах та відсотках.

Показник базисного періоду (з яким порівнюють) називається базисним і умовно позначаються через “о”.

Наприклад: ціна базисного періоду – ро; обсяг виробництва – q0; собівартість одиниці продукції - zo; продуктивність праці - wo; трудомісткість -to; товарообіг - po*qo.

Показник звітного періоду (який порівнюють) називається звітним і умовно позначається через “1”. Наприклад, p1, q1, z1, w1, t1, p1*q1.

Якщо зміна явища вивчається більше, ніж за два періоди, то кожен з показників цих періодів позначається відповідно цифрами “2”, “3” і т.д. У цьому випадку “базисним” може служити як показник початкового періоду, так і будь-який інший показник, що передує звітному показнику. Ім'я “звітного” показника надається по черзі всім наступним показникам з номерами “1”, “2”, “3”, …, і далі. Показник, зміну якого вивчають, називають індексованим.

Використавши наведені умовні позначення, складемо основні економічні індивідуальні індекси з формулами:

Трудомісткість – це затрати часу на виробництво одиниці продукції, а продуктивність праці – це обсяг продукції, випущеної за одиницю часу, то ці величини взаємообернені, тому .

Залежно від вибору базисного періоду (якщо є декілька періодів) розрізняють ланцюгові та базисні індивідуальні індекси.

Приклад 1. У січні ціна на товар а становила 20 грн., а в квітні – 25 грн. Наприкінці року товар А коштував 50 грн. З'ясувати, як змінилася ціна на товар А протягом ІІ кварталу та за рік.

Позначимо р0 – 20 грн., р1 = 25 грн., р2 = 50 грн.

; - отже, за І квартал ціна на товар зросла на 25% (1,25*100% - 100% = 25%).

Отже, ціна за рік зросла у 2,5 рази.

Індивідуальні ланцюгові та базисні індекси пов'язані між собою властивостями.

1. Добуток ланцюгових індексів дорівнює кінцевому базисному індексу, тобто

.

2. Частка від ділення наступного базисного індексу на попередній дорівнює відповідному ланцюговому індексу:

.

3. Індивідуальні індекси, що характеризують зміну явищ, поєднаних між собою як співмножники, мають такий взаємозв’язок: добуток індексів співмножників дорівнює індексові добутку.

Наприклад, індекс товарообігу дорівнює добутку індексу цін і індексу фізичного обсягу

.

Такі індекси називають взаємозалежними.

4. Частка від ділення одиниці, на індивідуальний індекс прямого показника дорівнює індивідуальному індексу, що характеризує зміну оберненого йому показника.

Наприклад, якщо індекс продуктивності праці (кількості виробленої за одиницю часу продукції) дорівнює 1,25, то індекс трудомісткості становить

Зведені індекси характеризують зміну складних явищ, які складаються у свою чергу з несумованих елементів. Позначаються зведені індекси І, а підпорядковий знак вказує на показник, зміну якого характеризує певний індекс. Кожен зведений індекс складається з двох елементів: індексованої величини і “ваги”, або співвимірника. Для чого потрібен співвимірник?

Соціально-економічні явища, що їх характеризують, можуть бути незіставлюваними з різних причин. Так, товари одного і того самого виду, які реалізуються у різних магазинах, є порівнюваними, їх загальну кількість можна підсумувати (це зіставлювані величини). Обсяги різних видів товарів безпосередньо не можна, вони є непорівнюваними. Причинами незіставлюваності цих величин є та, що окремі види продукції мають різні одниці вимірювання та різну споживчу вартість (ціну). Тому, щоб порівняти обсяги реалізованої продукції різних видів у двох магазинах, спочатку ці види продукції потрібно звести до порівнювального вигляду . це можна зробити за допомогою співвимірника (ваги). У нашому прикладі такою вагою слід обрати ціни на дані види товарів. Адже перемноживши обсяг реалізованої продукції кожного виду на її ціну, дістанемо показники, які можна підсумовувати, а значить і порівнювати. Сума цих добутків - це виручка в одному магазині. Порівнювати кошти, виручені від реалізації товарів у двох магазинах або двох періодах часу, можна, визначивши зведений індекс обсягу реалізованої продукції. Отже, щоб скласти зведений (загальний) індекс, необхідно до індексованої величини (зміну якої досліджують) обрати співвимірник, який дасть змогу зробити незіставлювані величини складних сукупностей зіставлюваними.

Формула зведеного індексу становить дріб, у чисельнику і знаменнику якого міститься сума добутків індексованої величини на вагу. Така складна форма запису називається агрегатною.

Агрегатна форма запису індексу визначила назву агрегатний індекс. Однакова вага у чисельнику і знаменнику агрегатного індексу прийнята умовно, що дає змогу вимірювати вплив на загальну його величину зміни індексованої ознаки і уникнути при цьому впливу на неї зміни ознаки співвимірника.

У статистиці усі показники поділяються на місткісні (кількісні) й якісні.

Місткісні показники дають уявлення про обсяг досліджуваного явища, а якісні – про його рівень, що припадає на одиницю сукупності. Між місткісними й якісними показниками існують взаємозв’язки, які використовуються при побудові зведених індексів і при їх аналізі. Тому місткісні й якісні показники часто називають факторами-співмножниками.

Будуючи агрегатний індекс місткісного показника, важливо правильно обрати співвимірник, тобто якісний показник. Наприклад, в індексі обсягу продукції індексована величина (кількість продукції) – місткісний показник, а вага (ціна) – якісний показник. Навпаки, при побудові агрегатного індексу якісного показника вимірником служитиме кількісний показник. Наприклад, у зведеному індексі цін індексована величина – ціна, а вага – кількість одиниць продукції.

При побудові зведеного індексу слід враховувати важливе правило у статистиці: якщо вагою служить якісний показник, то його величину фіксують на рівні базисного періоду; якщо вага – місткісний показник, то його зафіксують на рівні поточного (звітного) періоду.

Отже, у загальному індексі обсягу реалізованої продукції за вагу слід обирати ціни товарів у базисному періоді; а у загальному індексі цін – кількість проданої продукції у звітному періоді.

3. В економіко-статистичному аналізі найчастіше використовують п'ять основних економічних індексів. Для обчислення індивідуальних індексів цих п’яти видів відомі формули наведені вище у пункті 2. Визначення й аналіз зведених індексів покажемо на прикладах.

Приклад 2. За даними про ціни й обсяг реалізованої продукції меблевої фабрики визначити:

динаміку виробництва продукції на фабриці (загальний індекс фізичного обсягу виробництва);

зміну цін на продукцію меблевої фабрики (загальний індекс цін).

Для зручності подамо вихідні та розрахункові дані в одній таблиці.

Формула агрегатного індексу обсягу продукції має вигляд

,

де q – індексована величина; p0 – вага; - вартість продукції у звітному періоді.

Отже,

Цей індекс показує, що у середньому на фабриці ціни на продукцію знизилися у ІІ півріччі порівняно з і півріччям на 3,4%.

З агрегатного індексу фізичного обсягу виробництва можна також визначити величину приросту продукції у грошовому виразі (приріст валової продукції). Так, у прикладі 2 абсолютний приріст продукції становитиме

Якщо , то це означає, що у звітному періоді випуск продукції знизився.

Загальний індекс цін дає змогу обчислити реальну економію населення, яку воно дістає у разі зниження цін, або перевитрати, якщо ціни зросли. У прикладі 2 завдяки зниженню цін на продукцію меблевої фабрики сума економії становила 2240 тис.г.о.

У випадку зростання цін

З прикладу 2 видно, що індекс фізичного обсягу реалізованої продукції характеризує лише зростання кількості проданих товарів без урахування впливу на величину товарообігу у звітному періоді зміни цін на окремі види продукції.

Для зіставлення фактичного товарообігу групи товарів за два періоди використовують зведений індекс товарообігу у фактичних цінах.

, де

- сума товарообігу у звітному періоді; - сума товарообігу у базисному періоді.

Цей індекс характеризує зростання обсягу товарообігу у звітному періоді порівняно з базисним періодом, але не показує, за рахунок чого відбулося це зростання: від збільшення кількості проданих товарів, чи від зміни цін за окремі товари.

Агрегатні індекси фізичного обсягу реалізованої продукції і цін взаємопов’язані формулою

Довести цю рівність можна, використавши дані прикладу 2

Справді,

Аналогічно до індексу цін можна скласти і обчислити зведений індекс собівартості продукції. Формула агрегатного індексу собівартості має вигляд:

де z - індексована величина; q1 – вага (співвимірник); - затрати на виробництво продукції у звітному періоді; - затрати на виробництво продукції у звітному періоді за собівартістю базисного періоду.

Щоб порівняти собівартість звітного періоду з плановою обчислюють індекс виконання плану за собівартістю:

де zпл. – планова собівартість одиниці продукції.

Різниця - це сума фактичної економії (або перевитрат) від зниження (збільшення) запланованої собівартості.

Важливим фактором підвищення рівня виробництва є зростання продуктивності праці. Тому серед основних економічних індексів особливе місце посідає індекс продуктивності праці. Рівень продуктивності можна визначити двома способами:

Цим двом способам відповідає два способи обчислення індексів продуктивності праці. Зведений індекс продуктивності праці обчислюється за формулами:

4. Зведений індекс може бути складений не лише як агрегатний. Якщо відомі значення індивідуальних індексів, обчислених для окремих елементів складного економічного явища, то можна визначити загальний індекс як середній індивідуальних індексів. Оскільки індивідуальні індекси характеризують зміну окремих елементів, що є несумованими, то і самі індекси теж не можуть бути просумованими. Якщо замість значення індексованої величини взяти індивідуальні індекси і правильно вибрати вагу (співвимірник), то отримаємо середньозважений індекс. Залежно від вихідних даних цей індекс може бути двох видів: середньоарифметичний зважений індекс; середньогармонійний зважений індекс.

Для характеристики зміни цін або собівартості складають середньозважений індекс як середню гармонійну зважену.

Для характеристики зміни місткісних показників фізичного обсягу, продуктивності праці – середньозважений індекс має вигляд середньої арифметичної зваженої.

При цьому повинна виконуватись важлива вимога: середньозважений індекс має бути тотожний агрегатному, тобто давати те саме числове значення при обчисленні, що й агрегатний індекс.

Формулу середньозваженого індексу фізичного обсягу виводять так: індивідуальний індекс фізичного обсягу обчислюють за формулою , звідки . Підставимо у чисельник агрегатного індексу замість величину , то дістанемо

- вага - товарообіг базисного періоду.

Фактично середній індекс є перетвореною формою агрегатного індексу. Його використовують тоді, коли вихідні дані не дають змоги застосовувати агрегатні індекси.

Основні поняття та категорії.

Індекс

індивідуальний

зведений

агрегатний

середньозважений

Контрольні запитання.

Що називається у статистиці індексом?

Що характеризує індивідуальний індекс?

Для чого використовують зведені індекси?

Чим відрізняються ланцюгові індекси від базисних? Які вони мають властивості?

Що характеризують загальні та групові індекси?

Назвіть основні економічні індекси?

Як змінилася продуктивність праці, якщо трудомісткість знизилась на 5%?

Що дає середній арифметичний індекс?

Що таке середній гармонічний індекс?