План
Інтерполяція
Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційна формула Ньютона
13.16. Інтерполювання функцій
Нехай відомі числові значення  деякої величини  , які відповідають числовим значенням  величини  /вузли інтерполювання /. Вважаючи функцією від , складемо таблицю із цих чисел:
Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій  : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.
Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції  , яка набувала б табличних значень  за табличних значень  . Звичайно, за  беруть многочлен степеня  , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).
Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.
13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:
Для знаходження невизначених коефіцієнтів  будемо покладати в цій рівності по черзі  вимагаючи при цьому, щоб 
Тоді одержуємо
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:
Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень  маємо відповідні табличні значення  .
13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона
У випадку, коли вузли інтерполювання утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)
(  - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції .
Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:
Скінченою різницею другого порядку величини називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:
Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.
Із означень одержуємо:
Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу є біноміальними, а весь вираз нагадує розгорнутий  -ий степінь суми. Тому
У цій формулі  є номер табличного значення  , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення  від  , тобто 
Якщо будемо обчислювати нетабличне значення  , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для  , то величина  буде такою самою функцією від , якою функцією від раніше було ( за всіх табличних  переходить в ).
Замінивши на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:
 У розгорнутому вигляді  є многочлен степеня відносно . За всіх табличних значень аргументу дорівнює відповідному табличному значенню функції , тобто  .
Зауваження. Якщо функція  лінійна або якщо розміщення на координатній площині  точок  наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай  і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення та  . Із рівняння прямої
одержимо
Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.
Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.
Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:
Оскільки
 тощо,
то
 тощо.
Для знаходження похідних функцій за табличних значень аргументу покладено  і тому 
 тощо.
Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу  оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що
|
