Інтегруючий множник - Математика - Скачать бесплатно
1.Рівняння в повних диференціалах
Якщо ліва частина диференціального рівняння
є повним диференціалом деякої функції  , тобто
 ,
і, таким чином, рівняння приймає вигляд  то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз
є загальним інтегралом диференціального рівняння.
Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності
Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді
Звідси  де  - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по  і прирівняємо 
Звідси
 .
Остаточно, загальний інтеграл має вигляд
Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал
,
то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку  і точку із змінними координатами  . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла
В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.
 .
2. Інтегруючий множник
В деяких випадках рівняння
не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція  така, що рівняння
вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність
 ,
або
 .
Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції  одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції  . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад  де  - відома функція. В цьому випадку одержуємо
Після підстановки в рівняння маємо
 ,
або
 .
Розділимо змінні
Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:
 .
Розглянемо частинні випадки.
1) Нехай  . Тоді 
І формула має вигляд
 .
2) Нехай  . Тоді 
І формула має вигляд
3) Нехай  .Тоді
І формула має вигляд
 .
4) Нехай  . Тоді 
І формула має вигляд
 .
Використана література:
Геращенко. Диференційні рівняння.
Хусаінов. Диференційні рівняння.
|
