Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними - Математика - Скачать бесплатно
ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.
а) Розглянемо ДР  (4.38)
Так як  , то
Аналогічно  , …..,
 (4.39)
Остання формула дає розвязок загальний в області
Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами
 (4.40)
Цей розвязок представляється в вігляді  (4.41)
Ф-я
являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами
яким відповідають константи 
Для обчислення використовують ф-лу Коші
 (4.42)
Дійсно інтеграл 
можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).
Міняючи порядок інтегрування, отримаємо 
Аналогічно обчислюємо 
 .. і. т. д.
Приходимо до ф-ли (4.42)
Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді  
Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл
Пр. 4.4 Розвязати рівняння 
Послідовно знаходимо  , 
б) Розглянемо випадок  (4.43)
в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно  в елементарних ф-ях, або вирази для будуть досить складними.
Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)
 (4.44),
де  та  такі, що 
Проводимо обчислення  , 
Аналогічно обчислюємо 
Остаточно маємо
 (4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.
Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується
I. (4.46) (частинні випадки  )
II.  (4.47), де  і  -однорідні ф-ї відповідного
виміру  і  .
Покладемо  (4.48)
і розвяжемо р-ня (4.47) відносно  через  : 
Піставляючи в (4.48), отримаємо  (4.49)
Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.
Пр. 4.5 Розвязати р-ня 
Зробимо заміну 
 остаточно маємо
Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та  похідної.
Розглянемо ДР  (4.50), в якому є  .
Введемо нову змінну  (4.51)
отримаємо  (4.52)
тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.
Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили  (4.53)
Тоді р-ня  (4.54)
інтегруємо і отримаємо загальний розвязок  (4.55)
Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл  (4.54)
то отримаємо ДР  типу (4.43)
Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :
а) ДР вигляду 
якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :
 (4.52)
то поклавши  перейдемо до р-ня 
Якщо  - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38) 
Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію  (4.53)
то з співвідношення  знаходимо 
Звідки  (4.54)
ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.
б) ДР вигляду  (4.55)
Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно
 (4.56)
Позначимо і перейдемо до ДР  (4.57)
Домножимо (4.57) на  : 
Звідки  . Отже 
з якого визначимо
 .
Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.
Знайшовши з нього
ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).
 (4.58)
Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно але для нього можлива параметризація 
Запишемо співвідношення 
Домножимо першу рівність на  :
Звідки .
Отже маємо 
Прийшовши до отсанньої рівності  ми отримаємо а)
Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.
Ці ДР мають вигляд  (4.59)
і його можна понизити на один порядок заміною 
При цьому  стане незалежною зміною, а  - функцією
Обчислюємо
…..
і остаточно прийдемо до ДР  порядку
Якщо  - розвязок ДР (4.60) то
Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.
Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки  .
Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня  .
Якщо  - розвязок однорідного р-ня, то  - розвязок ДР (4.59)
Пр. 4.6 Розвязати р-ня 
Вводимо змінну ,  ,
 , 
звідки  , отже,  , 
-загальний інтергал рівняння.
4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.
Так називаються ДР вигляду  в якому  являється однорідною ф-єю відносно  , тобто  маємо 
Шляхом заміни  ДР (4.62) можна понизити на один порядок.
Обчислюємо
Тому ДР (4.62) прийме вигляд
 (4.63)
Скорочуючи на  (  при  може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку .
Якщо  – загальний розвязок останнього ДР, то 
звідки  (4.64) – загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок  міститься в формулі (4.64) при  .
Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР
Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому  .
Маємо ДР Бернулі –  .
Інтегруючи отрімаємо  ,  Звідки  . Наше ДР має розвязок  який не міститься в знайденому загальному інтергалі.
ДР, ліва частина якого є точна похідна.
Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по від деякої ф-ї  , тобто  ,
тоді ДР (4.62) має перший інтерграл  (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.
Пр 4.8 Розвязати ДР 
Маємо  ,  , ,  – загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю  , після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю  , то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня 
Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР  .
Візьмемо  , тоді  .
При цьому , - розвязки нашого ДР.
Маємо  .
 - перший інтерал.
 ,  загальний інтергал.
Особливих розвязків немає, так як ДР  приводіть до розвязків , які містяться в загальному.
|
