Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної - Математика - Скачать бесплатно

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд

(5.1)

Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені.

Означення 5.1. Функція , визначена і

(5.2)

неперервнодиференційовна на називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в

тотожність

Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).

Означення 5.3. Рівняння , ,, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо

Криві на ел., які відповідають розв’язкам, будемо називати

Задача Коші - задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови .

Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якшо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

Якщо функція задовільняє наступним умовам:

а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т.;

б);

в);

то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови і такий, що

► Без доведення ◄

Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки

(5.3)

де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .

Нехай кожне Д.Р. (5.3) на має загальний інтеграл

(5.4)

Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .

Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують

(5.5)

Якщо поле на не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).

В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв’язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді

(5.6)

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).

Якщо сімейство задано в вигляді

(5.7)

то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)

Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (5.3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.

Сімейство , заданих в параметричному вигляді

(5.8)

будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.

Означення 5.6. Розв’язок Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.

Означення 5.7. Розв’язок називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші.

Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно , Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими.

Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв’язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).

Приклад 5.1.

(5.9)

З (5.9) маємо:

Тоді - загальний інтеграл.

або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 5.1).

Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля:; І через цю точку проходить два

, якщо (5.11)

і , якщо .

Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.

Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як .

Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді

, звідки (5.12).

Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові

(5.13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи

(5.14)

Розв’язок системи (5.14)

=0 (5.15)

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.

Приклад 5.2.

(5.16)

, (5.17)

Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна .

5.3. Загальний метод введення параметра.

Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(5.18)

Так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (5.18) і співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.

Тому

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

(5.19)

Якщо

(5.20)

загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.

(5.21)

Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

(5.22)

За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді

(5.23)

Маємо

Звідки

(5.24)

Нехай – загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді – загальний розв'язок Д.Р. (5.22).

Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок .

Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

(5.25)

Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді

Використовуючи співвідношення , отримаємо

(5.26)

Якщо – загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то

(5.27)

загальний інтеграл Д.Р. (5.25).

Якщо – особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

(5.28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

(5.29)

З (5.29) маємо

(5.30)

Д.Р. (5.30) лінійне по

(5.31)

Нехай – розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

(5.32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

(5.33)

тобто

(5.34),

де – корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.

Г. Рівняння Клеро.

Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .

(5.35)

Покладемо , тоді

(5.36)

Використовуючи , отримаємо

(5.37)

Рівняння (5.37) розпадається на два

(5.38)

Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок

(5.39)

Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі

(5.40)

Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно

звідки

(5.41)

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).

Приклад 5.3.

Розв’язати рівняння Лагранжа.

Покладемо . Маємо ,

,

Отримали лінійне рівняння

Його розв’язок

(5.42)

(5.43)

загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :

(5.44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.

Приклад 5.4.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –

Запишемо дискримінантну криву

Звідки - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при .

4. Неповні рівняння.

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

(5.45)

Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.

(5.46)

де – деякі числа, задовільняючі функцію .

Інтегруємо (5.46)

(5.47)

Так як то

(5.48)

загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.

Приклад 5.5.

Розв’язати .

Згідно (5.48) – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексного Д.Р.

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

(5.49)

Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної

(5.50)

то

(5.51)

являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).

Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація

(5.52)

тобто

(5.53)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі

(5.54)

Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд

(5.55)

тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі

(5.56)

Приклад 5.6.

Зайти загальний розв’язок рівняння .

Вводимо параметризацію .

, ,

Маємо

Загальний розв’язок в параметричній формі.

в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.

Це рівняння вигляду

(5.57)

Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто

(5.58)

то

(5.59)

Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де – корені рівняння (або ).

Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію

(5.60)

то

(5.61)

Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.

Приклад 5.7.

Розв’язати . Введемо параметризацію .

звідки

зашальний розв’язок нашого рівняння.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто

(5.62)

Зробимо заміну

(5.63)

де – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо

тобто . З іншої сторони

(5.64)

Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)

отримане рівняння

(5.65)

не містить незалежної змінної .