Елементи комбінаторики - Математика - Скачать бесплатно
§ 1. Поняття множини. Операції над множинами
Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення Множину можна уявити собі як сукупність деяких предметів, об'єднаних за довільною характеристичною ознакою Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій
Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини При цьому порядок запису елементів не має значення Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна позначити буквою М (чи будь-якою великою буквою латинського алфавіту) або записати так {1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}
Належність предмета даній множині позначається символом  , а неналежність - символом  (інколи  ) Наприклад, число 7 А, де А - множина чисел першого десятка, а число 12 A.
Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині міститься певна кількість елементів, тобто кількість елементів скінченної множини виражається натуральним числом Наприклад, множина М цифр десяткової нумерації скінченна і містить десять елементів. У нескінченній множині - нескінченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої - нескінченні множини.
Множина, в якій немає жодного елемента, називається порожньою і позначається символом  . Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих - порожня множина
Якщо множина В складається з деяких елементів даної множини А (і тільки з них), то множина В називається підмножиною множини А. У такому разі співвідношення між множинами А і В позначається так В  А (читається "В міститься в А" або "В — підмножина А"). Якщо В може й дорівнювати А, то вживається символ В  А. Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини, тобто А.
Саму множину А можна розглядати як підмножину А, тобто А А.
Множину задають двома основними способами:
1) переліченням всіх її елементів;
2) описанням характеристичної властивості її елементів. Наприклад: а) В = {o, ,¡} - множина, задана переліченням елементів; б) X - множина коренів квадратного рівняння х2 = 25. Множина X задана характеристичною властивістю елементів - бути коренем рівняння х2 = 25". Цю саму множину можна задати і переліченням її елементів: X = {-5; 5}.
Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів. Наприклад, множини коренів рівняння х2 = 25 і |x| = 5 рівні між собою. Справді, X = {-5; 5} і Y = {-5; 5}, де Y - множина розв'язків рівняння |x|-5. Отже, X = Y.
Над множинами виконуються певні операції (дії). Зазначимо три з них.
Переріз множин. Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать коленій з даних множин А і В.
Приклад 1. Нехай А - множина всіх дільників числа 32, тобто А = {І, 2, 4, 8, 16, 32), а В - множина всіх дільників числа 24, тобто В = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Тоді перерізом множин А і В є множина С = {1, 2, 4, 8}, яка складається зі спільних дільників чисел 32 і 24.
Схематично переріз множин А і В можна зобразити за допомогою фігур. Символічно позначається так: С = А  В і читається: "С є перерізом А і В".
Приклад 2. Нехай М - множина прямокутників, N - множина ромбів, тоді Р = М N - множина квадратів.
Об'єднання множин. Об'єднанням (або сумою) двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них.
Позначається це так: С = А  В і читається: "С є об'єднанням А і В".
Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто А В  0, то кожний з цих спільних елементів береться в множину С тільки один раз.
Приклад 3. А ={1,2, 3,4}, В = {3, 4, 5, 6}, тоді С = {1,2,3,4,5,6}.
Приклад 4. Q - множина раціональних чисел, І - множина ірраціональних чисел. Тоді множиною R всіх дійсних чисел буде об'єднання множин Q і І, тобто R = Q І.
Операції над множинами широко використовуються в математиці та інших науках, а також у практиці. Наприклад, розв'язками системи рівнянь є переріз множин розв'язків кожного рівняння, а об'єднання їх є множиною розв'язків сукупності рівнянь.
Віднімання множин. Доповнення множини. Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належать множині В.
Позначається це так: С = А В і читається: "С є різницею А і В".
Приклад 5. а) А= {5,6, 8, 12}, В= {5, 6}, тобто В А, тоді С = А В= {8, 12};
б) А = {5, 6, 8, 12}, В = {8, 12, 1, 2}, тоді С = А В = {5, 6};
в) А = {5, 6, 12}, В = {1, 2}, тоді С = А В = {5, 6, 12};
г) А= {5, 6}, В= {5,6, 12}, тобто В  А, тоді С = А В = .
У випадку, коли А  В, то різниця С = А В називається доповненням множини В відносно множини А і позначається САВ.
|
