Функції та способи їх задання - Математика - Скачать бесплатно

План

1. Деякі властивості функції.

2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.

3. Основні елементарні функції.

4. Складні та елементарні функції.

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ФУНКЦІЯ

Поняття функціональної залежності

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень.

Розглянемо дві змінні величини .

Означення: Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна або аргумент;

у — залежна змінна або функція;

f — символ закону відповідності;

D — область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Означення: Функція у = F(u), де и = (х), називається складною функцією, або суперпозицією функцій F(u) та (х) і позначається у = F((х)).

Приклад: — складна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2u, и = v2, v = sin x.

Означення: Нехай функція у = f(х) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f(x) і її позначають

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо

Приклад: - взаємно обернені функції:

Графіки взаємно обернених функцій си­метричні відносно прямої у = х (рис. 3.1).

Означення: Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається

неявною, якщо задана рівнянням F(x, у) = 0, яке не розв'язане відносно змінної y.

Приклад: Рівняння у+х+2у=0 ви­значає неявну функцію у від х.

Загальні властивості функцій

Означення: Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчисли­ти значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад: Знайти область визначення функції

D(y)=(-1; 0)(0; 1] - природна область визначення. Якщо за умо­вою задачі х — відстань, а це означає, що х 0, тоді D(y)==(0; 1] — зада­на область визначення.

Означення: Функція у = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f(-x) =f(x) (f(-x) = -f(х)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D, f(-x)f(x).

Приклад: у = cos х — парна функція (графік функції симетричний від­носно осі ординат (рис. 3.2)), бо у(х)=cos(- х)=cosx=у(х);у=arctgx — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо у(- х)= =arctg(- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо у(-x)=arccos(-х)= - arccosx * ± у(х).

Означення: Функція у = f(x) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f(x+Т) = f(x -T) = f(x), де число Т — період функції.

Приклад: у = tgx — періодична функція з мінімальним періодом Т =

(див. рис. 3.5), бо tg(x +) = tg(х -) = tgx .

Означення: Функція у - f(x) називається обмеженою на множині D, якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 — деяке скінченне число.

Приклад: y = arcsinx — обмежена функція для всіх х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо

Означення: Функція у - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Приклад: у = loga х — монотонно спадна функція при 0 < а <1, а при а > 1 — монотонно зростаюча (рис. 3.7).

3.1.3. Елементарні функції

Основні з них:

1) степенева у = ха;

1) степенева у = ха;

2) показникова у = ах, а > 0, а 1 (рис. 3.8);

3) логарифмічна у = logа х, а > 0, а 1 (рис. 3.7);

4) тригонометричні: у = cosx (рис. 3.2); у = sinx (рис. 3.9); у = tgx (рис. 3.5); у = ctgx (рис. 3.10);

5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); y = arccosx (рис. 3.4); у = arctgx (рис. 3.5); у = arcctgx (рис. 3.11).

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа алгеб­раїчних дій та суперпозицій, наприклад

- елементарна функція.

Означення: Функція у=у(х) називається алгебраїчною, якщо у(х) — розв'язок рівняння

де Рі(х), i = (О,n) — многочлени.

Приклад: Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння

Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.

Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.

Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів

або

План практичних занять

1. Функції, їх властивості та області визначення.

Термінологічний словник ключових понять:

Функція — це така відповідність між множинами D та Е, при якій кож­ному значенню змінної xD відповідає одне й тільки одне значення.

Область визначення функції — це множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції.

Навчальні завдання

1. Приклад: Знайти область визначення функції

Функція визначена, якщо х - 1 та 1+х > 0. Таким чином, областю визначення функції є: .

2. Приклад: Знайти область визначення функції

.

Перший доданок приймає дійсні значення при , а другий при . Розв'язавши одержану систему нерівностей, знайдемо область означення функції: .

3. Приклад: Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна: а) ; б) ; в)

а) Так як , то функція непарна.

б) Маємо

Функція парна

в) Тут Таким чином, функція не є ні парною, ні непарною.