Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду - Математика - Скачать бесплатно
План
Розвинення функції у степеневий ряд.
Контрольні запитання
Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.
Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.
Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.
Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).
Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x
Література
Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с.
Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має вигляд
 (1)
Нехай R– довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то
 (2)
Позначивши через  , матимемо
 (3)
За ознакою Д’Аламбера ряд а1+а2+…an+… збіжний, тому  . Звідси дістанемо
 (4)
для всіх x є (-R;R). Оскільки число R було взято довільно, рівність правильна для всіх Х є 
За теоремою Д’Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.
 . (5)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд
 (6)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху:
 , (7)
Вище було показано, що   для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність  
Звідси дістанемо
 (8)
для всіх х є .
Функція f(x)=sin x в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд
 . (9)
Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функції f(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо  (10)
Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність  
(геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює –x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 та x,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11)
Оскільки
На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12)
Розвинення в степеневий ряд функції arсtg x.Знаючи, що для х є
(-1;1) правильною є рівність .
(чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо
Оскільки,
остаточно маємо
Приклади
Розвинути функцію  у степеневий ряд в околиці точки х0=2.
Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2)
Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо  Тоді
 .
Записаний ряд збігається до заданої функції при  , тобто при 
Таким чином,
2. Розвинути в ряд Макларена функцію 
Маємо таке розвинення
Підставивши сюди замість х змінну –х, дістанемо
Віднявши від першої рівності другу, знайдемо
|
