Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах - Математика - Скачать бесплатно
План
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин
Обчислення площі плоскої фігури
Обчислення площі в декартових координатах
Площа криволінійного сектора в полярних координатах
ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Площа плоскої фігури
1.1. Обчислення площі в декартових координатах
В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю  кривою   причому  на відрізку  може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою
 (10.1)
Нехай у прямокутній системі координат фігура  (рис.10.1) обмежена кривими
Виділимо у фігурі смужку шириною  . Її довжина дорівнюватиме  . Тоді площа смужки  .
Звідси  Отже, 
 (10.2)
Рис.10.1 Рис.10.2
Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі
 (10.3)
Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку  а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
Зробивши заміну в цьому інтегралі  і враховуючи, що  одержимо
 (10.4)
1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах
Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури  якщо:  ,
У фігурі виділимо сектор з центральним кутом  Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор  , є дугами кіл радіусів  . Очевидно, що площа сектора  між дугами  i  дорівнює  Інтегруючи, одержимо
 (10.5)
Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою  , віссю  і прямою, яка з’єднує точку  , що лежить на гіперболі, з початком координат.
Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо
Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури  , а потім від площі трикутника  відняти площу фігури .
Отже,  .
Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо
 
Оскільки
 то  .
Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді
Рис.10.3 Рис.10.4
 ,
де  - функція, обернена відносно функції  .
Пропонується переконатися в цьому самостійно.
Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою
 .
Р о з в ’ я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що  , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса  з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках  , проходить
через початок координат при  , дотикаючись до прямих  . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже, 
|
