Нескінченно малі та нескінченно великі величини - Математика - Скачать бесплатно

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма­лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть­ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера­ми α,β,γ.

Наприклад, величина при є нескінченно малою.

Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто якщо α=0, то нерівність |а|< ви­конується для будь-якого > О,

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа не­скінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин α1, α2,...,αk. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (α1 ± α2 ± ... ± αk) буде величиною нескінченно мстою. Візьмемо скільки завгодно мале > 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть ви­конуватися нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

|α1±α2+...±αk||α1| + |α2| + ... + |αk|<+ + ... + = ε

Отже, маємо: |α1±α2+...±αk| ε

Ця нерівність, згідно з означенням 1, означає, що (αl±α2±...±αk) є нескінченно малою величиною. Теорема до­ведена.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай у — обмежена величина, α — нескінченно мала. Для обмеженої величини у існує таке число М, що |у| М. Згідно з означенням нескінченно малої в процесі змінювання a наступить такий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність < — для будь-якого ε > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде виконуватись нерівність

Ця нерівність означає, що у-а є величиною нескінченно ма­лою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є ве­личина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих вели­чин є величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини — обмежені величини, тому для них має місце твердження теореми 2.

Означений 2. Змінна величина х називається нескінченно ве­ликою, якщо а процесі її зміни наступиш такий момент, почи­наюча з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додат­ного числа N, тобто >N.

Наприклад, величина 10n при є величина нескінченно великі.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то — нескінченно мала, і навпаки, якщо у — нескінченно мала і у0, то буде нескінченно великою величиною.

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.

Ділення нескінченно малих тa нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.

Границя змінної та її властивості

Із всієї множини змінних величин виділимо такі, процес зміни яких відбувається особливим чином, що дозволяє назвати їді величини прямуючими до границі.

Поняття границі

Означений 3. Постійна величина а називається границею змінної величини х, якщо абсолютна величина різниці х - а є ве­личиною нескінченно малою, тобто |х - а| < ε.

Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до границі а і позначають так: lim х = а або х→ а.

З цього означення границі випливає, що границя нескінчен­но малої величини дорівнює нулю, тобто lim α = 0 або а→0.

Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вважають, що границя нескінченно великої величини є ∞, тоб­то |х| → ∞ або lim x = ±∞.

Із означення 3 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна величина має границю, то лише одну, а сама змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто х = а + α. Саме цей факт в математичному аналізі часто використовується.

Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини — послідовності та функції,

Означення 4. Число а називається границею послідовності х1, x2,..., хn якщо для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно малого ε > 0 існує такий номер N, що для усіх n >N виконується нерівність .

Позначають границю послідовності так:

lіm хn = a або xn → а при n → ∞

Відмітимо, що номер N залежить від ε і найчастіше він зро­стає, коли ε зменшується.

Означення 5. Число А називається границею функції у =f(x) при x→ x0 , якщо для будь-якого наперед заданого, скільки зав­годно малого ε > 0 знайдеться таке число >0, що для усіх x, відмінних від х0 i які задовольняють нерівність, виконується нерівність | f(x) - A|<ε.

Відмітимо, що залежить від ε і найчастіше зменшується, коли зменшується ε.

Покажемо на графіку (Мал. 1), як здійснюється прямування функції f(х) до границі А. Відклавши на осі 0у ε-окіл точки А, знайдемо проміжок (х0-,

х0-) осі 0х, для усіх точок якого значення функції f(х) не виходить із смуги завширшки 2ε. Із та візьмемо менше і позначи­мо його. Тепер для усіх х, таких, що |х - x0| < викону­ється нерівність |f(х) - A| < ε.

мал.1.

Зауваження 5. Якщо функція у = f(х) має границею числа А1, лише при умові, що x→x0 зліва, то використовують такий запис:

,

а число А1 називають однобічною границею функції у = f(x) зліва. Якщо число А2 є границею функції у =f(х) при х→х0 справа, то використовують запис:

,

а число А2 називають однобічною границею функції у = f(х) справа. Цi границі функції називають однобічними.

Для існування границі А функції f(х) i точці х0 необхідно і достатньо, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа і щоб вони були рівні, тобто А1 = А2 = А.

Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих

Ділення двох нескінченно малих або двох нескінченно вели­ких величин не визначено тому, що їх відношення може бути нескінченно малою або нескінченно великою або постійною величиною.

Дійсно, нехай α — нескінченно мала величина, тоді β = а2 , у = Зα , також нескінченно малі величини.

Маємо:

- нескінченно мала величина;

- нескінченно велика величина;

- постійна величина.

Використовуючи (ділення, можна порівнювати нескінченно малі та нескінченно великі величини.

Означення 6. Нескінченно малі величини α та β називаються нескінченно малими одного порядку, якщо їх відношення має скінченну границю, підмінну від нуля, тобто якщо lim

Якщо k= 1, то α та β називають еквівалентними нескінченно малими величинами.

Означення 7. Якщо відношення двох нескінченно малих величин є нескінченно мала величина, тобто lim то α нази­вають нескінченно малою величиною вищого порядку малості в порівнянні з β.

Наприклад, якщо α = β3 то lіm

Нескінченно великі величини порівнюють таким же чином.

Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин називають розкриттям невизначеності їх відношення.