Поняття про ряд Тейлора - Математика - Скачать бесплатно

Степеневий ряд називається рядом Тейлора.

Для розкладу в ряд Тейлора діалоговому режимі діємо за схемою:

Series → x=1 → Power Series

Power Series

Порівняння графіків функції y=lnx і многочлена

plot 2D + Rectangular

1

0 1 1,5 2

-2

-4

-5

Ряд Тейлора

Досі ми вивчали властивості суми заданого степеневого ряду. Вважатимемо тепер, що функція задана, і з’ясуємо, за яких умов цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду і як знайти цей ряд.

Нехай функція f(x) є сумою степеневого ряду

(1)

в інтервалі (х0-R;x0+R). У цьому разі кажуть, що функція f(x) розкладена в степеневий ряд в околі точки х0 або за степенями х-х0. Знайдемо коефіцієнт ряду (1). Для цього, згідно з властивістю 40 послідовно диференціюємо ряд (1) і підставлятимемо в знайдені похідні значення х=х0:

Звідси знаходимо коефіцієнти

Підставивши значення цих коефіцієнтів у рівність (1) дістанемо

ряд

(2)

називається рядом Тейлора функції f(x). Отже, доведено таку теорему.

Теорема 1. Якщо функцію f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R) можна розкласти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.

Нехай тепер f(x) – довільна нескінчене число разів диференційована функція. Складемо для неї ряд (2). Виявляється, що сума ряду (2) не завжди збігається з функцією f(x). Інакше кажучи, ряд (2) формально складено. Встановимо умови, за яких сума ряду (2) збігається з функцією f(x).

Теорема 2. Для того щоб ряд Тейлора (2) збігався до функції f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R), тобто

необхідно і додатно, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член її формули Тейлора прямувала до нуля при для всіх х з цього інтервалу:

(3)

Відомо, що для функції, яка має похідні всіх порядків, справедлива формула Тейлора

(4)

де

(5)

- залишковий член формули Тейлора у формулі Лонгранжа.

Якщо позначити n –у частину суму ряду (2) через Sn(x), то формула (4) матиме вигляд

(6)

Нехай f(x) - сума ряду, тобто

тоді з формули (6) випливає умова (3). Навпаки, якщо виконується умова (3), то з формули (6) випливає рівність .

Таким чином, функцію f(x) можна розкласти в ряд Тейлора в інтервалі (х0-R;x0+R) тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови: 1). Вона має похідні всіх порядків; 2). Залишковий член формули Тейлора (5) прямує до нуля при n→0 і всіх (х0-R;x0+R).

Безпосередня перевірка цих умов нерідко виявляється непростою задачею. Доведемо теорему, яка дає досить прості достатні умови розкладання функції в ряд Тейлора.

Теорема 3. Якщо функція f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R) має похідні всіх порядків та існує число М>0 таке, що

(7)

де , то функцію f(x) можна розкласти в ряд Тейлора.

Відповідно до теореми 2 досить перевірити умову (3). В силу нерівностей (7) залишковий член формули Тейлора (3) задовольняє нерівність (7)

(8)

Побудуємо степеневий ряд

. (9)

оскільки

то за ознакою Д’Амламбера ряд (9) збіжний на всій числовій осі.

Для збіжного ряду

тоді з нерівностей (8) знаходимо

Вправи для самостійного розв’язання

Знайти суми таких рядів:

приклад (1)

Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розкладу в ряд розв’язку рівняння

Шукаємо розв’язок у(х) у вигляді ряду Тейлора:

... .

Маємо

Отже,

Приклад 2.

Розглянемо розклад функції у ряд Маклорена

- Знаходимо функції і похіжні

Знаходимо розклад функцій у ряд

Залишковий член формули Пейнора

тому розклад буде справедливий при будь-якому значенні х.

Контрольні запитання

Що називають рядом Тейлора для функції f(x)?

Як знайти коефіцієнти ряду Тейлора?

Сформулювати і довести теорему про необхідні і достатні умови, за яких сума ряду Тейлора функції f(x) збігається з цією функцією.

Література

Дубовик “Вища математика”, Навчальний посібник. Київ 2001.

К.Г. Валєєв, І.А. Джаладова “Вища математика”. – Навчальний посібник, Київ 2002.