Матриці. Загальна інформація - Математика - Скачать бесплатно

Основні означення

Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, скла­дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

або

називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:

або

де aij — елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но­мер рядка, aj— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат­риці А, то пишуть Аmn.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива­ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, назива­ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,— матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) нази­ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо­відні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1.1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен­ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів­нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На­приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

Будь-якій квадратній матриці

можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви­значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням

det A=

Наприклад, якщо

то det

Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.

Дії над матрицями

1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn — (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). На­приклад,

2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,

3°. Різниця матриць А — В визначається як сума матриці А і мат­риці В, помноженої на — 1:

Справедливі такі властивості операцій:

а) А - В = В + А — комутативність відносно додавання мат­риць;

б) А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно до­давання матриць;

в) А + О — А; А — А = О — роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г) (βA) = (β) А — асоціативність відносно множення чисел;

д) (А + В) = А +В — дистрибутивність множення на чис­ло відносно додавання матриць;

е) ( + β) А — А + βА — дистрибутивність множення на мат­рицю відносно додавання чисел.

4°. Операція множення двох матриць вводиться лише для узго­джених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе.

З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узго­дженість матриці В з А.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком С = А В матриці Аmn — (аij) на матрицю Bnk=(bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В:

cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnj; C = Cmk = (cij),

i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. На­приклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і чет­вертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму»добутків еле­ментів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В.

Для дій 1°—4° над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст):

а) (АВ) С = А (ВС); б) (А) В = А (В) = (АВ);

в) (A + В) С = AС + BС; г) С (A + В) = СA + СB;

д) A • О = О • А = О; е) АЕ = ЕА = A; е) det (A5) = det А X det 5.

Обернена матриця

Нехай А — квадратна матриця. Матриця A-1 називається обер­неною до матриці А, якщо виконується умова

А А-1 = А-1А = Е.

Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det А ≠0.

Теорема 3. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і до­статньо, щоб матриця А була невиродженою.

О Необхідність. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A • det A-1 = 1, тому det А ≠ 0.

Достатність. Нехай det А ≠0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому

, ()

де Аij — алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці

()

Дійсно, добутки AA-1 і А-1 A матриць () і () дорівнюють матри­ці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи — нулю (за теоремою 2). От­же, А-1А = АА-1 = Е.

Покажемо, що А-1— єдина обернена матриця. Нехай А" — ще одна обернена матриця, тоді

А-1 = А-1Е = А-1(АА") = (А-1А)А" = ЕА" = А".

Ранг матриці

Нехай задано матрицю Аmхn= А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k — число, не більше чисел m і n, тоб­то k min (m, n).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перети­ні виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку мат­риці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків ЇЇ мі­нор ів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Аmхn, причому

0r (A)min(m, n);

2) r (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тіль­ки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого по­рядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого по­рядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори по­рядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k – 1.

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Про­стіший метод грунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1].

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Основні означення

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими х1 х2, ..., хn назива­ється система виду

( )

Числа аij, і = 1, 2, .... m; j = 1, 2, ..., n біля невідомих назива­ються коефіцієнтами, а числа bi — вільними членами системи ( ).

Система рівнянь ( ) називається однорідною, якщо всі вільні чле­ни дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Множина чисел а1, а2, ..., аn називається впорядкованою, якщо вка­зано порядок слідування цих чисел, тобто вказано, яке з них є пер­шим, яке другим, яке третім і т. д. Наприклад, якщо впорядкована трійка чисел, то в запису а, b, с число а вважається першим, b— дру­гим, с — третім, в запису b, а, с першим е число b, другим — число а і третім — число с.

Упорядкований набір n чисел () називається розв'яз­ком системи ( ), якщо при підстановці цих чисел замість невідомих х1, x2, ..., хn усі рівняння системи перетворюються в тотожності. Таку систему чисел називають також n-вимірним вектором, або точкою n-вимірного простору (див. п. 2.6, гл. 2).

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний роз­в'язок, тобто існує тільки один набір n чисел , який пере­творює всі рівняння системи ( ) в тотожності.

Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв'язків. Еквівалентні системи ді­стають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають еле­ментарним перетворенням матриці (п. 2.4) за умови, що вони викону­ються лише над рядками матриці.

Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими х і у:

( )

Виконаємо такі елементарні перетворення системи ( ): спочатку помножимо перше рівняння на а22. Друге — на —а12, а потім складемо їх; після цього перше рівняння помножимо на а21, а друге — на —а11 і складемо їх. Дістанемо систему

Систему ( ) можна записати за допомогою визначників:

де

; ; .

Визначник , складений з коефіцієнтів системи ( ), називається визначником системи. Визначники у та х утворюються з визначника відповідно заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.

Використана література.

1. Беклемышев Д. В. Курс аналитической геометрии й линейной алгебры.— М. : Наука, 1987.— 320 с.

2. Бронштейн Й. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров й учащихся втузов.— М. : Наука, 1986.— 544 с.

3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики.— М. : Изд-во иностр. лит., 1963.— 151 с.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Елементи линейной алгебри й аналитической геометрии.— М, : Наука, 1983.— 228 с.

5. Бугров Я- С., Никольский С. М. Дифференциальное й интегральное нечисленне.— М. : Наука, 1988.— 431 с.

6. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения: Кратные интегралы. Ряди.— М. : Наука, 1989.— 464 с.

7. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравне­ния.— К. : Вища шк., 1989.— 384 с.

8. Головина Л. Й. Линейная алгебра й некоторые ее приложения.— М. : Наука, 1985.— ,392 с.

9. Давидов М. О. Курс математичного аналізу: В 3 ч.— К. : Вища шк., 1990— 1992.— Ч. 1.— 383 с.; Ч. 2.— 366 с.; Ч. 3.— 359 с.