Критерій інтегрованості функцій - Математика - Скачать бесплатно
Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.
 .
Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння
 ,
яке є першим інтегралом системи.
Геометрично перший інтеграл являє собою  -вимірну поверхню в  -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих
Якщо знайдено  -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів
І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників  . Звідси з системи можна виразити - невідомих функцій  через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до  - рівнянь. Якщо  і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.
Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.
Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі
можна переписати у вигляді
. .
При такій формі запису всі змінні  рівнозначні.
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
 ,
називається системою у симетричному вигляді.
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість “пропорційності”. А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність
 .
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду
 .
Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді
 .
Якщо задані умови Коші
 ,
то розв’язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
 .
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення  , одержимо
 .
Проінтегрувавши його, маємо
 .
І одержимо параметричний запис рівняння  -порядку
Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
 .
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержуємо
 . Проінтегрувавши, маємо
 .
І одержали параметричний запис рівняння  -порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
Проробивши останню процедуру  -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв'язати відносно старшої похідної
 .
Домножимо його на  й одержимо
 .
Перепишемо його у вигляді
 .
Проінтегрувавши, маємо
 ,
тобто  ,
або
 .
Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку
і повернулися до третього випадку.
|
