Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.
 - канонічне рівняння гіперболи.
Досліджуємо форму гіперболи.
1. Знайдемо точки перетинання з осями.
OX: y = 0,  ,  , A(a;0) , B(-a;0).
OY: x = 0,  ,  .
Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.
2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.
3.  Þ  Þ  .
Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.
Побудуємо дану криву.
Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.
Визначення 4. Прямі  називаються асимптотами гіперболи.
При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.
Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.
 .
Визначення 6. Криві елліпс, гіпербола, окружность називаються кривими другого порядку з ексцентриситетом, причому для окружності  , для еліпса  і для гіперболи  . При  гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.
Задачі з гіперболою
Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.
1 крок. Будуємо креслення відповідно до умов задачі. По визначенню маємо дві точки — фокуси. Відзначимо ці точки на одній горизонталі, назвемо їх  . Проведемо через ці точки пряму лінію. Ця лінія буде віссю ОХ. Із середини відрізка  проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.
2 крок. Візьмемо поточну точку  , тобто лежачу на гіперболі.
3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з'єднуємо відрізками прямих точку М с фокусами.
4 крок. Зв'яжемо алгебраїчним вираженням координати поточної точки М(x;y) з даними по визначенню гіперболи. Позначимо відстань (фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:
Розпишемо відстань  по формулі (1). Для цього ми повинні знати координати фокусів (координати точки М — (х;у)). Т.к. відстань  те фокуси мають координати Тоді по формулі (1) маємо:
Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:
 .
Цим рівнянням зв'язані координати поточної точки М(х;у) з даними задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.
5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і позначивши через
 (11)
Через громіздкість викладень приводити їхній не будемо. Одержимо:
Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. Для неї як і для еліпса існує поняття ексцентриситету, що позначається буквою (епсилон) і характеризує ступінь сплющеності гіперболи. Ексцентриситет обчислюється по формулі:
Побудова гіперболи.
Будуємо прямокутну систему координат. На осі ОХ від початку координат відкладаємо вліво і вправо відрізки а (довільної довжини). А на осі OY — відрізки b. Через точки на осях проводимо прямі, рівнобіжні осям координат. Одержали прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Проведемо діагоналі прямокутника. Вони називаються асимптотами гіперболи. Галузі гіперболи як завгодно близько наближаються до асимптотам, але не перетинають їх. Вершини гіперболи знаходяться на відстані а від початку координат вліво і вправо.
Побудуємо галузі гіперболи. Відстань АВ = 2а — називається дійсною віссю гіперболи, CD = 2b — мнимою віссю гіперболи. З рівності (11) випливає, що  , тобто з > 0 = ОК і фокуси будуть розташовуватися усередині вісей гіперболи.
2. Побудувати гіперболу  і визначити її фокуси й ексцентриситет.
Рішення: Щоб побудувати гіперболу, треба знати параметри а і b, а для цього рівняння гіперболи треба привести до канонічного виду, тобто
Отже , .
Будуємо прямокутну систему координат, на осі ОХ відкладаємо вліво і вправо від початку координат відрізки 4,2, на осі OY нагору і вниз — відрізки 2,1. Проводимо прямі, рівнобіжні осям координат, одержуємо прямокутник зі сторонами  8,4 і 4,2. Проведемо діагоналі цього прямокутника, це асимптоти гіперболи, креслимо галузі гіперболи.
Знайдемо фокуси. Координати фокусів  . Для перебування зі скористаємося співвідношенням (11).
Координати фокусів :
Знайдемо ексцентриситет гіперболи:
 . Ексцентриситет гіперболи завжди більше 1.
Використана література:
Математика. Підручник. – К., 2000.
Математичний словник-довідник. – К., 2001.
|
