Пропускная способность канала - Радиоэлектроника - Скачать бесплатно

Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева
                           Кафедра Радиоуправления



                      Пояснительная записка к курсовой
                               работе по курсу

                         ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
                                   на тему

                     Пропускная способность канала.



                                          Выполнил студент гр.5313
                                          Алмазов А.И.
                                          Руководитель: _____________
                                          Оценка _____________
                                          Комиссия      ________ ( _______
)
                                                  ________ ( _________ )
                                                  ________ ( _________ )



                                 Казань 2002
Оглавление.
    1. Задание…………………………………………………………………..3стр.
    2. Введение…………………………………………...……………………4стр.
    3. Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.
    4. Практическая часть………………………………..…………………..11стр.
    5. Заключение………………………………………………..…………...14стр.
    6. Литература…………………………………………….……………… 15стр.
                                                  Задание.

       В канале  действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение
сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк=8*103
сим/с.

    Рассчитать:
    1) Изменение пропускной способности канала.
    2) Изменение избыточности ? двоичного кода, необходимой для сведения
       ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.
    Построить графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и ?= f(Pc/Pш).
Введение.

    Поставленная задача интересна тем, что мы сможем  проследить  изменение
пропускной способности канала с  изменением  отношения  сигнал/шум  .  Можно
определить пропускную способность  С канала в расчете на один символ
    Ссимвол=maxI(A,B),бит/символ

или в расчете на единицу времени (например, на секунду):
    С=maxI’(A,B)=( Ссимвол , биит/с.
    В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого
мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в
расчете на единицу времени.
    С=Fklog2(1+Pc/Pш),
    А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации
воспользуемся  теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет
выполняться, то  избыточность ? будет равняться 0, значит информация
передаётся без потерь. Если нет, то ? будет больше нуля (?>0). Т.е. чем
меньше величина ?, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.
Теоретическая часть.
                  Пропускная способность канала связи.
    В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость
определяется по формуле:
    I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А).
                   (1)
    Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по  каналу.  Ее
также называют ненадежностью канала. H(B|A)  -  энтропия  шума;  показывает,
сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала  по
каналу иллюстрирует рис. 1.

                                    [pic]
              Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами

    Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.
    Как видно из формулы (1), эта скорость  зависит  не  только  от  самого
канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому  не  может
характеризовать канал как средство передачи информации.
    Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени
( символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем  по
каналу проходит количество информации

    I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A),
                        (2)

    где А и В- случайные символы на  входе  и  выходе  канала.  Из  четырёх
фигурирующих  здесь  энтропий  Н(А)-  собственная  информация  передаваемого
символа  определяется  источником  дискретного  сигнала   и  не  зависит  от
свойств канала. Остальные  три  энтропии  в  общем  случае  зависят  как  от
источника сигнала, так и от канала.
     Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства
источника информации.  Пусть  на  вход  канала  можно  подавать  сигналы  от
различных источников  информации  с  различными  распределениями  P(A).  Для
каждого источника  I(A,B)  примет  свое  значение.  Максимальное  количество
информации, взятое  по  всевозможным  Р(А),  характеризует  только  канал  и
называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:
    [pic]бит/символ,
    где  максимизация  производится  по  всем  многомерным   распределениям
вероятностей Р(А).
    Также определяют пропускную способность С канала в расчете  на  единицу
времени:
    [pic]бит/с,  (3)
где v - количество символов, переданное в секунду.
    В  качестве  примера  вычислим   пропускную   способность   дискретного
симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного  перехода
- p.
                                    [pic]
          Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти

    Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать:  Ссим=max(H(B)-
H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий  задачи  вероятность  правильной
передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность  ошибочной  передачи  одного
символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся  по  каналу.
Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов  -
m*(m-1). Отсюда следует, что:
    [pic].
    Следовательно,  Н(В/А)  не  зависит  от  распределения   вероятности  в
ансамбле А,  а определяется только  переходными  вероятностями  канала.  Это
свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.
    Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:
    [pic]. (4)
    Пропускная  способность  в  двоичных  единицах  в  расчете  на  единицу
времени:
    [pic].                                                   (5)
    Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в
двоичных единицах в единицу времени
    С=([1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)]
                             (6)
    Зависимость  С/( от р согласно (6) показана на рис.3
    [pic]
    рис.3 Зависимость  пропускной способности двоичного симметричного
канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

    При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой
вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить
совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2
последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют
обрывом канала.

            Пропускная способность непрерывного канала связи.

    Вычисляется  аналогично  пропускной  способности  дискретного   канала.
Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью  отсчетов  согласно
теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за  время  Т,  равна
сумме количества информации, переданной за один  отсчет.  Поэтому  общая  ПС
канала равна сумме ПС на один такой отсчет:
    [pic], (7)
где U - переданный сигнал; Z - сигнал на  выходе  канала  с  наложенными  на
него шумами; N - шум; Z=U+N.
    Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности
w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала  и
шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:
    [pic].
    Отсюда следует:
    [pic].
    ПС в расчете на секунду будет равна:
    [pic], (8)
поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну  секунду
мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.
    Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид  только  при  условии,  что
плотности распределения вероятностей w(U)  и  w(N)  подчиняются  нормальному
закону.
    Формула (8) имеет важное значение, т.к.  указывает  на  зависимость  ПС
канала от его  технических  характеристик  -  ширины  полосы  пропускания  и
отношения мощности сигнала к мощности шума.
    Чтобы выяснить как зависит  пропускная  способность  от  ширины  полосы
пропускания  выразим  мощность  шума  в  канале  через   его   одностороннюю
спектральную мощность N0. Имеем Рш=N0F; поэтому

    С=F*log(1+                Pc/N0*F                )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F)
                  (9)

    При увеличении  F  пропускная  способность  С,  бит/с,  сначала  быстро
возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:

    C?=Lim(Pc/N0)*loge
                                  (10)

     Результат (10) получается очень просто, если учесть,  что  при  |(|<<1
ln(1+()((. Зависимость С и F показана на рис.4.
            [pic]F N0/Pc
            рис.4 Зависимость нормированной пропускной способности
                    гауссовского канала от его полосы пропускания.

                  Теорема кодирования для канала с помехами.

      Это  основная  теорема  кодирования  К.  Шеннона.   Применительно   к
дискретному источнику информации она формулируется так:
    Теорема.  Если  производительность  источника  сообщений  H’(A)  меньше
пропускной  способности  канала  С:  H’(A)<эээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээээ