Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями - Радиоэлектроника - Скачать бесплатно
Содержание
Введение....................................................................
.....................................
Основные
уравнения...................................................................
..................
Фурье-компоненты рассеянной
волны......................................................
Уравнения Виннера-
Хопфа....................................................................
......
Приближенные
решения..................................................................
............
Примеры расчетов и примеры
экспериментов.........................................
Заключение...............................................................
.....................................
МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ ИЗ ДИЭЛЕКТИКА С ПОТЕРЯМИ.
ВВЕДЕНИЕ.
В настоящей статье изучается задача рассеяния плоской волны
параллелепипедом из диэлектрика с потерями, причем считается, что
размеры параллелепипеда сравнительно больше по отношению к длине волны.
При исследовании используется метод Виннера-Хопфа. А именно, посредством
обобщения решения задачи для полубесконечного тела, полученного в работе
Джоунса, попытаемся распространить результаты для полубесконечных
пластин из диэлектрика с большим потерями так же, как было получено
решение для параллелепипеда из проводника. Само собой разумеется, что
полученные результаты совпадают с решением для случая идеального
проводника, если считать удельную электрическую проводимость бесконечно
большой. В качестве характерной особенности предлагаемого метода, по-
видимому, можно указать на то, что этот метод, так же как и метод в
случае параллелепипеда из проводника, оказывается чрезвычайно
эффективным в применении к телам с поперечным сечением в виде
продолговатого прямоугольника, большая сторона которого сравнительно
велика по отношению к длине волны. Конечно, в случае больших размеров
тел приближение геометрической оптики и приближение физической оптики
могут практически применяться в качестве наиболее простых методов,
однако, для того, чтобы знать в каком диапазоне размеров эти приближения
являются верными, необходимо выполнить точные расчеты и провести
эксперименты. В данной работе приводятся также и результаты модельных
экспериментов, в которых использовались микроволны; проведено
сравнительное изучение с результатами расчетов. Что касается среды с
большими потерями, то в параллелепипеде закреплялся бетон, а в качестве
проводника использовалась алюминиевая пластина, изготовленная в виде
параллелепипеда.
На рис.1 представлено схематическое изображение параллелепипеда и
геометрические данные рассматриваемой задачи. В данном случае
исследуется задача рассеяния (двухмерная) плоской волны (Е-волны),
падающей на параллелепипед из диэлектрика с большими потерями под углом
( к оси х. Ширина параллелепипеда равна 2а, толщина - 2b. Считаем, что
изменение во времени описывается фактором [pic].
Рис.1. Схематическое изображение данных задаче
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Полное электромагнитное поле (t), рассеянная волна (S) и падающая
волна (i) связаны следующим соотношением:
[pic] ( 1 )
Считаем, что падающая плоская волна в рассматриваемой задаче может быть
задана в следующем виде:
[pic]
[pic] ( 2 )
[pic]
Здесь: [pic], [pic]- диэлектрическая проницаемость и магнитная
проницаемость в вакууме.
В силу строения рассеивающего тела (двухмерности задачи) плоскость
поляризации неизменна, уравнения Максвелла можно записать в следующем
виде:
[pic] (3)
Здесь индекс j=0 относится к волновому уравнению в вакууме, а j=1 - к
волновому уравнению в среде с потерями. Кроме того, величины (, (
представляют собой диэлектрическую проницаемость и удельную
электрическую проводимость среды с потерями, [pic] обозначает
комплексную относительную диэлектрическую проницаемость.
Решение уравнений (3) в данной задаче можно отыскивать так, чтобы
удовлетворялись следующие граничные условия:
(В1) условия излучения вовне при r ( ( ;
(В2) непрерывность [pic]при | y |=b ;
(В3) непрерывность [pic] при | x |=a, | y |=b ;
(В4) непрерывность [pic] при | y |=b ;
(В5) условия концевой точки при | x |=a , | y |=b .
При решении задачи используется преобразование Фурье и обратное
преобразование Фурье, которые определяются ниже следующим образом:
[pic] (4)
Здесь контур интегрирования С в обратном преобразовании представляет
собой контур интегрирования в интеграле с бесконечными пределами,
находящийся в общей области Д( , которая может быть получена на
основании предположения о том, что в вакууме имеются незначительные
потери (JmK0<0) (область Д, не являющаяся общей, обусловлена
существованием полюса (=(0, сопутствующего падающей волне).
[pic]
Рис.2. Плоскость комплексной переменной ( и контур интегрирования С
ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТЫ РАССЕЯНОЙ ВОЛНЫ
Для проведения исследования дальше разложим рассеянную волну на
три электромагнитные волны следующим образом:
[pic], (5)
причем считаем, что каждая электромагнитная волна при | y | ( b
удовлетворяет следующим соотношениям:
[pic] (6)
Здесь: L(x) - ступенчатая функция:
[pic]
(7)
Смысл индексов, которыми снабжены каждая из электромагнитных волн, как
видно из формул (6), определяющих эти электромагнитные волны,
заключается в следующем. Нижний индекс «0»соответствует тому, что поле
удовлетворяет волновому уравнению в вакууме, а индекс «1» - тому, что
поле удовлетворяет волновому уравнению в среде с потерями. Другими
словами, эти индексы соответствуют значениям индекса j=0, 1 в уравнениях
(3). Кроме того, верхний значок (+) указывает на то, что данное поле
имеет смысл только при x >a, а значок (-) - на то, что
рассматриваемое поле имеет смысл только при x <-a. В силу этих
определений делаются особенно ясными аналитические свойства Фурье-
компонент каждой электромагнитной волны и становится возможным
выполнение исследования, основанного на теоретико-функциональных
рассуждениях.
Найдем теперь Фурье-компоненты рассеянной волны. Прежде всего
посредством перехода к прямому преобразованию Фурье в волновом уравнении
(3) при | y | ( b можно получить следующее уравнение:
[pic] (8)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (В1),
(В2), может быть записано следующими образом:
[pic] (9)
Считаем здесь, что ветвление [pic] выбирается условием [pic]. Кроме
того, неизвестные функции представляют собой, как показывают приводимые
ниже формулы, Фурье-компоненты рассеянной волны при | y | = b. Наконец,
точка [pic] представляет собой полюс, происходящий от падающей волны:
[pic] (10)
[pic] (11)
Здесь значок справа у неизвестной функции [pic] указывает на то,
что в случае значка «+» эта функция регулярна в верхней полуплоскости (
в области U ), а в случае значка « - » рассматриваемая функция регулярна
в нижней полуплоскости ( в области L ). В дальнейшем используется этот
способ обозначений.
С другой стороны, при | y | ( b существует разрыв в среде. В
результате выполнения прямого преобразования Фурье в волновом уравнении
(3) оно превращается в следующие дифференциальные уравнения
неодинакового порядка:
[pic] (12)
Здесь «вынужденные» члены в правых частях можно вывести, принимая
во внимание то обстоятельство, что величины в соотношениях (6) и
падающая волна ([pic]) непрерывны при | x | = a.
Из уравнений (3) следует, что [pic] представляет собой производную
[pic], умноженную на постоянный коэффициент, поэтому, полагая
[pic] (13)
можем добиться того, чтобы удовлетворялось граничное условие (В3). В
приведенных соотношениях символ производной [pic] означает, что в
производной [pic] выполнен предельный переход [pic]. Таким образом,
разлагая волну на торцевой плоскости ( при | x | = ( ) в следующий ряд,
можем легко найти специальные решения уравнений (12):
[pic] (14)
[pic] (15)
Что касается соотношений (14), то они превращаются в специальный
способ разложения в ряд Фурье. Иначе говоря, представляют собой
разложения по системе ортогональных функций, превращающихся в нуль при |
y | =b. Физически они представляют собой собственные колебания
плоскопараллельного волновода. Достаточность таких разложений будет
видна из обсуждения свойств регулярности, о которых речь идет ниже.
Окончательно, в качестве решения уравнений (12), удовлетворяющих
граничным условиям (В2), (В3), можем записать следующие выражения :
[pic](16
Здесь члены рядов представляют собой частные решения. Кроме того,
неизвестные функции, снабженные нижними индексами C, S, представляют
собой, с учетом свойств четности в соотношениях (10), следующие
выражения ( j=0, 1):
[pic] (17)
Наконец, выполняются следующие соотношения ( j=0, 1, q= c, s):
[pic]
(18)
В заключение обсудим коэффициенты разложений в формулах (14). Как
отмечалось и при разъяснении формул (6), выступающих в качестве
определений, за исключением членов, связанных с падающей волной
(известные выражения), функция [pic] определена при x>(, а функция [pic]
определена при x<-(. Это означает, что Фурье-компоненты этих функций
обладают следующим свойствами регулярности, за исключением полюса при
[pic]=[pic]( : компонента [pic]регулярна в верхней полуплоскости
(области U), а компонента [pic] регулярна в нижней полуплоскости
(области L). С другой стороны, функция [pic] определена на ограниченном
интервале -a
|
