Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре - Радиоэлектроника - Скачать бесплатно
Министерство общего и профессионального образования РФ
Воронежский государственный университет
факультет ПММ
кафедра Дифференциальных уравнении
Курсовая работа
“Моделирование распределения потенциала
в МДП-структуре”
Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
Никулин Л.А.
Руководитель : старший преподаватель
Рыжков А.В.
Воронеж 1998г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ
Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
Использование разностных схем для решения
уравнения Пуассона и для граничных условий
раздела сред
Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 5
Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - 8
Общий алгоритм численого решения задачи
Метод установления - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - 10
Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - 13
Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - 16
ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - -
- -
ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - -
- - -
Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре
Математическая модель
Пусть j(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в
полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет
уравнению Лапласа:
d2j + d2j = 0
dx2 dy2
а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:
d2j + d2j = 0
dx2 dy2
где
q - элементарный заряд e;
enn -диэлектрическая проницаемость кремния;
Nd(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;
Na(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;
e0 -диэлектрическая постоянная
0 D
E
y
B
G
C
F
A
H
x
На контактах прибора задано условие Дирихле:
j| BC = Uu
j| DE = Uз
j| FG = Uc
j| AH = Un
На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение
однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры
относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:
dj = 0 dj = 0
dy AB dy GH
На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана
означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического
тока:
dj = 0 dj = 0
dy DC dy EF
На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие
сопряжения :
j| -0 = j| +0
eok Ex |-0 - enn Ex |+0 = - Qss
где Qss -плотность поверхностного заряда;
eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;
enn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .
Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно
близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния .
Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы
раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва
вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной
поверхностного заряда на границе раздела.
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и
для граничных условий раздела сред
Уравнение Пуассона
В области {(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка
W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2}
x0 =0 , y0=0, xM1 = Lx , yM2 = Ly
xi+1 = xi + hi+1 , yj+1 = yj+ rj+1
i = 0,...,M1-1 j = 0,...,M2-1
Потоковые точки:
xi+ Ѕ = xi + hi+1 , i = 0,1,...,M1-1
2
yj+ Ѕ = yj + rj+1 , j = 0,1,...,M2-1
2
Обозначим :
U(xi,yj) = Uij
I(xi+Ѕ,yj) = Ii+Ѕ,j
I(xi,yj+Ѕ) = Ii,j+Ѕ
Проинтегрируем уравнение Пуассона:
Dj = - q (Nd + Na)
e0en
Q(x,y)
по области:
Vij = { (x,y) : xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ , yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ }
xi+ Ѕ yj+ Ѕ xi+ Ѕ yj+ Ѕ
т т Dj dxdy = т т Q(x,y)dxdy
xi- Ѕ yj- Ѕ xi- Ѕ yj- Ѕ
Отсюда:
yj+Ѕ xi+Ѕ
т(Ex(xi+Ѕ,y) - Ex(xi-Ѕ,y) )dx + т(Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,yj-Ѕ))dy=
yj-Ѕ xi-Ѕ
xi+ Ѕ yj+ Ѕ
= т т Q(x,y)dxdy
xi- Ѕ yj- Ѕ
Здесь:
Ex(x,y) = - dj(x,y)
dx
(*)
Ey(x,y) = - dj(x,y)
dy
x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.
Предположим при
yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex(xi + Ѕ,yj) = Ei+ Ѕ ,j = const
yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex(xi - Ѕ ,yj) = Ei- Ѕ ,j
= const (**)
xi-Ѕ < x < xi+ Ѕ Ey(xi, yj + Ѕ) = Ei,j+ Ѕ = const
xi-Ѕ < x < xi+ Ѕ Ey(xi, yj -Ѕ ) = Ei,j - Ѕ = const
xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ
yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ - Q(x,y) = Qij = const
Тогда
(Ex)i+ Ѕ ,j - (Ex)i -Ѕ ,j r*j + (Ey)ij+ Ѕ - (Ey)ij- Ѕ h*i =
Qijh*i r*j
где h*i = hi - hi+1 , r*j = rj - rj+1
2 2
Теперь Еi+ Ѕ ,j выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки:
xi+1
тEx(x,yj)dx = - ji+1,j - jij
xi
из (**) при y=yj:
(Ex)i+ Ѕ ,j = - ji+1j - jij
hi+1
Анологично :
(Ey)i,j+ Ѕ= - jij+1 - jij
rj+1
Отсюда:
(Dj)ij = 1 j i+1,j - j ij - j i j - j i-1,j + 1 j i
j+1 - j ij - j ij - j ij-1 =
h*i hi+1 hi
r*j rj+1 rj
= Ndij + Naij
Граничные условия раздела сред
SiO2
e1
Si
y
en
x
Для области V0j
yj+ Ѕ
x Ѕ
ene0 т(Ex(x Ѕ ,y) - E+x(0,y))dy + ene0 т (Ey(x,yj+ Ѕ) - Ey(x,j- Ѕ ))dx =
yj- Ѕ
0
x Ѕ yj+Ѕ
= q т т (Nd + Na)dxdy
0 yj-Ѕ
Для области V`0j
yj+ Ѕ
x Ѕ
ene0 т(E-x(0,y) - Ex(x -Ѕ,y))dy + ene0 т (Ey(x,yj+Ѕ) - Ey(x,j-Ѕ))dx = 0
yj- Ѕ
0
где E+x(0,y) и E-x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора
Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая
условия:
ene0 dj + - e1e0 dj - = -Qss
dx
|
