Преподавание алгебраического материала в начальной школе - Педагогика - Скачать бесплатно
Содержание
Введение 2
Глава I. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в
начальной школе 7
1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе 7
1.2 Психологические основы введения алгебраических понятий
в начальной школе 12
1.3 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение
для построения учебного предмета 20
Глава II. Методические рекомендации к изучению алгебраического материала в
начальной школе 33
2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей
средней школы 33
2.1 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики 38
2.3 Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления 48
Глава III. Практика изучения алгебраического материала на уроках математики
в начальных классах средней школы № 4 г. Рыльска 55
3.1 Обоснование использования инновационных технологий (технологии
укрупнения дидактических единиц) 55
3.2 Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями в I классе 61
3.3 Обучение решению задач, связанных с движением тел 72
Заключение 76
Библиографический список 79
Введение
В любой современной системе общего образования математика занимает
одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой
области знаний.
Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и
подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет
разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных
потребностей.
Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако,
представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык
математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным
именно потому что математика к нему не сводится.
Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика
не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как
бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней
сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи
математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности
природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает
отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако,
если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном
многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от
одного к другому " ([12], с. 44).
Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы
мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.
В настоящее время все более ощутимой становится диспропорция между
степенью наших познаний природы и пониманием человека, его психики,
процессов мышления. У. У. Сойер в книге "Прелюдия к математике" ([20], с.
7) отмечает: "Можно научить учеников решать достаточно много типов задач,
но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать
нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума", которая дала бы им
возможность в дальнейшем не только самостоятельно решать, но и ставить
перед собой новые задачи.
Конечно, здесь существуют определенные границы, о которых нельзя
забывать: многое определяется врожденными способностями, талантом. Однако,
можно отметить целый набор факторов, зависящих от образования и воспитания.
Это делает чрезвычайно важной правильную оценку огромных неиспользованных
еще возможностей образования в целом и математического образования в
частности.
В последние годы наметилась устойчивая тенденция проникновения
математических методов в такие науки как история, филология, не говоря уже
о лингвистике и психологии. Поэтому круг лиц, которые в своей последующей
профессиональной деятельности возможно будут применять математику,
расширяется.
Наша система образования устроена так, что для многих школа дает
единственную в жизни возможность приобщиться к математической культуре,
овладеть ценностями, заключенными в математике.
Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности
на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству
решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для
формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость
исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит
видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является на наш
взгляд важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс
математики на формирование различных форм мышления: логического,
пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс
начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей
организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез,
учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить
новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она
вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни
один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого
мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку
в осознании самого себя и формировании своего характера.
Это то немногое из большого списка причин, в силу которых
математические знания должны стать неотъемлемой частью общей культуры и
обязательным элементом в воспитании и обучении ребенка.
Курс математики (без геометрии) в нашей 10-летней школе фактически
разбит на три основные части: на арифметику (I - V классы), алгебру (VI -
VIII классы) и элементы анализа (IX - Х классы). Что служит основанием для
такого подразделения?
Конечно, каждая эта часть имеет свою особую "технологию". Так, в
арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над
многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями,
логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более
глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части?
Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики
и алгебры (т.е. первой и второй части курса). В арифметику включают
изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и
десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих
видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.
Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со
счетом предметов, вторые - с измерением величин. Это обстоятельство весьма
важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются
лишь частным случаем действительных чисел.
С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, "нет
столь глубокого различия между рациональными и иррациональными
действительными числами. Из педагогических соображений надолго
задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме
дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается,
должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности"
([12]), стр. 9).
А.Н. Колмогоров считал оправданным как с точки зрения истории развития
математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении
после натуральных чисел сразу к происхождению и логической природе
действительных чисел. При этом, как отмечал А.Н. Колмогоров, "подход к
построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения
величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных
чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненное преимущество" ([12],
стр. 10).
Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых)
чисел сразу формировать "самое общее понятие числа" (по терминологии А.
Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы
это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в ее
школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным - это
переход от арифметики к "алгебре", к созданию фундамента для анализа.
Эти идеи, высказанные более 20 лет назад, актуальны и сегодня.
Возможно ли изменение структуры обучения математики в начальной школе в
данном направлении? Каковы достоинства и недостатки «алгебраизации»
начального обучения математики? Цель данной работы - попытаться дать ответы
на поставленные вопросы.
Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:
. рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе
алгебраических понятий величины и числа. Эта задача ставится в первой
главе работы;
. изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе.
Здесь, в частности, предполагается рассмотреть так называемую теорию
укрупнения дидактических единиц (УДЕ), речь о которой пойдет ниже;
. показать практическую применимость рассматриваемых положений на школьных
уроках математики в начальной школе (уроки проводились автором в средней
школе № 4 г. Рыльска). Этому посвящена третья глава работы.
Применительно к библиографии, посвященной данному вопросу, можно
отметить следующее. Несмотря на то, что в последнее время общее количество
изданной методической литературы по математике крайне незначительно,
дефицит информации при написании работы не наблюдался. Действительно, с
1960 (время постановки проблемы) по 1990 гг. в нашей стране вышло огромное
число учебной, научной и методической литературы, в той или иной степени
затрагивающий проблему введения алгебраических понятий в курсе математики
для начальной школы. Кроме того, эти вопросы регулярно освещаются и в
специализированной периодике. Так, при написании работы в значительной мере
использовались публикации в журналах «Педагогика», «Преподавание математики
в школе» и «Начальная школа».
Глава I. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в
начальной школе
1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе
Содержание учебного предмета, как известно, зависит от многих факторов
- от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук,
от психических и физических возрастных возможностей детей и т.д. Правильный
учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного
обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда
это условие по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае
преподавание не дает должного эффекта как в отношении усвоения детьми круга
необходимых знаний, так и в отношении развития их интеллекта.
Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых
учебных предметов, в частности математики, не соответствуют новым
требованиям жизни, уровню развития современных наук (например, математики)
и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует
необходимость всесторонней теоретической и экспериментальной проверки
возможных проектов нового содержания учебных предметов.
Фундамент математических знаний закладывается в начальной школе. Но, к
сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма
малое внимание именно содержанию начальной математики. Достаточно сказать,
что программа по математике в начальной школе (I - IV классы) в основных
своих чертах сложилась еще 50 - 60 лет назад и отражает, естественно,
систему математических, методических и психологических представлений того
времени.
Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по
математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа
и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности. Вначале
изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем - устные вычисления в
пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в
пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости
между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие
дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер
времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых
элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника и квадрата,
измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов.
Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и
к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач
проводится параллельно изучению чисел и действий - для этого отводится
половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять
конкретный смысл действий, уяснить различные случаи их применения,
установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки
анализа и синтеза. С I по IV класс дети решают следующие основные типы
задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и
частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное
сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на
нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего
арифметического и некоторые другие виды задач.
С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении
задач. Но весьма характерно - учащиеся приступают к задачам после и по мере
изучения чисел; главное, что требуется при решении - это найти числовой
ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в
конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими
задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет
действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных
величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в
которой более "сложные" ситуации были бы связаны и с более "глубокими"
пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно
встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу
и от класса к классу по запутанности сюжета (возрастает число действий), по
рангу чисел (от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей
(от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам.
Только один параметр - углубление в систему собственно математических
закономерностей - в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень
сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи.
Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение
среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и кратное
сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и
логичного ответа.
Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных,
полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни
при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по
преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не
обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки
методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным
успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее
ограничены рамками принятого содержания.
Представляется, что в основе критического анализа принятой программы
по арифметике должны лежать следующие положения:
. понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике
объектов;
. число не является исходной формой выражения количественных отношений.
Приведем обоснование этих положений.
Общеизвестно, что современная математика (в частности, алгебра)
изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой
оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения
вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т.д.
(отношение "больше", "меньше", "равно"). Изложение исходных
общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в
такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов
числами. Так, в книге Е.Г. Гонина "Теоретическая арифметика" основные
математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми
знаками ([4], стр. 12 – 15). Характерно, что те или иные виды чисел и
числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств
множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая
форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных
математических определений даются в графической форме, через соотношение
отрезков, площадей ([4], стр. 14-19). Все основные свойства множеств и
величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более
того, последние сами получают обоснование на основе общематематических
понятий.
В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов
показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до
появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Правда, есть
тенденция относить эти представления к категории "доматематических
образований" (что вполне естественно для традиционных методик,
отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако это
не меняет существенной их функции в общей ориентировке ребенка в свойствах
вещей. И порой случается, что глубина этих якобы "доматематических
образований" более существенна для развития собственно математического
мышления ребенка, чем знание тонкостей вычислительной техники и умение
находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что акад. А.Н.
Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально
отмечает следующее обстоятельство: "В основе большинства математических
открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое
построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить
надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого
взгляда кажется недоступной" ([12], стр. 17).
В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно
структуры и способов построения новой программы. К работе по ее
конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков,
методистов. Но во всех своих конкретных вариантах она, как представляется,
должна удовлетворять следующим основным требованиям:
. преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной
и средней школе;
. давать систему знаний об основных закономерностях количественных
отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы
выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом
программы;
. прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки
вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе
которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь
математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими
конкретные величины);
. решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу,
которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и
других подсобных (в частности, электронных) средств.
Смысл этих требований ясен: в начальной школе вполне возможно
преподавать математику как науку о закономерностях количественных
отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории
чисел должны стать особым и частным разделом программы.
Опыт конструирования новой программы по математике и ее
экспериментальная проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов,
позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу
начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о
количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.
1.2 Психологические основы введения алгебраических понятий в начальной
школе
В последнее время при модернизации программ особое значение придают
подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта
тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой
тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это
наблюдается, например, в американской школе [19]) неизбежно поставит ряд
трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед
дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности
усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и
числа, которое исследовалось весьма многосторонне).
Логические и психологические исследования последних лет (в особенности
работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов" детского мышления с
общематематическими понятиями. Ниже специально рассматривается особенности
этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета
(при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо
частном варианте программы).
Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем
протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях
производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-
теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В
разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа
- исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для
построения большинства математических дисциплин.
Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу
реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с
числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности
количественных отношений. Счет и число - основа всего последующего усвоения
математики в школе.
Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя
особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают
его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и
роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в
частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ,
методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть
действительную связь понятия о числе с другими понятиями.
Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения
эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике
независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого
характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет - разные
числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и
значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие
понятия развивались именно в той мере, в какой "алгебраические операции",
известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали
применяться к элементам совершенно не "числового" характера.
В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап
введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в
методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках.
Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6 -
7 лет ([19]) , на первых страницах вводятся задания и упражнения,
специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных
групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится
соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на
элементарные сведения о множествах.
Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации
этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и
перспективна.
На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции"
и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с
формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь
подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом
построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и
"натренированной" в математике головы. Однако некоторые свойства вещей,
фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже
сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.
Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10
лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих
представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-
предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале
дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-
следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той
"системы координат", внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать
разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало
осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме
отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой
организации поведения ребенка (хотя, конечно, все более и более
отображаются и в суждениях).
В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования
интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о
действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским
психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое
отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому
нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной
программы.
В одной из своих последних книг ([17]) Ж. Пиаже приводит
экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет)
таких элементарных логических структур, как классификация и сериация.
Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А'
= В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение
предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно
расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше
всех последующих).
Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже показывают, как от ее
исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на
пространственной близости объектов, дети переходят к классификации,
основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к
самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между
объемом и содержанием понятия. Автор
|
