Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики - Педагогика - Скачать бесплатно

3. Аналіз діючих підручників та тестів.

Порівняльна характеристика тем.
             Останній  час  тема  «Показникова   і   логарифмічна   функція»
вивчається в середній школі за підручником  під  редакцією  А.Н.Колмогорова.
На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є  М.І.  Шкіль,
З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по  іншому.
Проведемо  порівняльну  характеристику  вивчення  данної  теми  в   згаданих
підручниках.

      Тема: «Показникова функція».
|Підручник під редакцією            |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук         |
|аналізу у 10-11 кл.»               |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
|                                   |кл.»                               |
|(1 Показникова функція             |(1 Поняття показникової функції.   |
|n.1.Степінь з ірраціональним       |n.1.  Означення і графік           |
|показником                         |показникової функції.              |
|Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic],  |
|кожному числу [pic] число [pic].   |де а>0, [pic] називається          |
|Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а).        |
|[pic], визначену на множені Q      |Вивчення показникової функції      |
|раціональних чисел. Зазначається,  |починається з   функції [pic],     |
|що при а=1 функція  [pic] стала,   |потім розглядається [pic],         |
|так як [pic] для будь-якого        |будуються їхні графіки і           |
|раціонального числа.               |порівнюються. Далі розглядається   |
|Будуються графіки функцій [pic] і  |функція [pic]. Порівнюються графіки|
|[pic] і порівнюються. Далі         |функції [pic] і  [pic]. З графікив |
|описується як визначається число   |зчитуються спільні властивості.    |
|[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій  |
|а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З     |
|описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості    |
|для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій.                           |
|[pic] для будь-якого [pic] і       |                                   |
|[pic][pic]для [pic][pic][pic]      |                                   |
|n.2. Властивості показникової      |n.2. Загальні властивості          |
|функції.                           |показникової функції.              |
|Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R                             |
|[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic]                              |
|показниковою з основою а.          |якщо x=0, показникова функція [pic]|
|Формулюються основні властивості:  |                                   |
|Область визначення множина R       |Зазначені вище властивості         |
|дійсних чисел.                     |доводяться, розглядаються всі      |
|Область значень множина R+ всіх    |можливі випадки. Далі наводяться   |
|додатніх дійсних чисел.            |властивості без доведення.         |
|При [pic] функція зростає на всій  |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |
|числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|
|спадає на множині R.               |додатнє число N, існує, і до того ж|
|При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic]   |
|у справедливі рівності             |                                   |
|                                   |                                   |
|[pic]                              |                                   |
|[pic];                             |                                   |
|[pic]                              |                                   |
|[pic]                              |                                   |
|[pic].                             |                                   |
|                                   |n.3. Властивості графіка           |
|                                   |показникової функції.              |
|                                   |Графік розміщений у верхній        |
|                                   |півплощині, тобто там де ординати  |
|                                   |додатні.                           |
|                                   |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |
|                                   |перетинає графік і до того ж тільки|
|                                   |в одній точці.                     |
|                                   |Крива проходить через точку (0;1), |
|                                   |тобто  коли х=0, функція чисельно  |
|                                   |дорівнює 1.                        |
|                                   |З двох точок графіка вище розміщена|
|                                   |та , яка лежить правіше, тобто в   |
|                                   |міру просування зліва на право він |
|                                   |піднімається  вгору.               |
|                                   |На графіку є точки, які лежать вище|
|                                   |будь-якої прямої, паралельної осі  |
|                                   |0х. На графіку є точки, що лежать  |
|                                   |нижче будь-якої прямої, проведеної |
|                                   |у верхнії півплощині паралельно осі|
|                                   |Х.                                 |
|                                   |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|
|                                   |і лежить у верхній півплощині,     |
|                                   |перетинає графік, і при чому в     |
|                                   |одній точці.                       |
|                                   |n.4.Приклади застосування          |
|                                   |властивостей показникової функції. |
|                                   |В цьому пункті наводяться приклади |
|                                   |вправ на показникову функцію і     |
|                                   |варіанти їх розв’язування.         |
|                                   |n.5. Використання показникової     |
|                                   |функції під час вивчення явищ      |
|                                   |навколишнього середовища           |
|                                   |Задача про радіоактивний розпад.   |
|                                   |Задача про зміну атмосферного      |
|                                   |тиску.                             |
|                                   |Задача про розмноження бактерій.   |
|                                   |Задача про вакуумування.           |
|                                   |Задача про приріст деревини.       |
|                                   |Всі запропоновані задачі наводяться|
|                                   |з розв’язанням.                    |
|                                   |n.6. Основні показникові           |
|                                   |тотожності.                        |
|                                   |Для будь-яких дійсних значень х і у|
|                                   |справедливі рівності:              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic];                             |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|(2 Розв’язування показникових      |(2 Розв’язування показникових      |
|рівнянь і нерівностей.             |рівнянь і нерівностей.             |
|n.1. Рівняння.                     |n.1. Показникові рівняння.         |
|Розглядається найпростіше          |Показниковим називають рівняння, в |
|показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до      |
|[pic]. Кажуть, що у випадку [pic]  |показників степенів при сталих     |
|або [pic] рівняння не має          |основах. Найпростішим рівнянням є  |
|розв’язків.                        |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|
|Нехай  [pic]. Функція [pic] на     |що загального методу розв’язування |
|проміжку [pic] зростає при [pic]   |показникових рівнянь немає.        |
|(спадає при  [pic]) і набуває      |Виділяють кілька типів показникових|
|додатних значень. Застосувавши     |рівнянь і наводять схеми (приклади)|
|теорему про корінь, дістаємо, що   |їх розв’язання.                    |
|рівняння  при будь-якому [pic],    |Найпоширеніший спосіб: зведення    |
|[pic], має єдиний корінь.          |обох частих показникового рівняння |
|Щоб його знайти треба  [pic]подати |до спільної основи. Приклади.      |
|у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання:    |
|є розв’язком рівняння [pic] ,      |зведення до спільного показника.   |
|демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння       |
|Розглядається 4 приклади.          |перетворюють відомими методами:    |
|                                   |заміни, зведення до квадратного    |
|                                   |рівняння, а потім вже              |
|                                   |використовують певну схему.        |
|n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|
|Розв’язання найпростійших          |містять показникову функцію.       |
|показникових показникових          |Найпростішими є нерівності виду    |
|нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування       |
|властивості функції [pic]; ця      |використовують властивість         |
|функція зростає, якщо [pic], і     |монотонності показникової функції. |
|спадає, якщо [pic]. Розглядаються  |І кажуть, що для [pic]             |
|приклади.                          |розв’язування даної нерівності     |
|                                   |зведеться до розв’язування         |
|                                   |нерівності [pic], а для [pic]      |
|                                   |зводиться до розв’язування         |
|                                   |нерівності [pic]. Приклади         |
|                                   |розв’язання нерівностей.           |

                        Тема: «Логарифмічна функція».
|Підручник під редакцією            |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук         |
|аналізу у 10-11 кл.»               |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
|                                   |кл.»                               |
|(1 Логарифми і їх властивості.     |(1 Логарифми.                      |
|n.1.Логарифм.                      |n.1. Поняття логарифма.            |
|Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |
|b за основою а  називається        |[pic], де a>0, a[pic]1, називають  |
|показник степеня, до якого слід    |логарифмом числа N за основою а.   |
|піднести основу а, щоб отримати    |Логарифмом числа N за основою а    |
|число b.