Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие) - Педагогика - Скачать бесплатно
План
|Вступление . . . . . . . . . . . . . . . . . .|
|. . . . . . . . . 2 |
|О роли задач в обучении математике . . . . . . . . . |
|2 |
|Как учит решать задачи современная школа? . . . . 4 |
|Формулировка проблемы . . . . . . . . . . . . . . |
|. 10 |
|I. Как ученики реагируют на «аномальные» задачи |
|(констатирующие эксперименты) . . . . . . . . . . . |
|. . . 17 |
|Обоснование целесообразности задач с «аномальным» |
|условием . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . 24 |
|Прикидка методического подхода к обучению |
|решению «аномальных» задач . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . 32 |
|Расширенная система задач по теме «Сумма углов |
|треугольника» . . . . . . . . . . . . . . . . .|
|. . . . . . . . . 37 |
|Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . .|
|. . . . . . . . . . 51 |
|Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . 52 |
| |
Вступление
1. О роли задач в обучении математике
В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая,
если не решающая, роль.
Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод
обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные
идеи этого метода находят в какой–то мере отражение в новых учебниках.
Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.
Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики
решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и
затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые,
стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач,
т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.
Многообразные ситуации, возникающие на математическом и
нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным
задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.
В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения
математике приводит к необходимости учить детей решению не только
стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу
алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче
возникает необходимость в вариативном поиске решения.
"Задача предполагает необходимость сознательного поиска
соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно
не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". [17,
с. 143]
Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных
занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков,
направленных на поиски решения задач.[6, с. 119(120]
В книге [13, с. 165] М. И. Махмутов рассказывает об исследовании,
проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления
закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что
он пишет в книге:
"Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в
учебном процессе общую закономерность активизации познавательной
деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается
главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных
задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение
рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта
или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого
интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия."
Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу
естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально
подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых
алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять
математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие
практические задачи. [11, с.182]
Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных
специалистов в области образования и обучения математике, задача является
основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как
проблемное и развивающее.
2. Как учит решать задачи современная школа?
Однако использование задач в процессе обучения математике и в
настоящее время ещё далеко от совершенства.
Как пишет А.Эсаулов [25, с.8] в психологии и педагогике обращается
внимание преимущественно на то, как решаются уже кем–то найденные и вполне
чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются и
ставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед
собой чётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в
незнакомой ситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая
задача или некая задача, возникшая как следствие из практики (прикладная).
В современном математическом образовании (мы ориентируемся на страны
бывшего СССР) отмечается следующий актуальный аспект: изучение математики
на всех этапах должно иметь развивающий характер и прикладную
направленность. Молодёжи необходимо давать не просто конкретную сумму
знаний, но и прививать ей навыки творчества, интерес к исследованию,
формировать у неё положительную мотивацию. [11, с.136]
Интерес к учебной деятельности, подкрепляемый постоянным активным
участием в открытии новых истин, проверке гипотез, поиском способа действий
в задаче, является основным психологическим условием успешности этой
деятельности. [11, с.129]
Школьные уроки математики по–прежнему нацелены на прохождение
программы, а не на развитие мышления у детей. Учитель видит свою задачу в
том, чтобы школьники с его помощью усвоили ещё одну порцию материала.
Однако главная его задача – всемерно содействовать развитию познавательных
возможностей у учащихся.[11, с.178]
Основную часть времени на уроке ученик проводит, решая задачи, и во
многом от их особенностей (сложности, многогранности, сюжетной формы,
последовательности и др.) и зависит, насколько успешным будет процесс
обучения математике. Но что же мы имеем на самом деле? На практике
получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладает
некоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества.
Со временем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый
неправильный стереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто
ищет стандартную ситуацию, к которой можно было бы применить известные
формулы и теоремы, и теряется, когда предложенная задача требует даже
несложного нестандартного подхода.
По мнению Л.Фридмана, одной из основных в обучении математике функций
задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений
решений любых математических (в том числе и прикладных) задач.
Учащиеся же в настоящее время не получают никаких специальных знаний,
на базе которых возможно такое формирование. Более того, в настоящее время
эти общие умения формируются чисто стихийно, а не в результате
целенаправленного, систематического обучения. Считается, что эти умения
могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа математических
задач. [22, с.151(152]
Анализ школьных учебников математики показывает, что они содержат
вроде бы достаточное (или даже избыточное) количество задач, из которых
учитель может составлять наборы задач, ориентированные на разные классы и
на разных учащихся. Однако учебный эффект получается, по мнению многих
педагогов–исследователей, с которым мы вполне согласны, невысоким.
Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или
малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать
решение, и при этом обычно произносят печально известные слова: "А мы такие
не решали".
Каковы же причины этого широко распространённого явления?
Автор книги [14] видит основную причину в неудовлетворительной
постановке задач в обучении математике. Он пишет: "Проблема постановки
задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла
удовлетворительного решения (ни в нашей стране, ни за рубежом) ни с точки
зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения,
ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач или
представления их в виде целостной системы."
Сейчас, когда учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и
сущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на
то, чтобы найти решение задачи и притом как можно быстрей. На
заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из
выполненного решения, – на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни
желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.
В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды
математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно
учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому
школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.
Одной из особенностей математики является алгоритмичность решения
многих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание
относительно того, какие операции и в какой последовательности надо
выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень
большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью
специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, не
подходящие под стандартное правило, является одной из существенных
особенностей математического мышления, как об этом пишет в своей книге
академик Колмогоров. [7, с.76]
Необходимость специальных способностей для изучения и понимания
математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудности
математики иногда создаётся её плохим, чрезмерно формальным изложением на
уроке.
Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке
приобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные
трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается
никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно
уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно. [7, с.80]
Многие нарекания вызывает и подготовка школьников как абитуриентов,
поступающих в ВУЗы на физико–математические специальности. Многолетняя
практика приёмных экзаменов показывает, что воспитанные в традиционной
школе абитуриенты обладают знаниями, достаточными для поступления в ВУЗ,
однако интеллектуальное развитие большинства из них и, прежде всего,
уровень абстрактного и логического мышления недостаточен для эффективного
обучения по выбранной специальности.[11, с. 92]
Итак, как показывает вышеизложенный анализ литературы, наборы задач
имеющихся школьных учебников пока ещё не удовлетворяют требованиям,
предъявляемым к результативности математического образования. Чаще всего,
эти задачи относятся к алгоритмически разрешимым, не развивают у учеников
вариативного мышления, не учат множеству навыков, столь необходимых для
решения задач, как школьных, так и бытовых, производственных, научных и т.
д.
Рассмотрим более детально, как обстоит дело с задачами,
представленными в действующих учебниках математики.
Анализ школьных учебников математики показывает, что с 5–го по 11–й
класс ученики решают более 7000 задач. [11, с.171]
Если взглянуть на задачи, представленные в школьных учебниках
математики, то все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы
классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке
её возрастания.
Среди предлагаемых учащимся задач представлены задачи разных
классификаций (по крайней мере, к этому стремятся авторы учебников): по их
назначению – тренировочные и развивающие, по наличию алгоритма решения –
стандартные и нестандартные, по характеру требования – доказательные,
вычислительные и конструктивные. Есть и другие классификации, находящие то
или иное отражение в школьных учебниках.
3. Формулировка проблемы
Но одна из классификаций почти не находит отражения в действующих
учебниках за редкими исключениями. Речь идёт о классификации по характеру
условия задачи – определённые, неопределённые и переопределённые.
Школьникам преимущественно предлагаются задачи определённые, т.е. задачи,
содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для
получения ответа, не больше и не меньше. Но почему не больше и не меньше?
Если учитель ставит целью научить своих учеников решать задачи из
жизни, а не из учебников, то он должен научить их: 1) математизировать
ситуацию (т.е. переводить задачу бытовую, производственную и др. на язык
математики); 2) выбирать необходимые для решения величины из их чрезмерного
множества или осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для
решения задачи; 3) решать полученную математическую задачу; 4)
анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее
экономичные; 5) разматематизировать ситуацию (т.е. переводить полученный
ответ на язык бытовой, производственной и прочей практики).
Из перечисленных видов деятельности школа учит разве что третьему.
Остальные затрагиваются в такой ничтожной мере, что говорить даже о
частичном обучении здесь вряд ли следует. Например, если вспомнить о
задачах неопределённых и переопределённых, то таких в современных учебниках
насчитывается не более полупроцента, да и тех учителя чаще всего не
замечают.
Приятным исключением из указанного правила является учебник [18]. Его
автор, профессор Н.Рогановский, предлагает задачи под рубриками, среди
которых есть и такие: «Все ли возможные случаи рассмотрены?», «Достаточно
ли данных для решения задачи?», «Сколько решений имеет задача?» и т. п.
Естественно, задачи, предлагаемые под этими рубриками, соответствуют
поставленному вопросу, т.е. имеют несколько вариантов реализации условия,
несколько возможных путей решения, и количество данных в условии не
обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа.
Но, как уже сказано, этот учебник – исключение. Большинство авторов
других учебников такие задачи игнорируют. Может быть, считают их
бесполезными и ненужными в обучении?
Однако, многие известные педагоги–исследователи считают использование
таких задач полезным и необходимым.
Например, М.Крутецкий в своей книге "Психология математических
способностей школьников" приводит такую классификацию:
1. Задачи с несформированным условием – задачи, в которых имеются все
данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.
2. Задачи с избыточным условием – задачи, в которых имеются лишние
данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения
задачи данные.
3. Задачи с неполным составом условия – задачи, в которых отсутствуют
некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать
конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.
4. Задачи с противоречивым условием – задачи, содержащие в условии
противоречие между данными. [9, с. 124-150]
В.А.Крутецкий описывает исследование, которое он с группой
исследователей проводил во многих школах СССР в течение 12 лет с 1955 по
1966 годы. Исследователи использовали задачи различных типов, среди которых
были и приведённые в этой классификации, в качестве тестовых заданий для
выявления психологических аспектов математических способностей школьников.
По результатам этого исследования получилось, что сильные ученики
справляются с задачами указанных типов практически самостоятельно, быстро,
практически без помощи испытателя. Ученики средних способностей также
неплохо справляются с подобными заданиями, однако для их решения им
требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий на
решение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести
решение этих задач, не видели связи между объектами задачи, и даже с
подсказкой испытателя не могли справиться с заданием.
Следует отметить, что именно с указанными типами задач исследователи
связывали наибольшие надежды.
В книге Д.Пойа "Как решать задачу" приводится похожая классификация,
отличающаяся лишь тем, что в ней отсутствуют задачи с несформированным
составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь
решателю, Д.Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли
удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного?
или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво?
Вроде бы Пойа предполагает решение самых обычных, школьных задач,
однако он не исключает возможности наличия некоторых "аномалий" в условии
задачи, к существованию которых ученики должны быть готовы.
П.Эрдниев в своей книге [24, с.24,40] предлагает использовать в
обучении математике задачи с неполным составом условия ещё с младших
классов, причём он считает, что использование таких задач (деформированных
примеров, как он их называет) позволяет проводить обучение опережающими
темпами, с их помощью можно коренным образом изменить мыслительные процессы
решающего, превратив их в более сложные, более содержательные и потому
лучше развивающие способности ученика.
У Н.Метельского встречается такая классификация задач. Между условием
задачи (А) и её требованием (Х) может быть различное соотношение,
определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколько
определённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи
условно можно изобразить формулой импликации А=>Х, которую будем понимать
так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных для
выполнения требования Х. Если из условия А какое–либо данное опустить, то
получим неопределённую задачу. Она имеет бесконечное множество решений,
зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра),
которой принадлежало значение, выброшенное из условия. Наконец, условие
может содержать, кроме А, некоторое дополнительное данное, и тогда задача
называется переопределённой. В частном случае это "лишнее" данное может
вытекать из тех, что уже имеются в задаче, и тогда задача оказывается
определённой задачей. В остальных случаях переопределённая задача не имеет
решения, поскольку её данные противоречат друг другу, несовместимы.
Основные функции задач в обучении выполняют определённые задачи, однако
известную пользу, по мнению Н.Метельского, приносит учащимся знакомство с
неопределёнными и переопределёнными задачами. [14, с.176(177]
Задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что: они не
обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность
учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач, а
также допускают как несколько способов решения, так и несколько решений
вообще.
В подтверждение этого мнения интересные факты приводит в своей статье
"Остроугольный или тупоугольный?" И.Дегтянникова. Она пишет: "Решая задачу,
часто даже не задумываемся о реальности её условия. Поэтому правы те
авторы, которые включают в свои учебники задачи с нереальными условиями.
Это заставляет проверять условия у всех задач. Кроме того, нереальные
задачи – это готовая проблемная ситуация». [4]
Отсутствие указанных задач в школьных учебниках приводит к тому, что и
учителя не ориентируют свои умения на такие задачи, в результате чего их
педагогическая подготовка содержит изъяны.
В заметке [5] В.Игнатенко пишет об ошибке, найденной в учебнике [1]. В
этом учебнике на с.135 приведена задача 536(б). Вот её текст: "Отрезок BD
является биссектрисой треугольника АBC. Найдите DC, если AB=30, AD=20,
BD=16 и (BDC=(C.
Вроде бы ничего особенного в этой задаче нет. Однако автор, проведя
решение двумя различными способами, заметил, что ответы в них не совпадают.
Попытка смоделировать треугольник с данными, указанными в задаче, показала,
что данные содержали противоречие. Оказывается, маститые авторы популярного
учебника, включив противоречивую задачу в свой учебник, не заметили её
противоречивости, как не замечали её и тысячи учителей, несколько лет
работавших по этому учебнику.
Присутствие такой задачи (пока что только одной) в учебнике геометрии
– только на пользу ученикам и учителям. Жаль, что эта задача – результат
случайной оплошности авторского коллектива, а не результат её закономерного
выбора.
Как пишет М.Буловацкий в своей статье [2], школьник, как правило,
игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или
противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют
размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда
имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по
мнению М.Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования
школьников.
По результатам эксперимента, описанного в статье, переопределённые (с
избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных)
задачи ставят большинство школьников в тупик, из которого они зачастую не в
состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем,
|
