Неевклидова геометрия - Педагогика - Скачать бесплатно
Министерство образования Российской Федерации
Главное управление общего и профессионального образования
Администрации Иркутской области
Государственное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования
Братский педагогический колледж №2
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: Неевклидова геометрия
Выполнил:
Студент 3 курса В группы
Вощевоз Светлана Николаевна
Специальность:
0301 «Математика»
Руководитель:
Савельева Екатерина Васильевна
Преподаватель высшей квалификационной категории
г. Братск, 2001
Оглавление.
I. Основные понятия в геометрии Евклида и в современной геометрии.
II. Аксиомы в «Началах» Евклида
III. Открытие неевклидовой геометрии.
IV. Из истории неевклидовой геометрии.
V. Заключение.
VI. Библиография.
VII. Приложение.
Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные
пространственные формы издавна побуждало людей их практическая
деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры
писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли.
Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно
смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие,
возникла из потребности человека».
Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-
вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались
они сначала только опытным путем, без логических доказательств.
Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда
геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем,
были приведены в надлежащую систему и доказаны.
В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему
известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта
книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.
В своей курсовой работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую
изучают в школе ( Геометрии Евклида или употребительной геометрии),
существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского.
Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней
утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много
прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше
180°. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных
треугольников и так далее.
Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V
постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом
удивительна, необычна и соответствует нашим привычным представлениям о
реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает
геометрии Евклида.
Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строгого
дедуктивного изложения геометрии.
Однако в 19 веке после открытия геометрии Лобачевского – Бояй, а
затем геометрии Римана и в связи с пересмотром основ математического
анализа, предпринятого Больцано, Каши, Абелем Гауссом и другими учеными,
логическое построение «Начал» Евклида стало подвергаться критике. В системе
построения было обнаружено много логических дефектов, часть которых была
заменена еще в древности. Это касается в первую очередь основных понятий
геометрии и евклидовых определений.
Определение нового понятия состоит в раскрытии его содержания в
перечислении его существенных признаков (свойств) с помощью других ранее
определенных понятий и т.д. В конце концов, мы должны дойти до некоторых,
обычно самых простых и немногих понятий, которые являлись исходными, уже
логически прямо не определяются, а принимают за основные понятия. Без
выделения основных понятий операция логического определения всех других
понятий вообще была бы бессмысленной.
Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют
требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми
начинается первая книга «Начал».
1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение
точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и
восходит к Демокриту).
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть точки.
4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению
ко всем своим точкам.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Границы поверхности суть линии.
7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по
отношению ко всем прямым, на ней лежащим.
8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий,
расположенных в одной плоскости.
Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в
этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина,
граница и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея
основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-
третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7.
Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических
образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.
При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки,
следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но также из
некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых предложений,
называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома –
греческое слово, означающее «бесспорное положение», а также «почитаемое»),
с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать,
то есть доказать все другие предложения, называемые уже теоремами (Этот
термин был введен Аристотелем, его употреблял не Евклид, а его
комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был
«рассматриваемое»).
У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него
постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными
определениями. Вот они:
Постулаты.
1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было
провести прямую линию.
2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
3. И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым
радиусом.
4. И, чтобы все прямые углы были равны.
5. И, чтобы всякий раз, когда прямая образует с ними внутренние
односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые
пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы.
1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных, равны между собой.
7. И совмещающиеся равны.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.
Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его
постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго
логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно
не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних.
Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах,
а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например,
понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо
предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности,
непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только
на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал,
и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у
него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое
доказательство теорем невозможно.
Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на
протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии,
привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего
современным требованиям науки.
Одним из ученых, предвосхитивших неевклидову геометрию, был
итальянский монах Джироламо Саккери (1667-1733), преподававший грамматику в
иезуитской коллегии в Милане. Здесь под влиянием Джованни Чевы ( Джованни
Чева (1648-1734) – итальянский инженер-гидравлик и экономист) Саккери
заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею. Впоследствии он
преподавал математику в университете города Павши. На последнем году своей
жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием «Евклид,
очищенный от всех пятен». В ней он поставил перед собой задачу исправить
все недостатки («пятна») «Начал» Евклида, в первую очередь доказать V
постулат. Саккери решительнее и дальше своих предшественников сделал
попытку доказать этот постулат от противного. Этот путь он не сумел
проделать до конца, но идя по нему, Лобачевский а последствии открыл
неевклидову геометрию.
Рассматривая четырехугольник (рис. 1), носящий его имя, Саккери
стремится доказать, что гипотезы тупого и острого углов приводят к
логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из
которой вытекает евклидов V постулат. Он легко опровергает гипотезу тупого
угла, он доказывает, что:
1. геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной прямой
по одну сторону, не является прямой или окружностью, а другой линией
(которую Лобачевский впоследствии назвал эквидистантой, то есть
«равноотстоящей»);
2. две прямые, содержащиеся в одной плоскости (рис. 2), либо пересекаются
в одной точке (такие прямые Лобачевский назвал «сходящимися»), либо не
пересекаются, имея общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они
друг от друга удаляются («расходящиеся прямые» в терминологии
Лобачевского), либо не пересекаются, удаляясь друг от друга в одном
направлении и асимптотически приближаясь в другом (параллельные
Лобачевского).
Если бы Саккери пользовался лишь логическими выводами, строгой
дедукцией, то никакого противоречия он в указанных выше предложениях не
нашел бы. Однако, будучи предубежден о невозможности того, что для
евклидова постулата не имелось доказательства, Саккери для опровержения
гипотезы острого угла прибег к утверждению чисто интуитивного характера:
существование асимптотических прямых якобы «противоречит природе прямой
линии». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его установлении
промежуточных предложений, выведенных им на основе гипотезы острого угла,
которые 100 лет спустя легли в основу новой неевклидовой геометрии
Лобачевского.
К числу предшественников последнего, следует отнести и члена
Берлинской Академии наук – астронома, математика и философа Иогана Генриха
Ламберта, считавшего себя Швейцарским ученым и писавшего одни из своих
произведений на французском языке. Другие – на немецком.
В опубликованном после его смерти произведении «Теория параллельных
линий»(1786) Ламберт рассматривает четырехугольник. И исследует, как и
Саккери, возможные при этом три гипотезы. Он получает ряд новых результатов
геометрии, построенной на гипотезе острого угла, то есть будущей
неевклидовой геометрии Лобачевского, в том числе и следующий: если сумма
углов треугольника АВС, как известно, меньше двух прямых углов, равна 2d -
?, то площадь треугольника пропорциональна ?( (? - «дефект
треугольника»). В отличие от Саккери Ламберт в своих рассуждениях нигде не
отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в
гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V
постулат. Не смотря на это, однако, Ламберт, как и его предшественники, не
считал гипотезу острого угла действительно возможной. На таких же позициях
стоял и знаменитый французский математик А.М. Лежандр (1752- 1833),
значительно способствовавший своими многочисленными попытками доказать
евклидову аксиому параллельности, привлечению внимания математиков первой
половины 19 в. к проблеме V постулата.
Эта проблема, как известно, была впервые решена профессором Казанского
университета, гениальным русским математиком Николаем Ивановичем
Лобачевским (1792- 1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову геометрию,
называемую так же « гиперболической». Независимо от него к тому же открытию
пришел и молодой венгерский математик Я. Бояй. Первый печатный труд по
неевклидовой геометрии - статья Н.И. Лобачевского « О началах геометрии» -
появился в 1829г. в « Казанском вестнике». Через 3 года была опубликована
на латинском языке работа по неевклидовой геометрии « Appendix»
(«Приложение»), название которой объяснялось тем, что она появилась к одной
из работ отца Яноша, математика Фаркаша Бояй. После смерти Гаусса
выяснилось, что он также еще до Лобачевского и Бояй пришел к той же
геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в науке.
Лишь в 70-80г.г. прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли,
Клейта и Пуанкаре более широким кругом математиков стало ясно, что V
постулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой
геометрии.
Попытки доказательства V постулата принесли большую пользу в том
отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот постулат
и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не зависящих от
евклидовой аксиомы параллельности, венгерский математик Янош Бояй назвал
«абсолютной» геометрией. Все же остальные теоремы, то есть те, при
доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V
постулате, составляет собственно евклидову геометрию.
В курсе 6 класса важнейшими теоремами абсолютной геометрии являются
следующие: теорема о смежных и вертикальных углах, о равенстве
треугольников, о внешнем угле треугольника, о прямой и ломанной, о
сравнительной длине перпендикуляра и наклонных, прямая теорема
параллельных.
К собственно евклидовой геометрии относятся: обратная теорема
параллельных линиях (то есть о том, что при пересечении двух параллельных
прямых третьей соответственные углы равны), теорема о пересечении
перпендикуляра и наклонной одной и той же прямой, о сумме углов
треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов
многоугольника).
На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел
«Параллелограммы и трапеции». В главе «Об окружности» все теоремы о
форме и положении окружности (за исключением теоремы о том, что через
всякие три неколлинеарные точки можно провести окружность и следствий этой
теоремы). Теорема о зависимости между дугами, хордами и расстояние хорд до
центра, о взаимном расположении прямой и окружности не опираются на аксиому
параллельных Евклида. Доказательство многих теорем раздела «О вписанных и
описанных многоугольниках» существенно основывается на приложении о том,
что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных
углов, а это приложение в свою очередь вытекает из теоремы о сумме углов
треугольника – теоремы, непосредственно связанной с евклидовой аксиомой
параллельных. Теорема о том, что во всякий треугольник можно вписать
окружность, не требует евклидовой аксиомы параллельных.
Раздел «Подобные фигуры» также построен на аксиоме параллельных, так
как с самого начала лемма, доказывающая существование подобных
треугольников опирается на евклидову теорию параллельных, на аксиому
параллельности («прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника
отсекает от него треугольник, подобный данному»). Сюда относятся и все
теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге, в том числе и
теорема Пифагора.
В разделе «Правильные многоугольники» теоремы о построении правильных
многоугольников циркулем и линейкой опирается на аксиому параллельных,
тогда как теорема о том, что около всякого правильного многоугольника можно
описать окружность, принадлежит абсолютной геометрии. Теоремы о площадях
фигур связаны с аксиомой параллельности Евклида, так как единицей измерения
площадей избирается квадрат – понятие евклидовой геометрии.
В стереометрии к абсолютной геометрии относятся разделы об
определении положения плоскости ( в том числе основные свойства плоскости),
о перпендикуляре и наклонных к плоскости, о двугранных и многогранных
углах, об угле прямой с плоскостью. Предложения, заключающие понятие
параллельности, связаны с указанной аксиомой. Далее в 10 классе, все
утверждения, содержащие понятие площади поверхности и объема, опираются на
постулат Евклида.
В отношении геометрических построений следует иметь в виду, что к
задачам абсолютной геометрии принадлежит построение треугольника по трем
его сторонам или по двум сторонам и углу между ними, проведение
перпендикуляра из точки на прямой к данной прямой. Не опираясь на V
постулат можно решить также задачу о проведении касательной к данной
окружности из внешней точки. Только в целях упрощения эта задача решается в
учебниках при помощи аксиомы параллельных Евклида. На постулат Евклида
опираются почти все задачи, содержащие в условии понятия площади и
параллельности.
Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток (в том
числе и своей собственной, основанной на методе приведения к абсурду)
доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат
не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не
вытекает, и поэтому его доказать нельзя.
Но если V постулат не зависит от других аксиом, то допуская все
другие аксиомы (абсолютной геометрии), мы можем принять или не принять
евклидов постулат. В первом случае мы получаем известную классическую
евклидову геометрию, названную Лобачевским “употребительной”. Если же
вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не
эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию. Лобачевский и
сформулировал новую аксиому параллельных, прямопротивоположную аксиоме
Евклида: “Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не
встречающую данной прямой, а по крайней мере две”. Заменив этой аксиомой V
постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию,
которая оказалась такой же логически безупречной, правильной, как и
геометрия Евклида.
Если из т. С вне прямой АВ (рис.3) опустить на нее перпендикуляр СD и
построить перпендикуляр СN к CD, то без помощи аксиомы параллельных
доказывается, что NN’ || АВ.
Постулат Евклида утверждает, что из всех прямых плоскости АВС,
проходящих через т. С, только одна прямая NN’ не встречает прямой АВ.
Отказываясь от этой аксиомы, Лобачевский допускает, что через т. С
проходит по крайней мере еще одна прямая CL не пересекающая АВ.
Аксиома Лобачевского кажется на первый взгляд странной, т.к.
противоречит установившимся геометрическим представлениям. Однако при более
глубоком анализе вопроса надо признать, что в отличие от других аксиом,
касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида
относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с
помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в
ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно
малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, отходящим за
пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах определенной части
плоскости, как бы эта часть не была велика, можно провести через данную
точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого
конечного радиуса существует множество «прямых» (т.е. хорд), проходящих
через т. С и не встречающих «прямой» АВ, например, CL, CM и другие (рис.4).
Таким образом, если отречься от всяких предубеждений, нет никакого
основания считать аксиому Лобачевского “хуже” аксиомы Евклида, в смысле ее
соответствия физической реальности. Кажущееся преимущество евклидовой
геометрии, евклидовой аксиомы состоит в том, что ее содержание
соответствует нашим привычным представлениям. Эти представления, однако,
основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной части
вселенной. Между тем, в истории науки известны факты, когда более точно
представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных на
наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами, которые лучше
соответствуют объективному материальному миру. Ведь господствовало же у
древних представление о том, что Земля плоская. В свое время казалась
невероятной гелиоцентрическая гипотеза Коперника для всех людей, веками
сжившихся с идеями геоцентрической гипотезы Птоломея. Известный английский
математик так и писал: «Чем Коперник был для Птоломея, тем Лобачевский для
Евклида». Между Коперником и Лобачевским любопытная параллель, Коперник и
Лобачевский – оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел
революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти «революции» имеют одно и
то же значение.
Причина их грандиозного значения заключается в том, что они суть
революции в нашем понимании космоса…». По поводу этого сравнения советский
ученый, профессор В.Ф. Каган писал, что «Истины, открытые Лобачевским, были
гораздо глубже скрыты, более неожиданны; их выявление требовало гения более
высокого ранга» Гелиоцентрическая система Коперника только по иному
представила расположение и движение небесных тел в пространстве. Система же
Лобачевского дала новое представление о самом пространстве.
Все вышесказанное – это физическая сторона геометрии. Но сейчас важнее
математическая сторона геометрии, ее логическая структура.
Из аксиомы Лобачевского вытекают следующие логические следствия:
1) Если прямые CN и CL не встречают прямой АВ, то любая прямая СМ,
проходящая через т. C внутри вертикальных углов NCL и N’CL’ также не
встретит прямой АВ (рис.3, рис.4). Отсюда первое следствие аксиомы
Лобачевского: через т. С вне прямой АВ плоскости АВС,
|
