БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших
направлений и экономико-математических исследований, должно служить
объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на
примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n
взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично
идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в
качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других
отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют
производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей
выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как
ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через хi валовый выпуск продукции i-й отрасли за
планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для
рассматриваемой системы потребление ( средства производства других
экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
Таким образом, разность хi - yi составляет часть продукции i-й
отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в
дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в
стоимостном разрезе.
Обозначим через хiк часть продукции i-й отрасли, которая
потребляется к-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере
хк.
Таблица 1
№ потребление
итого на конечный валовый
отрас.
внутре продукт выпуск
производ. ( уi ) ( хi )
№ 1 2 … к … n
потребление
отрас.
( е хiк )
1 х11 х12 … х1к … х1n
е х1к у1 х1
2 х21 х22 … х2к … х2n
е х2к у2 х2
( ( ( ( ( ( (
( ( (
i хi1 хi2 ( хiк (
хin е хiк yi хi
( ( ( ( ( ( (
( ( (
n хn1 хn2 ( хnк ( хnn
е хnк yn хn
итого
произв.
затраты е хi1 е хi2 ( е хiк ( е хin
в к-ю
отрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны
следующими балансовыми равенствами :
х1 - ( х11 + х12 + ( + х1n ) = у1
х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
хn - ( хn1 + хn2 + … + хnn ) = yn
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на
базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить
исходные данные на планируемый период.
Будем снабжать штрихом ( х’iк , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к
истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные,
связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны
выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.
Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn ,
характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :
_
у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )
а совокупность значений х1 , х2 , … , хn ,определяющих валовый выпуск всех
отраслей ( вектор-планом :
_
х = ( х1 , х2 , … , хn ). ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми
равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному,
например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к.
кроме искомых неизвестных хк , содержат n2 неизвестных хiк , которые в свою
очередь зависят от хк.
Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины аiк из
соотношений :
хiк
аiк = ––– ( i , к = 1 , 2 , … , n ).
хк
Величины аiк называются коэффициентами прямых затрат или
технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й
отрасли, используемые к-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят
главным образом от технологии производства в этой к-й отрасли. С некоторым
приближением можно полагать, что коэффициенты аiк постоянны в некотором
промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период,
т.е., что
х’iк хiк
––– = ––– = аiк = сonst ( 4 )
х’к хк
Исходя из этого предложения имеем
хiк = аiкхк , ( 5 )
т.е. затраты i-й отрасли в к-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску,
или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска хк. Поэтому
равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.
Рассчитав коэффициенты прямых затрат аiк по формуле ( 4 ), используя
данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их
другим образом, получим матрицу
а11 а12 … а1к … а1n
а21 а22 … а2к … а2n
A= ………………….
аi1 аi2 … аiк … аin
аn1 аn2 … аnк … аnn
которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы аiк этой
матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного
неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между
производством и потреблением, характеризуемые табл.1
Подставляя значения хiк = аiк = хк во все уравнения системы ( 1 ),
получим линейную балансовую модель :
х1 - ( а11х1 + а12х2 + … + а1nхn ) = y1
х2 - ( а21х1 + а22х2 + … + а2nхn ) = y2 ( 6 )
……………………………………
хn - ( аn1х1 + аn2х2 + … + аnnхn ) = yn ,
характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1
Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если
использовать матричную форму записи уравнений:
_ _ _
Е(х - А(х = У , или окончательно
_ _
( Е - А )(х = У , ( 6( )
где Е – единичная матрица n-го порядка и
1-а11 -а12 … -а1n
Е - A= -а21 1-а22 … -а2n
…………………
-аn1 -аn2 … 1-аnn
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( хi и yi ). Поэтому,
задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n
- переменных.
Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , …
, yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 ,
х2 , … хn ).
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной
системы, состоящей из двух производственных отраслей:
табл.2
№ отрас Потребление Итого
Конечный Валовый
№
затрат продукт выпуск
отрас 1 2
0.2 0.4
1 100 160
260 240 500
0.55 0.1
2 275 40
315 85 400
Итого затрат
575
в к-ю 375 200
отрасль … 575
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется
данными, помещенными в табл.2
Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:
100 160 275
40
а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = ––––
= 0.1
500 400 500
400
Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.
Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая
данным табл.2
х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1
х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1
и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый
выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400,
задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.
РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о
существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е.
о
существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного
продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6( ) допустимым
решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать
существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если
0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6( )
А= , то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( ( )
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если
только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) –
несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) –
неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на
поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0,
удовлетворяющий неравенству ( Е - А )(х>0, т.е. если уравнение ( 6( ) имеет
неотрицательное решение х>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет
для
любого У>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет
обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для
предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )(х( = У(, где вектор-
план х( и ассортиментный вектор У( определяются по исполненному балансу за
прошлый период, при этом У(>0. Таким образом, уравнение ( 6( ) имеет одно
неотрицательное решение х>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение
( 6( ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную
матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || siк+ ||, запишем
решение уравнения ( 6(( ) в виде
_ _
х = S(У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S =
( Е - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:
х1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
х2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 )
………………………………
хn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов Siк матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли,
т.е.
1
_
|
