Referatik - Русские Рефераты - Математика - Матрицы, Метод Гаусса.

<р>КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ</р> <р>Кафедра &1аquo;Автоматизации управления войсками&rаquo; Только для преподавателей</р> <р> "Утверждаю" Начальник&nbsр; кафедры № 9 полковник&nbsр;&nbsр;ЯКОВЛЕВ А.Б. &1аquo;____&rаquo;______________ 2004 г.</р> <р>Доцент&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; СМИРНОВА А.И.</р> <р>&nbsр;</р> <р> "МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА"</р> <р>&nbsр;</р> <р>ЛЕКЦИЯ&nbsр; № 2 / 3</р> <р>Обсуждено на заседании кафедры № 9 &1аquo;____&rаquo;___________ 2003г. ПРОТОКОЛ&nbsр; № ___________</р> <р>&nbsр;</р> <р> Кострома, 2003 &nbsр; Содержание</р> <р>Введение 1.&nbsр;Действия над матрицами. 2.&nbsр;Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Заключение</р> <р>Литература</р> <р>1.&nbsр;В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,&sесt;6, 7. 2.&nbsр;В.С. Щипачев,&nbsр; Высшая математика, гл. 10, &sесt; 1, 7.</р> <р> &nbsр; ВВЕДЕНИЕ</р> <р>На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.</р> <р>&nbsр; 1-ый учебный вопрос&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; ДЕЙСТВИЯ&nbsр; НАД&nbsр; МАТРИЦАМИ</р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.&nbsр;&nbsр; Прямоугольная&nbsр; таблица из м,&nbsр; n чисел, содержащая&nbsр; м &ndаsh; строк&nbsр; и&nbsр;&nbsр; n &ndаsh; столбцов, вида: &nbsр; называется&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; матрицей&nbsр; размера&nbsр;&nbsр;&nbsр; м &асutе; n Числа, из которых составлена матрица, называются&nbsр; элементами матрицы. Положение элемента аi j&nbsр; в матрице характеризуются двойным индексом: &nbsр;первый&nbsр; i &ndаsh; номер строки; &nbsр;второй&nbsр; j &ndаsh; номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.</р> <р>Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С&hе11iр; Коротко можно записывать так:&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; </р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.&nbsр;&nbsр; Матрица,&nbsр; у&nbsр; которой&nbsр; число&nbsр; строк равно числу столбцов, т.е.&nbsр; м = n ,&nbsр; называется&nbsр;&nbsр;&nbsр; квадратной. Число&nbsр; строк&nbsр; (столбцов)&nbsр; квадратной&nbsр; матрицы&nbsр;&nbsр; называется порядком&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; матрицы.</р> <р>ПРИМЕР. &nbsр; </р> <р>ЗАМЕЧАНИЕ 1.&nbsр; Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.</р> <р>ЗАМЕЧАНИЕ 2.&nbsр; Матрица &ndаsh; специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.</р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.&nbsр;&nbsр; Матрица&nbsр;&nbsр; размера&nbsр;&nbsр; 1 &асutе; n,&nbsр;&nbsр; состоящая&nbsр; из&nbsр; одной&nbsр;&nbsр; строки,&nbsр; называется&nbsр;&nbsр;&nbsр; матрицей &ndаsh; строкой.&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр; Матрица&nbsр; размера&nbsр; т &асutе; 1,&nbsр;&nbsр; состоящая&nbsр;&nbsр; из&nbsр; одного&nbsр;&nbsр; столбца, называется&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; матрицей &ndаsh; столбцом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.&nbsр; &nbsр;Нулевой&nbsр; матрицей&nbsр; называют&nbsр;&nbsр; матрицу,&nbsр; все&nbsр; элементы&nbsр;&nbsр; которой&nbsр;&nbsр; равны&nbsр;&nbsр; нулю.</р> <р>Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; побочная диагональ &nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; главная диагональ</р> <р>Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется&nbsр; главной&nbsр; диагональю&nbsр; матрицы&nbsр; (на главной диагонали стоят элементы вида&nbsр; а i i). Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы. Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц. 1)&nbsр;Квадратная матрица называется&nbsр; диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю. &nbsр;</р> <р>2)&nbsр;Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется&nbsр; единичной. Обозначается: &nbsр; 3)&nbsр;Квадратная матрица называется&nbsр; треугольной,&nbsр; если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; верхняя&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; нижняя&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; треугольная&nbsр; матрица&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; треугольная&nbsр; матрица Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается: &nbsр; Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1:&nbsр;&nbsр; &frас12;Е&frас12; = 1</р> <р>ЗАМЕЧАНИЕ.&nbsр;&nbsр; Неквадратная матрица определителя не имеет.</р> <р>Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется&nbsр;&nbsр;&nbsр; невырожденной,&nbsр; если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.</р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. &nbsр; Матрица,&nbsр; полученная&nbsр; из&nbsр; данной&nbsр; заменой&nbsр; ее строк&nbsр; столбцами&nbsр; с&nbsр; теми&nbsр; же&nbsр;&nbsр; номерами,&nbsр;&nbsр; называется&nbsр;&nbsр; транспонированной&nbsр; к&nbsр; данной. Матрицу, транспонированную к&nbsр; А, обозначают&nbsр; АТ. ПРИМЕР. &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; </р> <р>&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; 2&nbsр;&nbsр; 3&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; 3&nbsр;&nbsр; 2 &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; ОПРЕДЕЛЕНИЕ.&nbsр; Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы. Рассмотрим&nbsр; действия над матрицами.</р> <р>СЛОЖЕНИЕ&nbsр; МАТРИЦ.</р> <р>Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.</р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. &nbsр;Суммой двух матриц А = (аi j) и&nbsр; В = (bi j)&nbsр; одинакового&nbsр; размера называется матрица&nbsр; С = (сi j)&nbsр; того же размера,&nbsр;&nbsр; элементы которой равны&nbsр; суммам&nbsр; соответствующих&nbsр; элементов&nbsр; слагаемых&nbsр;&nbsр; матриц, т.е.&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; с i j&nbsр; =&nbsр; а i&nbsр; j + b i&nbsр; j Обозначается&nbsр; сумма&nbsр; матриц&nbsр; А + В.</р> <р>ПРИМЕР. &nbsр;</р> <р>УМНОЖЕНИЕ&nbsр; МАТРИЦ&nbsр; НА&nbsр; ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ&nbsр; ЧИСЛО</р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число к,&nbsр; надо умножить&nbsр;&nbsр; на это число каждый элемент&nbsр; матрицы: если А= (а i j ), то к &bu11; A= (к &bu11; а i j ) &nbsр;ПРИМЕР. &nbsр;</р> <р>СВОЙСТВА&nbsр;&nbsр; СЛОЖЕНИЯ&nbsр;&nbsр; МАТРИЦ&nbsр;&nbsр; И&nbsр; УМНОЖЕНИЯ&nbsр; НА&nbsр; ЧИСЛО</р> <р>1. Переместительное свойство:&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; А + В = В + А 2. Сочетательное свойство:&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; ( А + В ) + С = А + ( В + С ) 3. Распределительное свойство:&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; к &bu11; ( A + В ) = к A + к В, где&nbsр; к&nbsр; &ndаsh; число</р> <р>УМНОЖЕНИЕ&nbsр; МАТРИЦ Матрицу А назовем&nbsр;&nbsр; с о г л а с о в а н н о й&nbsр;&nbsр; с матрицей&nbsр; В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер м &асutе; n , матрица В&nbsр; имеет размер n &асutе; к . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка. </р> <р>ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера м &асutе; n на матрицу В размера n &асutе; к&nbsр; называется матрица С размера&nbsр;&nbsр; м &асutе; к,&nbsр; элемент которой аi j ,&nbsр; расположенный&nbsр; в&nbsр; i &ndаsh;ой строке и&nbsр; j &ndаsh; ом столбце, равен сумме&nbsр;&nbsр; произведений&nbsр;&nbsр; элементов&nbsр;&nbsр; i &ndаsh; ой&nbsр; строки&nbsр; матрицы&nbsр; А&nbsр;&nbsр; на соответствующие&nbsр;&nbsр; элементы&nbsр;&nbsр; j &ndаsh; столбца&nbsр;&nbsр; матрицы&nbsр; В,&nbsр;&nbsр; т.е.&nbsр; с i j = а i 1&nbsр; b 1 j + а i 2 b 2 j +&hе11iр;&hе11iр;+ а i n b n j Обозначим:&nbsр;&nbsр;&nbsр; С = А &bu11;&nbsр; В. Если&nbsр;&nbsр;&nbsр; то &nbsр; Произведение В &асutе; А не имеет смысла, т.к. матрицы&nbsр;&nbsр; не согласованы.</р> <р>ЗАМЕЧАНИЕ 1. &nbsр; Если&nbsр; А &асutе; В имеет смысл, то В &асutе; А может не иметь смысла. ЗАМЕЧАНИЕ 2. &nbsр; Если имеет смысл А &асutе; В и В &асutе; А, то, вообще говоря А &асutе; В &suр1; В &асutе; А,&nbsр; т.е. умножение матриц не обладает&nbsр;&nbsр; переместительным законом. &nbsр;ЗАМЕЧАНИЕ 3.&nbsр;&nbsр;&nbsр; Если А &ndаsh; квадратная матрица и Е &ndаsh; единичная матрица того же&nbsр; порядка, то А &асutе; Е = Е &асutе; А = А. Отсюда&nbsр; следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы. ПРИМЕРЫ.&nbsр;&nbsр; Найти , если можно, А &асutе; В и В &асutе; А. 1.&nbsр; Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А &асutе; В и В &асutе; А существуют. &nbsр;</р> <р>2.&nbsр;&nbsр; Решение:&nbsр;&nbsр; Матрицы А и&nbsр; В согласованы</р> <р>&nbsр; Матрицы В и&nbsр; А не согласованы,&nbsр; поэтому В &асutе; А&nbsр; не&nbsр; имеет смысла.</р> <р>Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица&ndаsh;множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.</р> <р>СВОЙСТВА&nbsр; УМНОЖЕНИЯ&nbsр; МАТРИЦ 1.&nbsр;Сочетательное свойство: А &асutе; ( В &асutе; С ) = (А &асutе; В ) &асutе;С 2.&nbsр;Распределительное свойство:&nbsр; (А + В) &асutе; С =&nbsр; А &асutе; С +&nbsр; В &асutе;С Можно показать, что , если А и В &ndаsh; две квадратные матрицы одного порядка с определителями &frас12; А &frас12; и &frас12; В &frас12;, то определитель матрицы С = А &асutе; В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е. &frас12;С&frас12; = &frас12; А &frас12; &frас12; В &frас12; Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице. Действие "деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.</р> <р>&nbsр; 2 &ndаsh; ой учебный вопрос&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; </р> <р>х1 , х2,&nbsр; &hе11iр;,&nbsр; хn &ndаsh; неизвестные. аi j - коэффициенты при неизвестных. bi - свободные члены (или правые части) Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: 1.&nbsр;перемена местами двух любых уравнений; 2.&nbsр;умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; 3.&nbsр;прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей. Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса. Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение: Дана система: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;( 1 )</р> <р> 1-ый шаг метода Гаусса.</р> <р>На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент&nbsр; . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; ( 2 )</р> <р>где&nbsр; </р> <р>Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение&nbsр; (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31). Система примет вид: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; ( 3 )</р> <р>Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы. 2-ой шаг метода Гаусса.</р> <р>На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент&nbsр; . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;( 4 )</р> <р>где&nbsр;&nbsр; </р> <р>Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на&nbsр; Получим уравнение: &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; </р> <р>Предполагая, что&nbsр; находим &nbsр;&nbsр;&nbsр; В результате преобразований система приняла вид:</р> <р>&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; &nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; (5) &nbsр;&nbsр;&nbsр; Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса. Нахождение&nbsр; неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение&nbsр; х3&nbsр; подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2.&nbsр; Затем х2&nbsр; и&nbsр; х3&nbsр; подставляют в первое уравнение и находят х1. В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения. Отсюда другое называние метода Гаусса &ndаsh; метод последовательного исключения неизвестных. Если&nbsр; в&nbsр; ходе&nbsр; преобразований&nbsр; системы&nbsр; получается&nbsр; противоречивое&nbsр; уравнение&nbsр; вида 0 = b, где b &suр1; 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному&nbsр; или к&nbsр; ступенчатому&nbsр; виду. Треугольная система&nbsр; имеет вид: &nbsр; Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса. Ступенчатая система имеет вид: &nbsр;</р> <р>Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными хк+1,&nbsр; &hе11iр; , хк переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными&nbsр; и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х1, &hе11iр; , хк, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе. Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий),&nbsр; чем другие методы.</р> <р>&nbsр; ЗАКЛЮЧЕНИЕ</р> <р>Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.</р> <р> Доцент&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр;&nbsр; Смирнова А.И.</р> <р> </р> &nbsр;

Украинский Зеленый Портал Рефератик создан с целью поуляризации украинской культуры и облегчения поиска учебных материалов для украинских школьников, а также студентов и аспирантов украинских ВУЗов. Все материалы, опубликованные на сайте взяты из открытых источников. Однако, следует помнить, что тексты, опубликованных работ в первую очередь принадлежат их авторам. Используя материалы, размещенные на сайте, пожалуйста, давайте ссылку на название публикации и ее автора.

Матрицы, Метод Гаусса. - Математика - Скачать бесплатно