Поняття логічного виводу
Термін «логічний вивід» використовується у широкому і вузькому значеннях. У широкому значенні поняття «логічний вивід» ототожнюється з поняттям умовиводу [69], до якого включають і власне вивід (логічний). Так, один з найновіших словників з логіки дає таке визначення: «Вивід логічний — міркування, в ході якого з яких-небудь суджень — засновків — з допомогою логічних правил одержують висновок — нове судження» [18]. Це визначення повністю збігається з визначенням умовиводу. Про це свідчить і приклад, яким ілюструється цитоване визначення: «Всі люди смертні. Кай — людина. Кай смертний».
Часте ототожнення виводу з умовиводом пояснюється їх подібністю. І умовивід, і логічний вивід є міркуваннями, будуються вони відповідно до певних логічних правил, містять засновки і висновки, дають змогу одержувати так зване вивідне знання. Проте між ними існує й істотна відмінність. Якщо умовивід — це справжнє, змістовне міркування, то логічний вивід нагадує своєрідну гру «...з символами, коли можна комбінувати символи у відповідності з правилами, з'єднувати їх, роз'єднувати тощо» [36]. Правила, відповідно до яких будується логічний вивід, є строго однозначно визначеними, що не завжди можна сказати про правила умовиводів. Засновками і висновком умовиводу є судження, виражені засобами природної мови, а засновками і висновком виводу є безструктурні, позначені символами прості висловлювання, формули і навіть схеми формул (до речі, висновок тут називається вивідною формулою). Назвати вивідну формулу знанням можна хіба що умовно, оскільки вона набуває смислу тільки після відповідної інтерпретації.
ВИВІД — послідовність висловлювань, формул або схем формул, яка утворюється з аксіом, засновків і теорем (раніше доведених формул), остання формула якої (послідовності) виведена з попередніх формул за правилами відповідної формально-логічної теорії.
Логічний вивід у логіці висловлювань є одним з видів числення. Оскільки кожна формальна система має власні аксіоми і правила виводу, то в кожній з них вивід носить специфічний характер. Особливо ефективними є виводи в системі логіки висловлювань, насамперед в системі натурального виводу. Процес міркування, одержання істинних висновків у них ґрунтується не на застосуванні конкретних за змістом засновків і навіть не на зв'язках між обсягами термінів у середині простих суджень (між суб'єктом і предикатом) та обсягами термінів різних простих суджень (як у силогізмі), а на характері логічних зв'язків між висловлюваннями, врахуванні лише логічного значення (істинності чи хибності) останніх та коректному застосуванні до них правил виводу.
Формалізувавши (в даному випадку — переклавши на мову логіки висловлювань) вихідні судження, суд-ження-засновки, можна алгоритмізувати процес виведення із засновків необхідного й істинного висновку, який, будучи перекладеним на природну мову, фігуруватиме як розв'язання відповідної задачі (про формалізацію див. на с 13 цього посібника).
Найважливішими характеристиками виводу логіки висловлювань є, по-перше, сумісність його засновків і висновку, їх несуперечливість, а по-друге, та обставина, що кожен закон («завжди істинне» висловлювання) в цій формальній системі піддається обґрунтуванню. 'Натуральним цей вивід називають тому, що він будується способом, близьким до того, яким ми звичайно користуємось у неформальних доведеннях.
Мова1 й основні правила виводу логіки висловлювань
Правило виводу — своєрідний трафарет, шаблон, припис, що визначає перехід від засновків до висновку-наслідку, вказуючи, яким чином висловлювання, істинність яких відома, можна видозмінювати, щоб одержати нові істинні висловлювання.
Пропонують і таке формулювання правил виводу: «Правила виводу — це способи логічного переходу від засновків до висновку, які задають правила введення і усунення логічних сполучників» [14].
Правило введення кон'юнкції (ВК):
А
А,АА0Л...АА
1 Z П
Згідно з цим правилом істинні висловлювання завжди можна з'єднувати знаком кон'юнкції. У найпростішому випадку це правило записується так:-— ,що
АлВ означає: якщо висловлювання А, В поодинці істинні,
то істинна і їх кон'юнкція — АлВ. Наприклад: Тарас Шевченко2 — геніальний поет (А). Тарас Шевченко — талановитий живописець (В).
Тарас Шевченко — геніальний поет і (він же) талановитий живописець (АлВ).
Одержаний висновок є істинним, чого не скажеш, наприклад, про складне висловлювання (кон'юнк-цію)«Тарас Шевченко — геніальний поет і живописець», оскільки ознака геніальності в цьому висловлюванні стосується Шевченка і як живописця.
Цей приклад не можна вважати типовим, оскільки суб'єктами простих суджень (кон'юнктів) далеко не завжди виступає одне й те ж поняття. Приклад, як правило, адресується буденній свідомості, здоровому глузду. Тому «типовіші» приклади, що ілюструють правила введення кон'юнкції, здадуться непереконливими для здорового глузду. Скажімо, «"Сім" — просте число, і Київ — столиця України» (АлВ).
Правило усунення кон'юнкції (УК):
А,/А9л...лА
А>
Це правило дозволяє з кон'юнкції висловлювань виводити будь-яке висловлювання, що є її кон'юнк-том.
Наприклад:
У скоєнні цього злочину брали участь А і В (АлВ). У скоєнні цього злочину брав участь А(А).
Правило введення диз'юнкції (ВД): A,vA,v...vA
12 п
Це правило дозволяє до істинного висловлювання приєднувати з допомогою диз'юнкції (нестрогої) інші висловлення. Оскільки ж нестрога диз'юнкція є істинною за умови істинності принаймні одного диз'юнкта, то звідси випливає висновок, що логічне значення приєднуваних диз'юнктів не впливає на утворену диз'юнкцію: вона завжди буде істинною.
Наприклад:
О. Пушкін — геніальний поет.
0. Пушкін — геніальний поет або живописець.
Правила усунення диз'юнкції (УД)
1. Правило усунення строгої диз'юнкції:
A,vA,v...vA
1— 2— — п
A,v...vA А,
Усунення строгої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:
АуВ ■ АуВ АуВ АуВ
А . В . А . В
В ' А В ' А
2. Правило усунення нестрогої диз'юнкції:
A,vA.v...vA„ A,vA„v...vA
12 п 12 п
А9Л...ЛА„ A,v...vA
А, > А,

Логічний вивід і проблема розв'язання
Усунення нестрого! диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:
AvB AvB А . В
В ' А
У традиційній логіці правило усунення диз'юнкції відповідає схемі розділово-категоричного умовиводу (див. с 195).
Правило введення імплікації (ВІ):
А В-+А
Згідно з таблицею істинності імплікації за умови істинності консеквента вона завжди є істинною. Дати переконливу змістовну інтерпретацію цього правила, мабуть, неможливо.
Правило дедукції є одним із різновидів введення імплікації:
Г, АУ-В Г-(А->В) '
Читається це правило так: «Якщо з гамми засновків Г і формули А можна вивести формулу В, то із засновків Г випливає формула А-+В.
Правило усунення імплікації (УІ):
А-+В А->В
А В~
1. (Modus ponens); 2. —=—(Modus tollens).
Це правило дозволяє за наявності істинного антецедента виводити відповідний консеквент, а за наявності заперечення консеквента — переходити до заперечення антецедента.
Правило введення еквіваленції (BE): А->В В-+А А<->В '
Імплікація А-+В означає, що А є достатньою, але не необхідною підставою стосовно В, а В є необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А—>В і В—> —>А з цих даних можна вивести еквіваленцію А<->В, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.
Наприклад:
Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б).
Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторон-
ній (В—>А).
Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (А<->В).
Правило усунення еквіваленції (УЕ):
1 А<эВ А<эВ
' А-+В1 В->А'
З цього правила випливають такі висновки:
А++В А-В А-В АА->В
А . В . А . В .
В А В~ А
Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: і<->і; х--х.
Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: «...в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни). Знак «=», що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності). Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками» [15].
Поняття «рівносильність» (=) тотожне поняттю «еквівалентність» (<-»), хоча є деякі підстави для їх розрізнення. Так, у формулах рівносильностей «=» є головним логічним знаком, тобто таким, що застосовується останнім при побудові формули. Іноді рівносиль-ність невиправдано ототожнюють з рівнозначністю: «Рівнозначність — поняття математичної логіки. Іноді в математичній логіці використовується як синонім відношення рівносильності між формулами, а іноді як синонім операції еквівалентності» [45]. Проте, два висловлювання лише тоді є рівнозначними, якщо вони можуть бути одержаними з рівносильних формул А і Б в результаті заміни всіх змінних, які до них входять, конкретними висловлюваннями [86].
Різні автори називають різну кількість основних рів-носильностей, на яких ґрунтуються правила перетворення висловлювань, їх еквівалентної заміни. Так, П. С Новіков до найважливіших відносить лише 13 рів-носильностей [64], а автори «Формальної логіки» — кілька десятків.
Ось які рівносильності називає П.С. Новіков:
1. А=А.
2. АлВ я ВлА.
3. (АлВ)лС=Ал(ВлС).
4. AvB = BvA.
5. (AvB)vC = Av(BvC).
6. AA(BVC) = (АлВ ) V(AAC ).
7. AV(BAC) = (АУВ)Л(АУС).
8. (AvB) =АлВ.
9. (АлВ) =AvB.
10. AvA=A.
11. АлА=А.
12. Алі =А.
13. Avx st A.
Автори «Формальної логіки» називають півсотні рівносильностей, більшість яких вважають основними. При цьому вони зазначають, що основні рівносильності містять «...схеми формул і належать до нескінченної множини рівносильних одна одній формул логіки висловлювань відповідного виду» [87]. Ось ці 50 рівносильностей:
1. А=А.
2. (АлВ) = (ВлА).
3. Ал(ВлС) а (АлВ)лС.
4. (AvB) a (BvA).

назад |  1  2 3 4 | вперед